Basta ir probando con las primeras sumas de impares y darse cuenta de lo que pasa:

1 = 1 = 1²

1 + 3 = 4 = 2²

1 + 3 + 5 = 9 = 3² ...

Las sumas de números impares consecutivos siempre da el cuadrado de un número, concretamente el número que es media aritmética de los impares que estamos utilizando. Si queremos sumar todos los impares desde el 1 al 101 va a salir el cuadrado del número que es media aritmética entre 1 y 101:

(1 + 101) : 2 = 51; luego

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 + 101 = 51² = 2601

Y de la misma forma:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 + 201 = 101² = 10201

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 341 + 343 = 172² = 29584