COORDINACION DE GEOMETRIA ANALITICA

COORDINACIÓN DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

SERIE No. "3" 2000-II

"LA RECTA Y EL PLANO"

1. Sea L la recta cuyas ecuaciones son:

Calcular:

a) La distancia del origen de coordenadas, a la recta L.

b) La distancia entre la recta L y el eje de las cotas.

c) Los ángulos que forma la recta L con los ejes coordenados X, Y y Z, respectivamente.

2. Sean las rectas cuyas ecuaciones son:

Si dichas rectas son perpendiculares entre sí, y además se intersecan, determinar los valores de "a" y "b".

3. Sean las rectas L y R definidas de la siguiente manera:

L: pasa por el origen, está contenida en el plano YZ, y forma un ángulo de con el eje Y.

R: es paralela al eje Z y corta al eje X en el punto P de coordenadas (2, 0, 0).

a) Determinar unas ecuaciones paramétricas de las rectas L y R.

b) Indicar si las rectas L y R definen un ángulo entre sí. En caso afirmativo, calcularlo; en caso contrario, justificar su respuesta.

4. Sean las rectas cuyas ecuaciones son:

a) Determinar si son paralelas, si se cruzan o si se cortan.

b) En caso de que se corten, determinar el punto de intersección; en caso de que se crucen o sean paralelas, calcular la distancia entre ellas.

5. Determinar las coordenadas del punto de intersección entre la recta:

y la recta que pasa por los puntos (4, 6, 8) y (0, 6, 0).

6. Calcular la distancia entre la recta

y el eje de las abscisas.

7. Sea la recta R que pasa por el punto P(4, -1, 0), que es perpendicular al eje X, y cuyo vector director tiene como ángulos directores ; y sea la recta L, una de cuyas ecuaciones vectoriales es:

Determinar los valores de a y b, tales que las rectas R y L se intersequen perpendicularmente.

8 . Sea la recta L que tiene por ecuaciones:

Determinar las coordenadas del punto de la recta que está más cerca del origen de coordenadas.

9. Determinar unas ecuaciones paramétricas de la recta L que es coincidente con el eje X.

10. Determinar unas ecuaciones paramétricas de la recta R, que pasa por el punto , y que corta perpendicularmente a la recta L que tiene por ecuaciones:

11. Sea la recta L, unas de cuyas ecuaciones paramétricas son:

Determinar las coordenadas del punto de la recta que está más cerca del origen de coordenadas

12. Calcular la distancia entre las rectas que tienen por ecuaciones:

13. Sea la viga que tiene por extremos a los puntos A(1, 2, 3) y B(7, 6, 5). Si desde el punto C(4, 5, 10) cae en forma vertical un objeto, determinar si éste golpea a la viga. En caso afirmativo, determinar el punto de contacto; en caso negativo, calcular a qué distancia de la viga pasará el objeto.

Nota: despreciar el ancho de la viga y el del objeto.

14. Sea la recta que contiene al punto A(4, 0, 4), que interseca a la recta y forma con ésta un ángulo de . Si las ecuaciones de la recta son:

Determinar las coordenadas de los puntos de intersección entre (hay dos soluciones).

15. Sea la recta L que pasa por el punto A(2, 4, 6) y que forma ángulos agudos iguales con los ejes X y Y. Si el ángulo entre la recta L y el eje Z es de , determinar:

a) El ángulo que forma la recta L con los ejes X y Y;

b) Unas ecuaciones paramétricas de la recta L;

c) El punto en el cual la recta L se interseca con el plano XZ.

16. Sean las rectas:

a) Calcular el ángulo que forman .

b) Determinar la distancia entre .

Obtener la ecuación cartesiana del plano definido por

17. Sean las rectas L y R que tienen por ecuaciones:

a) Si L y R se intersecan, determinar el punto de intersección; en caso contrario calcular la distancia entre dichas rectas.

b) Determinar el punto de intersección de la recta R con el plano XY.

