New Page 0

Bu problem konusunda bilinen tek şey vardır ki, o da kökeninin sırlarla örtülü olduğudur. Aslında problemin genel kabul görmüş bir ismi bile yok. Bazıları ona 3N+1 problemi diyor. Collatz adı, 1930 larda problemin yaratıcısı olduğu söylenen Lothar Collatz 'dan gelmektedir. Peki nedir bu problemin özelliği? Problemin tanımlamalarının oldukça kolay olmasına karşın hem daha çözülmemiştir, hem de (günümüzün en iyi matematik beyinlerine göre) uzun yıllar boyu çözülmeden kalması olasılığı vardır.
          Dolu tanesi sayıları aşağıda verilen çok kolay bir yolla elde edilirler. Bir sayı düşünün, sayı tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin; çift ise 2 ye bölün. Ve elde ettiğiniz her sayı için bu kuralı tekrar tekrar uygulayın. Bunu bir kaç sayı ile tekrar tekrar deneyin ve sonuçta ne olduğuna bakın. Mesela biz şimdi 1, 2 ve 3 için ayrı ayrı deneyelim;

          1,4,2,1,4,2,1,4,2, ...
          2,1,4,2,1,4,2,1,4,2, ...
          3,10,5,16,8,4,2,1,4,2, ...

      Bunların hepsi kısa sürede aynı 1,4,2,1,4,2 döngüsüne giriyorlar. İsterseniz daha büyük bir başlangıç sayısı seçin, mesela 7;

          7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1, ...

         Bu sefer dizi biraz daha uzayıp 52 gibi bir maximum noktasına ulaştıktan sonra yine o döngüye takılıp kaldı. Şimdi yanıtlanması gereken soru şudur; "Bütün bu diziler, başlangıç sayıları ne olursa olsun, bu şekilde mi sonuçlanırlar?". Ben bu yazıyı yazdığım ve internete sunduğum sırada bu sorunun yanıtı henüz bulunmuş değil.
          Yapacağınız çalışmalar sırasında, Kuralın her sayı için doğru olduğunu göstermek için bir genelleştirilmiş yöntem bulurken, yada kuralı, tabiri caizse, "delen" bir sayı bulmaya çalışırken sizlere yardımcı olabilecek bir kaç nokta göstermek istiyorum; Denemeler yaparken tüm sayıları denemenize gerek yok. Mesela çift sayılar ilk adımda hemen 2 ye bölünüp, sonuçta bir veya birkaç adımda bir "tek" sayıya ulaşılacağından, çift sayıları denemeniz gerekmiyor. Ayrıca denemiş olduğunuz bir sayı dizisinde herhangi bir adımda ortaya çıkan bir sayıyı da yeniden denemenize gerek yok. Mesela yukarıda 7 yi başlangıç sayısı olarak alıp yaptığımız denemeye bakarak, 2. adımda elde ettiğimiz 11 için veya 4. adımda elde ettiğimiz 17 için ayrıca deneme yapmamız gerekmiyor, zira sonuçta 4,2,1,4,2,1 döngüsüne takıldığı görülüyor.

Probleme neden dolu tanesi sayıları dendiğine gelince; adım sayısı ve elde ettiğimiz değerlerin bir grafiğini çizdiğimizde Tıpkı fırtınada bir aşağı, bir yukarı inip çıkan dolu taneleri gibi sayıların da dalgalandığını görebilirsiniz. Şekilde başlangıç sayısı 27 olarak seçilerek kurallar dahilinde oluşturulan dizinin grafiğini görmektesiniz. Bu dizi 111 adım sonra yine bildik 1,4,2,1,4,2... döngüsüne takılıyor. Gerçekten de bu sefer uzun bir yolculuk oluyor, hatta 77. adımda dizimiz 9232 maksimum düzeyine erişiyor. Ancak ne var ki, diğerleri gibi onu da aynı son bekliyor:)

Gördüğünüz gibi bu 77. adımdan sonra muazzam bir çöküş başlıyor. Tabii bu sadece yolculuğu uzun süren küçük bir örnek. Bunun gibi ve daha uzun süren bir çok başlangıç sayıları bulunabilir.
Elbette siz, problemin çözümü için kendinize göre bir çok mantıklı yol geliştirebilirsiniz. Bunların bir kısmı; kuralı delen bir sayının var olduğuna ilişkin, bir kısmı da 1 'den sonsuza kadar tüm sayıların bu kurala uyduğu yönünde genelleme yapan bir yöntem olabilir. Tabi bu iş için bilgisayarları da kullanabilirsiniz. Her şey serbest. Son olarak size şunu söylemek istiyorum; Yapılan en güçlü programlarla başlangıç sayılarının incelenmesi sonucunda; 1.000.000.000.000 'a (yani 1 trilyona) kadar olan başlangıç sayılarının bu kurala uyduğu saptanmıştır..! Bu sizi asla yıldırmasın, çünkü doğada daha sayı çook:) Belki de çok daha büyük bir sayı bu kurala uymuyordur, ne dersiniz?. Yapmayı düşündüğünüz tüm ispatlar için şimdiden size kolay gelsin diyorum.. Kim bilir, belki de bu problemin ispatını ilk yapan siz olup, matematik tarihine geçebilirsiniz