Metodo de Regla Falsa

Explicacion General.

Este metodo sirve para encontrar la raiz o solucion real de una ecuacion. Al decir que encuentra su resultado hay que tomar en cuenta que no todas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuacion antes de aplicar el metodo para que sea efectivo.

Procedimiento:

La forma de operar de este metodo es un poco mas simple que el de biseccion y lo que hace es ir tirando lineas rectas que corten con el eje de las X e ir checando si es o no la raiz que se busca. La forma de hacerlo es la siguiente: Primero se tiran 2 puntos, cualesquiera que sean, sobre el eje de las X, pero tratando de que la raiz quede entre ellos, si no es asi, el mismo metodo lo seņala. A esos 2 primeros puntos se les llama A y C.

Despues se evaluan esos 2 primeros puntos en la ecuacion original y se obtiene f(A) y f(C). Luego se une con una linea recta f(A) y f(B), esto se hace por medio de un manejo de la ecuacion general de una recta, y al punto en el que esa nueva recta cruza con el eje de las X se le llama B. La formula para sacar el valor de B es B=C-((C-A)*f(C))/(f(C)-f(A)) y una vez que se tiene el valor de B se evalua tambien en la ecuacion y se obtiene f(B). Al igual que con el resto de los metodos, es recomendable ordenar los datos en forma de columnas, asi habra una columna A, una B, una C, una f(A), una f(B) y una f(C).

Supongamos que se tiene la siguiente ecuacion: x^3+2x^2+7x+8

A B C f(A) f(B) f(C) -1 0.75 1 -14 -1.2031 2

Lo siguiente que hace el metodo es trazar otra linea recta pero ahora desde f(B) hasta f(C), el nuevo punto donde cruza esa linea se acerca mas a la raiz y se llama bī. En realidad para continuar con el metodo se procede igual que con el de biseccion, es decir, se ve entre que valores en la columna de las f(X) hay un cambio de signo. En la tabla de arriba se observa que el cambio se da entre f(B) y f(C), por lo que se hace lo siguiente: el valor de f(A) en la siguiente fila ya no se toma en cuenta, y es reemplazado por el de f(B), como si hubo cambio en f(C) entonces ese valor si se toma en cuenta y se baja para la siguiente fila, lo mismo pasa en las 3 primeras columnas, el valor de A ya no se toma en cuenta y se reemplaza por B, y el de C se baja.

A B C f(A) f(B) f(C) -1 0.75 1 -14 -1.2031 2 0.75 1 -1.2031 2

Como se puede observar, los espacios de B y f(B) quedaron vacios, y para llenarlos solamente es volver a hacer lo que ya se hizo, primero se saca B con la formula B=C-((C-A)*f(C))/(f(C)-f(A)) y una vez  que se tiene ese valor, se sustituye en la ecuacion original y se obtiene f(B) y otra vez se ve donde hay cambio de signo y se repite el proceso. Si en el primer paso resulta que no hay cambio de signo entre ninguna de las 3 columnas de las f(X), entonces quiere decir que la raiz no esta entre los puntos que le dimos, por lo que hay que darle otros y empezar otra vez. El metodo puede fallar cuando hay mas de 1 raiz entre los puntos que le dimos, o si los puntos estan muy cerca uno de otro. El metodo se terminaria idealmente cuando el valor absoluto en la columna de f(B) sea 0, pero realmente nunca pasa, por lo que se fija un valor antes de empezar cercano a 0, por ejemplo 0.001, y cuando el valor absoluto en la columna de f(B) sea menor o igual a 0.001, entonces el ultimo valor que este en la columna de B sera la aproximacion de la raiz que se busca.

Baja el programa de ejemplo: