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Cálculo Rápido
Contenido:
1. Fenómenos Reales y Ficticios
Quien haya asistido a sesiones de nuestro calculista soviético Arrago, puede
no sorprenderse por sus enormes capacidades de cálculo. Aquí ante nosotros ya
no hay trucos, sino un notable don natural. El cubo del número 4729, por ejemplo,
Arrago lo calculó ante mí mentalmente en menos de un minuto (resultado: 105.756.712.489),
y en la multiplicación 679.321 ´
887.064, también
mentalmente, empleó en total 1 1/2 minutos.
Yo he tenido la posibilidad de observar el trabajo de este fenomenal calculista,
no solamente en el estrado, sino también en reuniones domésticas, a solas, y
me convencí de que no emplea ningún método especial de cálculo, y calcula
mentalmente, en general, como lo hacemos nosotros sobre e1 papel. Pero su
extraordinaria memoria para los números lo ayuda a pararse sin la escritura de
los resultados intermedios, y la rapidez de inteligencia le permite operar con
los números de dos cifras tan fácilmente, como nosotros efectuamos las operaciones
con números de una cifra. Gracias a esto, la multiplicación entre números de
seis cifras resulta, para él, un problema de no mayor complicación que lo que
para nosotros significa la multiplicación de números de tres cifras.
Tales fenómenos, como Arrago entre nosotros, o en Occidente Inodí, Diamandi, Rückle,
el Dr. Fred Brauns, se cuentan con los dedos. Pero conjuntamente con ellos se
consagran también, matemáticos de estrado de otro género, que fundamentan su
arte en unos u otros trucos aritméticos. Usted puede haber llegado a escuchar o
inclusive a asistir a "sesiones de geniales matemáticos" que
calculaban de memoria, con una rapidez sorprendente, cuántos, días, minutos y
segundos tiene usted, en qué día de la semana nació, etc. Para realizar una
gran parte de estos cálculos, no es necesario, sin embargo, poseer una
capacidad matemática extraordinaria. Es necesario, solamente, conocer algunos
secretos de estos trucos, al revelamiento de los cuales, pasamos enseguida.
2. Memorización de Números
Un calculista rápido, deberá poseer ante todo, un excelente desarrollo de
la memoria para los números. Los siguientes récords muestran hasta qué
refinamiento llega tal memoria en los mejores calculistas. El famoso calculista
alemán Rückle se aprendió de memoria un número que se compone de 504 cifras,
en el transcurso de 35 minutos, y su compatriota doctor Brauns destrozó este récord,
haciendo lo mismo ¡en menos de 13 minutos!
Pero naturalmente, tal memoria fenomenal es dotada por la naturaleza en forma
muy especial. Los calculistas profesionales que se consagran al estrado, no
poseyendo una memoria natural para los números, se ayudan así mismos por
diferentes medios artificiales (los llamados "mnemotécnicos"). En la
vida diaria nosotros mismos hemos intentado emplear semejantes métodos, la
mayor parte, es necesario reconocerlo, demasiado mal elegidos. Deseando, por
ejemplo, recordar el número de teléfono 25-49 depositamos la esperanza en el
hecho de que este número es fácil de reconstruir en la memoria, ya que está,
compuesto de dos cuadrados exactos: 25 = 5 2 =, 49 = 7 2 .
Pero cuando es menester recordarlo en un momento dado, resulta que nos
confundimos entre tantos otros números telefónicos conocidos y desconocidos:
12-25,
36-64, 25-16, 64-16, 81-25, etc.
