|
علم المثلثات هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا
و المثلثات
و التوابع
المثلثية مثل الجيب. علم المثلثات هو نوعا ما فرع من الهندسة.
لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات
في الجغرافية
والفلك،
وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.
يقال عن مثلثين
أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج احدهما
عن الأخر بتكبيره أو تصغيره. إن أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة،
أي انه إذا كان طول اقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول اقصر أضلاع المثلث
الثاني، فان طول كل من الضلعين الأطول و المتوسط من المثلث الأول هو ضعفا
طولي لضلعين الأطول و المتوسط من المثلث الثاني أيضا، و بالتالي فان النسبة
بين طولي الضلعين الأقصر و الأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي
الضلعين الأقصر و الأطول في المثلث الثاني.
اعتمادا على هذه الحقائق، من الممكن تعريف التوابع المثلثية،
مستخدمين المثلث القائم. في البداية، من الواضح انه
إذا تساوت زاويتان في مثلثين قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، و تكون
النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين
(الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين و تعتمد
فقط على قيمة الزاوية، و ستكون عددا بين 0 و 1، تدعى هذه النسبة بجيب
الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف جتا الزاوية على
أنها النسبة بين الضلع المجاور لها و الوتر.
جيب س = المقابل /
الوتر
جتا س = المجاور / الوتر
تابعا الجيب و الجتا هما أهم التوابع المثلثية، هناك أيضا توابع أخرى تعرف بأخذ نسب أخرى من
أضلاع المثلث القائم، أو نسب من التابعين الأساسيين جيب و جتا، هذه التوابع هي: ظل، ظتا،
قا ،
و قتا .
ظل س= جيب س / جتا س = المقابل / المجاور
ظتا س = جتا س / جيب س
= المجاور / المقابل
قا س = 1 / جتا س =
الوتر / المجاور
قتا س = 1 / جيب س = الوتر / المقابل
بهذا نكون قد عرفنا التوابع المثلثية للزوايا
من 0 إلى 90، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا
باستخدام الدائرة الواحدية.
عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول
أو الالة الحاسبة) و معرفة قيم ضلع و زاويتين أو
ضلعين و زاوية أو ثلاثة أضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث
(زوايا و أضلاع) باستخدام قوانين الجيب و قوانين الجتا.
الزاوية
الزاوية هي المحصور بين خطّين مستقيمين متقاطعين أو مستويين متقاطعين
يسميا ضلعيّ الزاوية، وتقاس الزاوية بمقدار المساحة المحصورة بين امتداد الخطّين المكونين للزاوية وقوس دائرة مركزها نقطة تقاطع المستقيمين، وتقسم
هذه المساحة على مساحة هذه الدائرة
الكلّية، ومن الشائع ضرب النسبة الناتجة بالرقم 360 لإعطاء مقدار حدّة هذه
الزاوية بالمقياس الشائع ويسمى درجة.
قياس الزوايا
لقياس الزاوية يقاس طول قوس دائرة مركزها نقطة تقاطع ضلعي الدائرة
المحصور بين ضلعي الزاوية ويقسم على محيط هذه الدائرة فإذا ضرب الجواب
بالنسبة 2π
يكون قياس الزاوية بالقياس الدائري ولحساب قياس الزاوية بالدرجات، تضرب
النسبة بين القوس المحصور بين ضلعي الزاوية و محيط الدائرة التي مركزها نقطة
التقاطع بالرقم 360. ويرمز للدرجة بدائرة صغيرة ترسم أعلى قياس الزاوية كما
في 360°.
أنواع الزوايا
تقسم الزوايا إلى عدة أنواع طبقا لقياسها.
·
زاوية حادة: وهي الزاوية ذات القياس الأكبر من صفر وأقل من
90 درجة (زاوية في الربع الأول من الدائرة).
·
زاوية قائمة:وهي الزاوية ذات القياس 90 درجة، أي أنها تقع
على خط الربع دائرة تماما
·
زاوية منفرجة: هي الزاوية التي يفوق قياسها 90 درجة ويقل
عن 180 درجة.
·
زاوية منعكسة: هي الزاوية التي يفوق قياسها ال180 درجة .
تابع مثلثي
في رياضيات، تعتبر التوابع مثلثية أو الدوال المثلثية
دوال لزاوية هندسية، و هي دوال مهمة عندما نريد
دراسة مثلث أو عرض
ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال ك نسبة لأضلاع
مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية
أو دائرة واحدية
unit
circle
.
في الرياضيات ، الدوال المثلثية
هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر
المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية
على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو ، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة،
ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي
(مستوى إحداثي أو إقليدي) ، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.
وهناك ثلاثة
دوال مثلثية أساسية هي:
· جا أو الجيب ، ويساوي
النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر.
· جتا أو جيب التمام ،
ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر.
· ظا أو الظل ، ويساوي
النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.
|