Funzioni ellittiche ed integrali
La terminologia per integrali e funzioni ellittiche e' cambiata durante questa investigazione. Quelle che erano chiamate in origine funzioni ellittiche ora sono chiamate integrali ellittici. Il termine funzioni ellittiche e' riservato per un'altra idea. Percio' noi useremo la terminologia moderna in questo articolo per evitare confusione.
E' importante comprendere come i matematici ebbero differenti modi di pensare in periodi differenti. I primi algebristi dovevano provare le loro formule con la geometria. Allo stesso modo quelli che cominciarono a lavorare con l'integrazione consideravano che i loro problemi erano risolti se potevano correlare un integrale ad un oggetto geometrico.
Molti integrali derivarono dai tentativi di risolvere problemi di meccanica. Per esempio si trovo' che il periodo di un pendolo semplice era correlato ad un integrale che esprimeva la lunghezza dell'arco ma non si poteva trovarne una formula in termini di funzioni "semplici". Lo stesso era vero per la deflessione di una sottile barra elastica.
Si puo' dire che lo studio di integrali ellittici comincio' nel 1655 quando Wallis comincio' lo studio della lunghezza di un arco di ellisse. In effetti egli considero' le lunghezze di arco di varie cicloidi e confronto' queste lunghezze di arco a quelle di un ellisse. Sia Wallis che Newton pubblicarono un'espansione di serie infinite per la lunghezza di un arco di una ellisse.
A questo punto dovremmo dare la definizione di un integrale ellittico. E' uno che ha la formula
dove r(x,y) e' una funzione razionale in due variabili e p(x) e' una polinomiale di terzo o quarto grado senza radici ripetute.r((x,y)
p(x))dx
Nel 1679 Jacob Bernoulli tento' di trovare la lunghezza di arco di una spirale ed incontro' un esempio di integrale ellittico. Nel 1694 Jacob Bernoulli prese un passo importante nella teoria degli integrali ellittici. Egli esamino' la forma che un'asta elastica prenderebbe se compressa alle estremita' e mostro' che la curva soddisfa
ds/dt = 1/Egli poi introdusse la curva lenniscata)
(xla cui lunghezza d'arco e' data dall'integrale da 0 a x di+y
dt/Questo integrale, che chiaramente soddisfa la definizione di cui sopra e' un integrale ellittico, e divento' noto come l'integrale lenniscato.
Questo e' un caso particolarmente semplice di un integrale ellittico. Notate per esempio che e' simile quanto a forma alla funzione sin
(x) che e' data dall'integrale da 0 a x di
dt/Le altre buone qualita' dell'integrale lenniscato sono date dal fatto che e' di ordine abbastanza generale per parecchie funzioni ellittiche generali, eppure l'intuizione geometrica dalla lunghezza d'arco della curva lenniscata aiuta la comprensione.
Nel 1694 Jacob Bernoulli considero' un altro integrale ellittico
e penso' che non poteva essere espresso in termini di funzioni "note" qua;li sin, exp, sin
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