18. Sean los planos:

Determinar:

a) La ecuación cartesiana del plano que contiene al punto A(0, 7, -1) y que es simultáneamente perpendicular a los planos ;

b) Unas ecuaciones paramétricas de la recta R de intersección del plano con el plano YZ;

c) El ángulo que forma el plano con el eje Z.

19. Sean las rectas L y R que tienen por ecuaciones:

Determinar si las rectas L y R definen un plano. En caso afirmativo, obtener la ecuación cartesiana de dicho plano; en caso contrario, justificar su respuesta.

20. Determinar el punto de intersección entre los planos , cuyas ecuaciones son:

21. Determinar la ecuación cartesiana del plano que forman las rectas:

22. Determinar la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos A(1, 0, -1) y B(2, 0, 2), y que forma un ángulo de con el plano de ecuación:

23. Sea el plano definido por los puntos A(3, 0, 0), B(0, 3, 0) y C(0, 0, 6).

a) Calcular la distancia entre el punto Q(4, 2, 2) y el plano.

b) Determinar el punto de intersección entre el plano y la recta L que contiene al punto (-1, 1, 1) y que es normal al plano.

24. Determinar la ecuación cartesiana del plano que es perpendicular al plano cuya ecuación es Y=0, y que contiene a la recta L de ecuaciones:

25. Sea el plano cuya ecuación es , y sea la recta L que tiene por ecuaciones:

Determinar, si existe, la intersección entre la recta y el plano.

26. Determinar la ecuación cartesiana del plano que contiene al punto P(2, -1, 4) y que es perpendicular a la recta L que tiene por ecuaciones:

27. Determinar la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto A(1, -2, 3) y que contiene al eje coordenado X.

28. Determinar las ecuaciones cartesianas de los tres planos que contienen a la recta L de ecuaciones:

y que son perpendiculares a los tres planos coordenados.

Determinar la ecuación cartesiana del plano que contiene al punto A(-1, 2, 1) y a la recta de intersección del plano cuya ecuación es

con el plano YZ.

30. Calcular el ángulo que forman la recta

y el plano

31. Sean las rectas que se cruzan en el espacio, sin cortarse, y definido por:

Determinar la ecuación cartesiana del plano que contiene a , siendo ésta última ortogonal tanto a como a .

32. Sean las rectas cuyas ecuaciones son:

Determinar la ecuación cartesiana del plano que contiene a .

33. Determinar las coordenadas del punto B que se muestra en la siguiente figura.

A(3,1,4)

90° B

p: 2x -y +z -3 =0

34. Determinar la ecuación cartesiana del plano que es bisector del ángulo que forman las rectas L₁ y L₂ de ecuaciones:

35. Sea la recta L, unas de cuyas ecuaciones son:

y sea el plano cuya ecuación es:

a) Calcular el ángulo que forma L con .

b) Determinar la intersección de L con , si ésta existe.

36. Sea la recta L que pasa por el punto A(7, 0, 0) y que es normal al plano de ecuación:

a) Determinar el punto de intersección entre dicha recta y el plano.

b) Si T1 y T2 son las rectas de intersección del plano con los planos coordenados XZ y YZ, respectivamente, calcular el ángulo comprendido entre T1 y T2.

c) Determinar unas ecuaciones en forma simétrica de la recta que pasa por el punto A y que es simultáneamente perpendicular a las rectas mencionadas en el inciso anterior.

37. Determinar la ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta L y que es perpendicular al plano si:

38. Sea el punto P(1,2,3) y sea la recta L:

L: x-2 = -y = 3-z

Determinar:

la ecuación cartesiana del plano que contiene al punto P y a la recta L;

las coordenadas del punto Q, perteneciente a la recta L, que está más próximo al punto P.

39. Sean la recta L y el plano p, cuyas ecuaciones son:

p: 3x -2y +nz = 0

Determinar los valores de "m" y "n" que hacen a la recta y el plano perpendiculares.

40. Obtener una ecuación vectorial de la recta L₃ que interseca perpendicularmente a las rectas L₁ y L₂ de ecuaciones:

41. Obtener la ecuación cartesiana de un plano p que es perpendicular a la recta representada por la ecuación = (2,1,3) +t(-2,2,1) y dista seis unidades del origen.