INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y MATEMÁTICA

Interpretación geométrica y matemática

El principio básico de posicionamiento del GPS es llamado Trilateración. Sabiendo con precisión cual es la posición de cada satélite en el espacio, un receptor GPS puede determinar por este mecanismo donde se encuentra.

Geometría Básica

Para entender el mecanismo de Trilateración, es necesario comenzar con geometría básica, en dos dimensiones.

Consideremos un punto A (receptor GPS) como la posición a determinar. Desde un punto B (satélite) se envía una señal de radio contentiva de un mensaje con la información acerca de cuando se comenzó a enviar la señal. El punto A recibirá el mensaje y determinara la distancia que le separa del punto B teniendo en cuenta la velocidad de las ondas de radio y de la hora exacta que se envió y recibió el mensaje. Este cálculo arrojara el radio [n] de una circunferencia que tiene como centro al punto B. El punto A puede encontrarse en cualquier punto de la circunferencia formada por ese radio [n].

Desde otro punto C (otro satélite), se envía otro mensaje punto al A, quien realiza el mismo cálculo. El resultado arrojara otro radio que formara una segunda circunferencia que tendrá como centro al punto C. El punto A puede encontrarse en cualquier punto de la circunferencia formada por ese radio. Sin embargo, ambas circunferencias formadas se interceptaran en dos puntos, X y Y. El punto A se encuentra en cualquiera de esos dos puntos.

Supongamos ahora un punto D desde el cual de envía otro mensaje al punto A. El mismo principio de la circunferencia se aplica, y una nueva intersección Z es encontrada. El punto Z será obviamente el punto donde se encuentra el punto A.

Esto aplica también en el caso de locaciones en 3 dimensiones, aunque un poco diferente ya que en ese caso, la intersección de 3 esferas produce dos puntos Z. El mecanismo determinará el punto Z correcto a través de descarte. Matemáticamente, uno de ambos puntos se encontrará demasiado alejado de la tierra.

Esto puede ser explicado visualmente de la siguiente manera. El corte realizado por la circunferencia N sobre la circunferencia M es un circulo [Q, en azul] donde puede encontrarse el punto A. Luego, usando la circunferencia O, se hacen dos cortes [Z] sobre ese circulo.

Este es principalmente el mecanismo usado. Sin embargo, la fuentes de medida, es decir, el tiempo de viaje de las ondas de radio (modificado por razones atmosféricas), y la hora de los mensajes enviados (dada la posible falla en la sincronización entre los relojes de cada punto emisor y el punto receptor) pueden tener efectos importantes en la determinación del punto Z como equivalente el punto A.

Es muy importante señalar que estos resultados solo indicarán las distancias a cada uno de los satélites seleccionados en un momento especifico, no la posición del receptor GPS. El receptor GPS mantiene librerías de información que le ayudaran a determinar su posición exacta o más aproximada (sistema de coordenadas), por ejemplo, la localización exacta de los satélites en el espacio, mapas, etc., además de aplicar cálculos extremadamente complejos para finalmente arrojar una latitud, longitud, altura, etc., especificas.

Matemáticamente

La fórmula de cálculo de los pseudo-rangos es, [d = t * r], donde d es la distancia, t es el tiempo de viaje de la señal entre el emisor y el receptor, y r es la velocidad de las ondas de radio. La velocidad de las ondas de radio, en el espacio, es de 186.000 mps (millas por segundo).

Más complejas ecuaciones son aplicadas para determinar las coordenadas más aproximadas del punto a posicionar, tomando en cuenta la información de las efemérides de los satélites y otros aspectos adicionales, tales como, la corrección de errores, etc.

Constantes necesarias:

Pasos

Cálculo de los pseudo-rangos,

P_i =c ( t_r – t_s )

Donde,

i es el satélite,

c es la velocidad de la luz (3x10⁸m/s),

t_s es la hora de transmisión del satélite,

t_r es la hora de recepción del código.

Y,

P_i =| r_r – r_i | + c δ_r + Є_i

Donde,

r_r es la posición del receptor,

r_i es la posición de cada satélite i,

δ_r es la hora del receptor,

Є_i es la suma de las medidas de error asociadas a cada satélite i.

Y,

| r_r – r_i | = [(x_r – x_i)²+( y_r – y_i) ²+( z_r – z_i) ²]^½

Donde,

(x, y, z)_i es la posición del satélite,

 (x, y, z)_r es la posición del receptor,