الدروس التعليمية

الصفحة الرئيسية

أوتار الدائرة

lلمدى الرؤية الأفقية لمنارة في اليوم الصحو 60 كيلو متراً، عبرت سفينة تسير في خط مستقيم هذا المدى ، وبقيت تسير ضمنه لمسافة 43 كيلو مترا ، جد أقصر مسافة بين السفينة والمنارة.

يمثل مدى الرؤية دائرة مركزها قاعدة المنارة وطول نصف قطرها 60 كم ويمثل خط سير السفينة قاطعا لهذه الدائرة والجزء الواقع ضمن مدى الرؤية وتراً في الدائرة ، كما تلاحظ في الشكل

ستتعرف في هذا الدرس إلى الخصائص والنظريات المتعلقة بأوتار الدائرة وأقطارها ، التي تمكنك من حل المسألة السابقة ومسائل مماثلة .

تذكر ! · نصف قطر الدائرة : هي القطعة المستقيمة الواصلة من مركز الدائرة إلى أي نقطة من نقاطها. · الوتر : هو القطعة المستقيمة الواصلة بين أي نقطتين من الدائرة. · القطر : هو وتر الدائرة المار في مركزها وهو أطول أوتار الدائرة. · القاطع:هو مستقيم يحتوي على وتر في الدائرة · القوس: هو جزء من الدائرة محصور بين نقطتين منهما

في الشكل المجاور دائرة مركزها م ، النقط هـ ، م ، د على استقامة واحدة . عين لهه الدائرة ما يأتي : 1) ثلاثة أنصاف أقطار الإجابة :   1)  أ م               2)  م د               3)  هـ م 2) قطراً الإجابة :   د هـ 3) أربعة أقواس الإجابة :   1) ب ج               2) ب هـ               3) أ د               4) أ ج

نفذ النشاطات الآتية :

1)   أ  ) ارسم دائرة مركزها م بأي نصف قطر تختار .

ب) ارسم الوتر أ ب فيها .

ج ) أنزل من المركز العمود م ج على الوتر أ ب .

د ) جد أ جـ ، ب جـ .

هـ) ما العلاقة بين هذين الطولين

2)   أعد الخطوتين ( أ ) ، ( ب ) من ( 1 )

و  ) عين النقطة س منتصف الوتر أ ب ، ارسم م س .

ز  ) جد قياس الزاوية أ س م .

3)   أعد الخطوتين ( أ ) ، ( ب ) من ( 1 )

ح )  عين النقطة ن منتصف الوتر أ ب .

ط ) أقم من ن العمود ن د على أ ب .

ي ) ما علاقة مركز الدائرة بهذاالعمود ؟

قارن النتائج التي توصلت إليها مع تلك التي توصل إليها زملاؤك.

تذكر !

1) المسافة بين نقطتين هي طول المسافة المستقية الواصلة بينهما.

2) أقصر نقطة بين نقطة ومستقيم تساوي طول العمود النازل من تلك النقطة إلى ذلك المستقيم.

لا بد أنك لاحظت من خلال تنفيذك للنشاطات السابقة ما يأتي :

نظريـــة

1) العمود النازل من مركز دائرة على أي وتر فيها ينصفه .

2) المستقيم الواصل بين مركز دائرة ومنتصف وتر فيها غير مار بالمركز ، يكون عمودا على الوتر .

3) العمود المقام من منتصف وتر في دائرة يمر بمركز الدائرة.

وإليك برهان الجزء الأول من النظرية :

المعطيات

أ ب وتر دائرة مركزها م ، انظر الشكل المجاور ، م د عمود على الوتر أ ب .

المطلوب

إثبات أن م د ينصف أ ب ، أي أن : أ د = د ب

البرهان

ارسم م أ ، م ب فيتكون المثلثان م أ د ، م د ب فيهما :

م أ = م ب ( كل منهما يساوي طول نصف قطر الدائرة )

م د = م د ( طول ضلع مشترك ) ،

قياس الزاوية أ د م = قياس الزاوية ب د م ( قائمتان بالفرض ) إذا ينطبق المثلثان بضلع ووتر وقائمة ، وينتج أن :

أ د = د ب . ( وهو المطلوب ) .

برهن أن :

المستقيم بين مركز الدائرة ومنتصف وتر فيها غير مار بالمركز يكون عمودا على الوتر.

وأما الجزء ( 3 ) من النظرية فهو نتيجة حتمية للجزأين ( 1 ) و ( 2 ).

أ ب وتر في دائرة مركزها م ، طول نصف نصف قطرها 10 سم ، إذا كان طول العمود النزل من م على الوتر أ ب يساوي 6 سم ، جد أ ب .

الحل :

ليكن م د العمود النازل من م على الوتر أ ب كما في الشكل المجاور ارسم م أ فيتكون المثلث أ م د القائم الزاوية في د ، باستخدام نظرية فيثاغورس ينتج أن:

(م أ)^2 = (م د)^2 + (أ د)^2  (10)^2 = ^26 + (أ د)^2 إذا أد = 8 سم أ ب = 2 * أ د = 16 سم

تذكر ! نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية ، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين

L

حل المسألة التي طرحت في بداية هذا الدرس.

ك ، ل منتصفا الوترين أ ب ، جـ د في دائرة مركزها م إذ1ا كان م ل=م ك فأثبت أن أ ب = جـ د.

الحل :

المعطيات

أب ، جـ د وتران في دائة مركزها م ،

ك،ل منتصفا أ ب،جـ د، الشكل المجاور،م ل = م ك

المطلوب

إثبات أن أ ب = جـ د .

البرهان

ارسم م أ ، م جـ فيتكون المثلثان م أ ك، م ل جـ فيهما: م أ = م جـ ( كل منهما يساوي طول نصف قطر الدائرة).

م ك= م ل ( معطى)

قياس الزاوية م ك أ  = قياس الزاوية م ل ج = 90ْ (المستقيم الذي يصل مركز الدائرة بمنتصف وتر يعامد الوتر)

إذا ينطبق المثلثان بضلع ووتر وقائمة وينتج أن : أ ك = جـ ل

أي أن 0.5 أب = .05 جـ د ، إذا أ ب = جـ د ( وهو المطلوب ).

يمثل الشكل المجاور مدخل نفق مصمم على شكل قوس دائرة طول قطرها 6 أمتار إذا كان ارتقاع القوس فوق منتصف قاعدة النفق يساوي 4.5 فجد عرض قاعدة النفق.

الحل

تمثل قاعدة مدخل النفق وترا في الدائرة .

إذا كانت جـ منتصف قاعدة النفق فإن ارتفاع النفق = جـ هـ، جـ هـ ┴ أ ب

إذا يقع المركز م على جـ هـ ، ويكون المثلث م أ جـ قائم الزاوية في جـ ،

باستخدام نظرية فيثاغورس ينتج أن :

(أم)² = (م جـ)² + (أ جـ)²

²3 = (1.5)2 + (أ جـ)2

إذا أجـ = 2.598 متراً.

إذا أب = 5.196 متراً.

1) كم دائرة يمكن أن ترسم بحيث أن تمر كل منها بنقطة معلومة هي أ؟

2) كم دائرة يمكن أن ترسم بحيث أن تمر كل منها بنقطتين معلومتين هما أ ، ب ؟

3) كم دائرة يمكن أن ترسم بحيث أن تمر كل منها بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة ؟

هذا الدرس مقتبس من كتاب الصف العاشر .