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Rutas Matemáticas (Gymkhana matemática x Zaragoza) |
Autores: Mª Ángeles Arroyo García Fernando Corbalán Yuste J. Carlos Gil Mongío Emilio P. Gómez García Manuel Hernández Rodríguez Fernando Herrero Buj Mª Luz Mayoral Gastón Teresa Royo Muñoz José Mª Sorando Muzás
un seminario del Centro de Profesores
y Recursos
"Juan de Lanuza"
Zaragoza y ha sido publicado por el
del Ayuntamiento de Zaragoza
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PROBLEMA 1 Contenidos
Resolución a) En un mosaico a la izquierda de la entrada del Colegio “Gascón y Marín” se dice que fue construido en el año MCMXIX (1919). b) El diámetro de cada columna es de unos 40 cm (127 cm de circunferencia) y su altura de unos 5 m (se puede usar el viejo método de contar ladrillos en la columna junto a la pared). Según eso, el volumen (π·r2·h) se aproxima a los 0’62 m3. La densidad del cemento (dato de fácil acceso en la red) es de 3 gr/cm3. Así, cada columna pesa unos 1.875 kg. c) El arco de la fachada es de unos 90º. Hemos medido su longitud en 60 pies, unos 16’8 m. Entonces, la circunferencia total mediría, aproximadamente: (2·π·r) = 67’2 m; de donde r = 10’7 m.
PROBLEMA 2 Contenidos
Resolución a) Para buscar todos los divisores de 1809, basta ir calculando sus cocientes con cada número natural entre 1 y la raíz cuadrada de 1809 (= 42´53... ). Cada vez que obtenemos un cociente exacto, hemos encontrado dos divisores: 1 y 1.809; 3 y 603; 9 y 201; 27 y 67. En total, ocho divisores. b) Los números 1 y 2 son primos; también lo son 2 y 3. A partir del 3 y 4, cada pareja de números consecutivos contiene un número par mayor que 2, que no es primo. Por lo tanto sólo hay las dos parejas citadas de números primos consecutivos. c) Haciendo comprobaciones podemos llegar al convencimiento de que dos números consecutivos siempre son primos entre si. Demostrarlo exige más tiempo y sosiego del que permite esta gymkhana por la calle.
PROBLEMA 3 Contenidos
Resolución
a)
Si llamamos r
al radio de un vaso, la suma de las áreas de los dos vasos actuales es 2πr2.
Si llamamos R al radio del nuevo vaso: πR2 = 2πr2 , de
donde R =
b) Habrá que medir el caudal del grifo con ayuda de algún recipiente de capacidad conocida: por ejemplo, la botella de agua que aconsejábamos llevar al comenzar la gymkhana. Se cronometra el tiempo que la fuente tarde en llenar la botella y una sencilla regla de tres posterior nos permitirá saber cuánta agua ha salido en hora y media (5.400 seg).
PROBLEMA 4 Contenidos
Resolución a) Para no tocar el mosaico, podemos fijarnos en la foto de la portada de la publicación e incluso dibujar sobre ella. La flor central tiene 6 ejes de simetría. b) La figura exterior tiene 20 ejes de simetría. c) MCD (6 , 20) = 2 ejes comunes
PROBLEMA 5 Contenidos
Resolución Los arcos tienen 7 y 11 lóbulos. m.c.m (7 , 11) = 77. Tanteando con la calculadora, se encuentra su mayor múltiplo de 5 cifras: 77 · 1.298 = 99.946.
PROBLEMA 6 Contenidos
Resolución
a)
Sea l
la longitud del lado del cuadrado, entonces la diagonal mide
Estos dos
cuadrados pequeños tienen de diagonal
por tanto su
área es:
Así, el área
de la estrella es :
y su perímetro
De esta manera l = raíz de 2 y se obtiene el perímetro sustituyendo.
b) Hacemos recuento de las posibles parejas: (0 , 1) , (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 0) , (0 , 1) , (1 , 2) , (2 , 3) , (3 , 0). Las puntuaciones que pueden aparecer son: 1 (2 casos), 3 (4 casos) y 5 (2 casos). Así que 3 es la puntuación más probable (4 casos de 8).
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(C) José María Sorando Muzás |