Semejante fracaso lo concebimos también en otros casos. El teléfono número
17-53 nos proponemos recordarlo, aprovechando el hecho de que la suma de las dos
primeras cifras (1 + 7) es igual a la suma de las dos últimas (5 + 3). Pero al
final no resulta mejor que en el caso anterior. Y en efecto, aún falta no
confundir a qué teléfono se le aplica precisamente esa, y a cuál se le aplica
otra combinación. No puede sino sorprender, el ver cómo las personas intentan,
con obstinación, emplear este método notoriamente inservible. La afición a
este método, la ridiculizó con gran ingenio el escritor J. Hasek en sus
famosas " Aventuras del bravo soldado Sveik ":
"Sveik miró atentamente el número de su fusil y, al final, dijo:
- El número 4268. Justamente tal n&úmerro estaba en una locomotora en Pées
en la vía dieciséis. Era necesario llevar la locomotora a Liss para la
reparación, pero esto no era tan fácil, porque el maquinista que debería
conducirla allá, tenía muy mala memoria para los números. Entonces el jefe de
distancia lo hizo venir al despacho y le dijo: "Sobre la vía 16 se
encuentra la locomotora número 4268. Yo sé que usted tiene mala memoria para
los números, y si escribe el número en un papelillo, pierde usted el
papelillo. Pero si verdaderamente es tan débil para los números, entonces
trate de recordar lo que yo ahora le indico, para que vea usted que es muy fácil
conservar en la memoria cualquier número. El modo es el siguiente: la
locomotora que es necesario que usted conduzca al depósito, está marcada con
el número 4268. Dirija precisamente la atención aquí. La primera cifra es un
cuatro, la segunda un dos. Recuerde, por consiguiente, 42, es decir, dos por dos
son cuatro, lo que nos da la primera cifra, y si usted la divide entre dos,
obtiene de nuevo dos, y en esta forma se obtiene, junto al 4, el 2. Luego ya es
sencillo. ¿Cuánto será el doble de cuatro? ocho ¿no es así?. Así usted
graba en su memoria el ocho que es, la última cifra en nuestro número. Ahora
ya recuerda usted que la primera cifra es el cuatro, la segunda el los y La última
el ocho. Es decir, resta sólo recordar la cifra seis antes del ocho. Pero esto
es completamente sencillo. La primera cifra que tenemos es el 4, la segunda el
2, y conjuntamente constituyen el 6. De esta manera el número 4268 ya se ha
alojado firmemente en vuestra cabeza. Puede también llegar al resultado, por un
camino más sencillo, a saber: de 8 se resta 2, y se obtiene 6. Recuerde: 6. De
seis se resta 2, y se obtiene 4. Por consiguiente, tenemos ya 4 y 68. Ahora es
necesario únicamente, colocar la cifra: 2 entre esos dos números y obtenemos
4268. Se puede hacer aún en otra forma, también muy fácilmente, por medio de
la multiplicación. Recuerde que el doble de 42 es igual a 84. En un año hay
doce meses. Es necesario reatar 12 de 84, quedando 72, y de 72 se restan los 12
meses. Se obtiene 60. Lo que tenemos aquí es, ya, el 6, porque el cero,
sencillamente lo podemos dejar a un lado. Es decir, si escribimos 42-6-84 y
dejamos a un lado el último 4, obtenemos inevitablemente el número 4268, es
decir, el número de la locomotora que es necesario conducir".
Los métodos de los calculistas de estrado son de un género absolutamente
diferente. He aquí uno de ellos, que en alguna ocasión puede llegar a servir a
cada uno de nosotros. El calculista relaciona con las cifras, determinadas
letras consonantes, bien aprendidas:
Puesto que las letras elegidas son únicamente consonantes, entonces ellas
pueden, no temiendo confusiones, combinarse con vocales para constituir palabras
cortas. Por ejemplo:
Para
los Números |
las
palabras |
Para
los Números |
las
palabras |
En forma análoga se constituyen las palabras, también para números de dos
cifras:
11 … dedo |
Para recordar el número 2549, el calculista de estrado mentalmente escribe bajo
las cifras, las letras correspondientes:
2 5 4 9 |
y a partir de ella, constituye, rápidamente, las palabras:
25 |
49 |
Tal es uno de los métodos mnemotécnicos empleados entre los calculistas de
estrado. Existen también otros, sobre los cuales, sin embargo, no nos
detendremos, pues ahora pasaremos a los métodos de realización de algunos
casos.
¿Cuántos, años tengo?, ¿cuantos días tengo?, pregunta cualquiera del
publico, Y obtiene rápidamente del estrado, la respuesta.
¿Y cuántos segundos tengo, si mi edad es tal? hace la pregunta otro, y obtiene
también rápida respuesta.
¿Cómo se realizan semejantes cálculos?
3. "¿Cuantos Días Tengo?"
