Interpretación Geométrica y Matemática

Los primeros satélites empleados para la radionavegación fueron los de la serie estadounidense Transit(1960, operativo desde 1964). Se desarrollaron para ayuda de navegación de los submarinos del tipo Polaris. En este sistema los satélites siguen una órbita baja y transmiten continuamente una misma frecuencia. Debido al movimiento orbital, desde tierra se perciben unos desplazamientos Doppler de la señal. Conociendo las coordenadas y esas desviaciones de frecuencia se puede conocer la posición del observador. La principal desventaja de usar el método Dopper era que no se disponían de los satélites las 24 horas del día.

La geometría de la constelación de satélites influye mucho en el error. Si el usuario se encuentra en un lugar donde las rectas que le unen con los satélites son casi perpendiculares entre ellas, el área de incertidumbre de intersección será mucho menor. Si los ángulos no son perpendiculares el área de incertidumbre será mayor. En el último caso se dice que presenta una geometría pobre, y la exactitud puede ser 10 veces peor que con buena geometría. Esa influencia de la geometría se expresa con el parámetro GDOP (Geometrical Dilution Of Position) que multiplicado por los demás errores da el error total cometido. El significado de este error se ilustra en Ilustración 1 y Ilustración 2.

El factor GDOP se puede descomponer en varias componentes que dan más información sobre la naturaleza del error: VDOP (vertical) ,HDOP (horizontal), PDOP (Position), TDOP (Time)etc…

Generalmente el receptor calcula GOP de las posiciones geográficas y estima los demás errores para informar al usuario del error cometido. Además, como los satélites se mueven a gran velocidad (232 Km/min) GOP varía continuamente y el receptor debe elegir en cada momento los satélites que mejor relación geométrica ofrezcan.

Ilustración -1: Situación de buena geometría. El área de incertidumbre es mínima para los errores existentes.

Ilustración -2: Situación de pobre geometría en que el error se amplifica.

Eliminando la influencia de la propagación en la ionosfera mediante el uso de DGPS se pueden conseguir una precisión absoluta, con presencia de la disponibilidad selectiva, mejor (1 metro) que la que consiguen los usuarios del código P sin disponibilidad selectiva.

Los gps pueden utilizar tres métodos para determinar este tiempo: Sistema Doppler, método de seudodistancias y método de medida de fase.

El sistema Doppler es bastante impreciso y prácticamente no se usa, para dar una interpretación matemática utilizaremos el método de Seudo-Distancias

            Se emplean 4 satélites respecto a los cuales el receptor calcula las distancias respectivas. En realidad no se miden distancias, sino pseudodistancias. Veamos que significa este concepto:

LLamamos

[0]
entonces

[1] -------------- distancia real (sin deriva)

[2] -------------- pseudodistancia
donde el tiempo medido es:

[3]

[4]
Este es el error producido como consecuencia de la deriva existente entre el reloj del satélite y el reloj del receptor.

Así pues, la distancia real (que es la que realmente nos interesa) será:

[5]
Las coordenadas de cada satélite son conocidas, tenemos 4 ecuaciones de la forma:

[6] para i = 1,..,4
(x_i,y_i,z_i) ------------ coordenadas del satélite
4 ecuaciones ~ 4 incógnitas --- solución única

Para linealizar [6] y facilitar así su resolución se pide al usuario que introduzca una posición aproximada:

[7]

Desarrollamos en serie de Taylor en torno a este punto

[8]

[9]
Que puede ponerse como:

[10]

 

Y así hemos llegado a un sistema con 4 ecuaciones y 4 incógnitas que se van a calcular conociendo las distancias a 4 satélites.

Si hay más de 4 satélites visibles se calculan las pseudodistancias respecto a todos los satélites visibles, obteniendo así un sistema con más ecuaciones que incógnitas, lo que simplifica el cálculo de la posición.
El sistema está diseñado para que sobre cualquier punto de la superficie terrestre haya al menos 4 satelites visibles.
El sistema GPS además de la posición nos ofrece una referencia temporal muy exacta, esto permite:

• Sincronizar los relojes locales (esto tiene muchas aplicaciones, p.ej. sincronización en transmisiones...).
• Posibilidad de medir la velocidad a la que se desplaza el usuario a través del desplazamiento Doppler.
  [11] ---- relación f_Doppler ~ desplazamiento Doppler

Algunos detalles del sistema GPS

• Error instrumental del cálculo de pseudodistancias como consecuencia de un error en la medida del retardo temporal de la señal.
  [12] ---- relación f_Doppler ~ desplazamiento Doppler
  El sistema GPS requiere sistemas de medidas de retardo muy precisos.
• El reloj del satélite también puede sufrir alguna deriva (al cabo de varios años). El GPS envía al receptor una serie de modelos para corregir estas derivas.
• Puede suceder que el receptor sólo sea capaz de recibir las señales de 3 satélites. En este caso se pide al usuario que introduzca la altura y se emplea el GPS en 2D.
• La señal tarda unas centésimas de segundo en llegar al receptor, la posición del satñelite que hay que considerar para calcular la posición del usuario es la que tenía el satélite en el momento de transmitir la señal.