Para determinar de acuerdo con el número de año, el número de días, el
calculista recurre al siguiente método: la mitad del número de años lo
multiplica por 73 y añade un cero; el resultado será, precisamente, el número
buscado. Esta fórmula se vuelve comprensible si se observa que 730 = 365 x 2:
Si tengo 24 años, el número de días lo obtenemos multiplicando 12 x 73 = 876
añadiendo un cero: 8760. La propia multiplicación por 73 se realiza también
en forma abreviada, como veremos más adelante.
La corrección en algunos días con motivo de los años bisiestos, generalmente
no se efectúa en el cálculo, aunque es fácil introducirla agregando al
resultado la cuarta parte del número de años; en nuestro ejemplo: 24:4 = 6; el
resultado total, por consiguiente, es 8766.
El método para el cálculo del número de minutos, no se le dificultará al
lector encontrarlo por sí mismo, después de lo indicado en el párrafo que
sigue.
4. "¿Cuantos Segundos Tengo?"
Si la edad del interrogador se expresa por un número par no mayor que 26,
entonces se puede responder muy rápidamente sobre esta cuestión empleando el
siguiente método: la mitad del número de años se multiplica por 63; después
la misma mitad se multiplica por 72; este resultado queda al lado del primero y
se agregan tres ceros. Si por ejemplo, el número de años es 24, entonces para
la determinación del número de segundos procedemos así:
63
´ 12
= 756; 72 ´
12 = 864,
resultado 756.864.000.
Como en el ejemplo anterior, aquí no están tomados en cuenta los años
bisiestos, un error que nadie reprocha al calculista, cuando se tiene que ver
con cientos de millones (pero que se puede corregir, agregando el número de
segundos que se contienen, en la cantidad de días igual a la cuarta parte del número
de años).
¿ En qué se basa el método aquí indicado ?
La justeza de nuestra fórmula se explica de un modo sencillo. Para determinar
el número de segundos que se contienen en un número dado de años, es
necesario que los años (24 en muestro ejemplo) se multipliquen por el número
de segundos en el año, es decir,
365
´ 24
´ 60
´ 60
= 31.536.000.
Luego, el factor mayor 31.536 lo separamos en dos partes (el agregado de los
ceros, por sí mismo es comprensible, y en lugar de que se multiplique 24 por
31.536, se multiplica 24 por 31.500 y por 36; pero también estas operaciones,
para comodidad de los cálculos las substituimos por otras, como es evidente del
siguiente esquema:
Sólo falta agregar tres ceros, y tenemos el resultado buscado:
756.864.000.
5. Métodos de Multiplicación Acelerada
Ya indicamos antes que para realizar las diversas operaciones de una
multiplicación, vital componente de cada uno de los métodos arriba expuestos,
existen también métodos adecuados. Algunos de ellos son sencillos y fácil de
aplicar; aligeran a tal grado los cálculos, que en general, no molesta
recordarlos para su empleo práctico. Tal es, por ejemplo, el método de la
multiplicación cruzada, muy conveniente en las operaciones con números de dos
cifras. El método no es nuevo; se remonta a los griegos e hindúes y en la
antigüedad se llamaba "método relámpago" o "multiplicación
por cruz". Ahora está olvidado y no tiene ningún problema el recordarlo.
Supóngase que se requiere multiplicar 24 ´ 32. Mentalmente disponemos los números
conforme al siguiente esquema, uno debajo del otro:
Ahora, realicemos sucesivamente las siguientes operaciones:
Obtenemos, por consiguiente, el producto: 768.
Después de varios ejercicios este método se asimila fácilmente.
Otro método que consiste en los llamados "complementos", se aplica en
forma conveniente en aquellos casos en que los números multiplicados están próximos
al 100.
Supongamos que se requiere multiplicar 96 ´ 92. "El complemento" para 92 hasta
100 será 8, para 96 será 4. La operación se realiza conforme al siguiente
esquema:
Factores |
92
|
96
|
Complementos
|
8
|
4
|
Las dos primeras cifras del resultado se obtienen por la simple sustracción del
"complemento" del multiplicando respecto del multiplicador o
viceversa, es decir, de 92 se sustrae 4 ó de 96 se sustrae 8. Tanto en uno como
en otro caso tenemos 88; a este número se le agrega el producto de los
"complementos": 8 x 4 = 32. Obtenemos el resultado 8832.
Que el resultado obtenido deberá ser exacto, es indudable por las siguientes
transformaciones:
Veamos otro ejemplo:
Se requiere multiplicar 78 por 77.
Factores |
78 |
77 |
Complementos |
22 |
23 |
78 - 23 = 55 22 ´ 23
= 506 5500 + 506 = 6006 |
Veamos un tercer ejemplo:
Multiplicar 99 x 98.
Factores |
99 |
98 |
Complementos |
1 |
2 |
99 - 2 = 97 1 ´ 2
= 3 |
En el caso dado es necesario recordar que 97 denota aquí el número de
centenas. Por tal razón sumamos:
9700
+ 2 = 9702.
6. Para Cálculos Cotidianos
Existe un gran conjunto de métodos de realización acelerada de las
operaciones aritméticas, métodos destinados no a intervenciones de estrado,
sino a cálculos cotidianos. Si hubiera que exponer tan sólo los principales de
dichos métodos, sería necesario escribir un libro completo. Nos limitaremos
pues, a algunos ejemplos con números de uso común y corriente.
En la práctica de los cálculos técnicos y comerciales es un caso frecuente
que se lleguen a sumar columnas de números muy próximos uno a otro, por lo que
se refiere a la magnitud. Por ejemplo:
43 |
La adición de estos números se simplifica notablemente si se
aprovecha el método indicado a continuación, cuya esencia es fácil de
comprender |
43 = 40 + 3 |
=40 ´ 7 + 3 – 2 – 1 + 5 + 1 – 1 + 2 |
De la misma manera hallamos la suma:
752 = 750 + 2 |
= 750 ´ 6 + 2 + 3 – 4 + 4 - 5 + 1 |
En forma análoga se procede para hallar la media aritmética de números cuyo
valor sea muy parecido. Encontremos, por ejemplo la media de los siguientes
precios:
Rublos |
kopeks |
Fijemos a ojo, un precio redondeado próximo a la media: en el
caso dado evidentemente es 4 r, 70 k. |
Dividiendo la suma de las desviaciones entre el número de ellas,
tenemos:
12:8
= 1,5.
Así pues, el precio medio buscado es:
4
rublos 70 k + 1,5 k. = 4 rublos y 71,5 kopeks
Pasemos a la multiplicación. Ante todo indiquemos que la multiplicación por
los números 5, 25 y 125 se acelera notablemente si se tiene en cuenta, lo
siguiente:
5
= 10/2; 25 = 100/4; 125 = 1000/8
Por esta razón, por ejemplo:
36
´ 5
= 360/2 = 180 |
Para multiplicar por 15 se puede aprovechar que
5
= 10 ´ 1
1/2
Por tal motivo, es fácil realizar en la mente cálculos como:
36
´ 15
= 360 ´ 1
1/2 = 360 + 180 = 540
o sencillamente,
36
´ 1
1/2 x 10 = 540,
87
´ 15
= 870 + 435 = 1305.
En la multiplicación por 11 no hay necesidad de escribir 5 renglones:
basta con que bajo el número multiplicado se escriba él mismo, corrido una
cifra:
383 |
88 383 |
y se efectúa la suma.
Es útil recordar los resultados de multiplicar por 12, 13, 14 y 15, como se
hace con los primeros 9 números. Así, la multiplicación de números de varias
cifras por tales factores se acelera en gran medida. Supóngase que se desea
multiplicar
4587
´ 13
Procedamos así. Cada cifra del multiplicando
multipliquémosla mentalmente, a la vez, por 13:
Después de algunos ejercicios;, este método se asimila fácilmente.
Existe un método muy conveniente para la multiplicación de números de dos
cifras por 11: basta con separar las cifras del multiplicando, y escribir entra
ellas, su suma:
43
´ 11 =
473.
Si la suma de las cifras tiene dos cifra, entonces el número de sus docenas se
suma a la primera cifra del multiplicando:
18
´ 11
= 4(12)8, es, decir 528.
Indiquemos finalmente, algunos métodos de la división acelerada. Al dividir
entre 5, multipliquemos por 2 dividendo y divisor:
3471:5
= 6942:10 = 694.2
Para dividir entre 25, multipliquemos cada número por 4:
3471
: 25 = 13 884 : 100 = 138.84
En forma parecida se procede para dividir entre 1 ½ (= 1.5) y entre 2 ½ (=
2.5)
3171
: 1 ½ = 6942 : 3 = 2314,
3471
: 2,5 = 13 884 : 10 = 1388,4
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