Matrici e determinanti

Non e' sorpresa apprendere che le origini delle matrici e dei determinanti siano collegate allo studio dei sistemi di equazioni lineari. I babilonesi studiarono problemi che portano alla risoluzione simultanea di equazioni lineari: alcuni di questi problemi sono conservati in tavolette d'argilla pervenute fino a noi. Per esempio, una tavoletta di circa il 300 AC contiene il seguente problema:-

Due terreni agricoli hanno un'area totale di 2000 metri quadrati. Uno dei terreni produce grano in ragione di 24 litri per metro quadrato, l'altro produce grano in ragione di 18 litri per metro quadrato. Se la produzione totale e' di 3600 litri, quali sono le aree di ciascun terreno?

Vi sono tre tipi di grano, di cui tre covoni del primo, due del secondo ed uno del terzo tipo. Complessivamente danno 39 misure. Due covoni del primo, tre del secondo ed uno del terzo tipo danno 34 misure. Un covone del primo tipo, due del secondo e tre del terzo tipo danno 26 misure. Quante misure di grano si ottengono da un covone di ciascun tipo?

Qui, l'autore (dsella tavoletta di argilla) fa qualcosa di molto rimarchevole. Mette i coefficienti del sistema a tre incognite sotto forma di una tabella (matrice) formata da 4 righe e 3 colonne. I nostri metodi attuali di fine XX secolo, ci farebbero scrivere la tabella scambiando le righe con le colonne (3 righe e 4 colonne), ma e' chiaro che la funzione della matrice non cambia.

                 1    2    3
                 2    3    2
                 3    1    1
                26   34   39

                 0    0    3
                 4    5    2
                 8    1    1
                39   24   39

                 0    0    3
                 0    5    2
                36    1    1
                99   24   39

Cardano, nell'Ars Magna (1545), da' una regola per risolvere un sistema di due equazioni lineari, sistema che egli chiama regula de modo , traducibile in madre di tutte le regole! Quella madre di tutte le regole da' cio' che e' essenzialmente la regola di Cramer per risolvere un sistema di 2 equazioni lineari a 2 incognite, benche' Cardano non faccia l'ultimo passo. Cardano e non arrivi alla definizione di determinante ma, a vantaggio delle conoscenze future, si vede che il suo metodo conduce a quella definizione.

Molti risultati da procedimenti uniformizzati della teoria elementare delle matrici cominciarono ad apparire molto tempo prima che le matrici fossero oggetto di investigazioni matematiche. Per esempio, de Witt in Elementi di curve , rese noto che parte dei commenti sulla versione latina Géométrie , (1660) di Cartesio mostravano una trasformazione di assi che riduceva una equazione di una conica data a forma canonica. Questo e' come diagonalizzare una matrice simmetrica, ma de Witt non penso' mai in termini matriciali.

Il concetto di determinante apparve quasi allo stesso tempo in Giappone ed in Europa benche' sicuramente Seki in Giappone fu il primo a pubblicare. Nel 1683 Seki scrisse il Metodo di risolvere i problemi simulati che contiene metodologie di matrici scritte come tabelle, esattamente nel modo dei cinesi sopra accennato. Senza disporre di una parola che equivalesse a 'determinante' Seki uso' i determinanti e diede il metodo generale per calcolarli, basato su esempi. Usando i suoi 'determinanti' Seki riusci' a trovare determinanti di matrici di secondo, terzo, quarto e quinto ordine, applicandoli alla risoluzione di equazioni , ma non a sistemi di equazioni lineari.

Con una strana coincidenza la prima apparizione di un determinante in Europa avvenne esattamente lo stesso anno 1683. In quell'anno Leibniz scrisse a de l'Hôpital, spiegando che il sistema di equazioni

          10 + 11x + 12y = 0
          20 + 21x + 22y = 0
          30 + 31x + 32y = 0

10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30

che e' esattamente la condizione in cui i coefficienti dellla matrice hanno come determinante 0, che e' esattamente la condizione che rende uguale a 0 il determinante dei coefficienti della matrice. Si noti che Leibniz non usa coefficienti numerici ma

cifre: la prima indica l'equazione (riga), la seconda la lettera di cui e' coefficiente (colonna). .

Leibniz era convinto che una buona notazione matematica sarebbe stata la chiave del progresso e cosi' sperimento' con differenti notazioni per quanto riguarda i coefficienti. Vi lavoro' sopra per un periodo di 50 anni, a cominciare dal 1678. Solo due pubblicazioni (1700 e 1710) contengono risultati sui sistemi di coefficienti e si fa uso della stessa notazione della sua lettera a de l'Hôpital sopra ricordata.

Leibniz uso' la parola 'risultante' per certe somme combinatoriali dei termini di un determinante. Egli fece dimostrazioni sui risultanti, compresa quella che e' essenzialmente la regola di Cramer. Egli sapeva pure che un determinante potrebbe essere espanso usando qualsiasi colonna (noi la chiamiamo espansione di Laplace). Oltre a studiare i sistemi di coefficienti di equazioni, che lo portarono ai determinanti, Leibniz studio' pure sistemi di coefficienti di forme quadratiche che portano con naturalezza alla teoria delle matrici.

Nel 1730 Maclaurin scrisse il Trattato di algebra che, pero', non fu pubblicato fino al 1748, due anni dopo la sua morte. Esso contiene i primi risultati pubblicati sui determinanti, dimostrando la regola di Cramer per sistemi di ordine 2 e 3. Indicava pure come il caso di ordine 4 potrebbe funzionare. Cramer diede la regola generale per sistemi di ordine n nell'articolo Introduzione all'analisi delle curve algebriche (1750). Essa derivo' dall'aspirazione di trovare l'equazione di una curva piana passante per un certo numero di punti dati. La regola appare nell'Appendice all'articolo, senza, pero', che sia data la dimostrazione:-

Si trova il valore di ogni incognita formando n frazioni il cui comune denominatore ha tanti termini quante sono le permutazioni di n cose .

Lavori sui determinanti cominciarono allora ad apparire regolarmente. Nel 1764 Bezout diede dei metodi per calcolare i determinanti, come fece pure Vandermonde nel 1771. Nel 1772 Laplace affermo' che i metodi introdotti da Cramer e Bezout non erano di applicazione pratica e, in un articolo dove studiava le orbite dei pianeti interni, egli discusse la soluzione di sistemi di equazioni lineari senza calcolarli, usando solo determinanti. Con molta sorpresa, Laplace uso' la parola 'risultante' per cio' che noi ora chiamiamo il determinante. E'sorprendente poiche' e' la stessa parola usata da Leibniz eppure Laplace non poteva certo essere al corrente del lavoro di Leibniz. Laplace defini' l'espansione di un determinante, espansione che ora porta il suo nome.

Laplace e Vandermonde. Tale articolo del 1773 sulla meccanica, peraltro, contiene per la prima volta quello a cui noi ora pensiamo come l'espansione volumetrica di un determinante. 1/6 [z(x'y"-y'x")+z'(yx"-xy")+z"(xy'-yx')]. Il termine 'determinante fu per primo introdotto da Gauss in Disquisitiones arithmeticae (1801) nel discutere le forme quadratiche. Egli uso' quel termine perche' il determinante determina le proprieta' della forma quadratica. Pero', come concetto esso non e' la stessa cosa del nostro determinante. Nello stesso lavoro Gauss scrive i coefficienti delle sue forme quadratiche in ordine rettangolare. Egli descrive la moltiplicazione delle matrici ( a cui pensa come composizione, cosicche' mostra di non aver raggiunto il concetto di algebra delle matrici) e l'inverso di una matrice nel contesto particolare degli ordini di coefficienti di forme quadratiche.

L'eliminazione Gaussiana, che appare la prima volta nel testo Nove Capitoli dell'Arte della Matematica scritto nel 200 AC, venne usata da Gauss nel suo lavoro sull'orbita dell'asteroide Pallas. Usando le osservazioni astronomiche di Pallas fatte tra il 1803 ed il 1809, Gauss ottenne un sistema di sei equazioni lineari con sei incognite. Gauss diede un metodo sistematico per risolvere tali equazioni: e' il metodo, precisamente, della eliminazione Gaussiana sulla matrice dei coefficienti.

Fu Cauchy ad usare 'determinante' nel 1812 nel senso moderno. Il lavoro di Cauchy e' il piu' completo degli antichi lavori sui determinanti. Egli ridimostro' i primi risultati e diede nuovi risultati sui minori ed aggiunti. Nell'articolo del 1812 il teorema della moltiplicazione dei determinanti e' dimostrato per la prima volta, benche' alla stessa riunione dell'Institut de France, anche Binet lesse un articolo che conteneva una prova del teorema della moltiplicazione, ma era meno soddisfacente di quello di Cauchy.

Nel 1826 Cauchy, nel contesto di forme quadratiche in n variabili, uso' il termine 'tableau' (tabella) per la matrice dei coefficienti. Egli trovo' i valori eigen (soluzioni particolari) e diede risultati sulla diagonalizzazione di una matrice nel contesto della conversione di una forma in somma di quadrati. Cauchy introdusse anche il concetto di matrici simili (ma non il termine) e dimostro' che se due matrici sono simili, esse hanno la medesima equazione caratteristica. Inoltre, e sempre nel contesto di forme quadratiche, egli provo' anche che ogni matrice realmente simmetrica e' diagonalizzabile.

Jacques Sturm diede una generalizzazione del problema del valore "eigen" nel contesto della soluzione di sistemi di ordinarie equazioni differenziali. In effetti, il concetto di valore eigen era apparso 80 anni prima, sempre in un lavoro sui sistemi di equazioni lineari differenziali di D'Alembert quando studiava il moto di una corda con masse ad essa attaccate in vari punti.

Dovrebbe essere messo in evidenza che ne' Cauchy ne' Jacques Sturm si resero conto della generalizzazione delle idee che essi stavano introducendo e le vedevano solo nel contesto specifico del lavoro che stavano svolgendo. Jacobi da circa il 1830 e poi Kronecker e Weierstrass nel 1850 e nel 1860, guardarono anch'essi ai risultati di matrici, ma ancora in un contesto speciale, che era, quella volta, la nozione di trasformazione lineare. Jacobi pubblico' tre trattati sui determinanti nel 1841. Essi erano importanti perche' per la prima volta la definizione di determinante veniva fatta in modo algoritmo e le entrate non erano specificate, cosicche' i suoi risultati si applicavano ugualmente bene ai casi in cui le entrate erano numeri oppure funzioni. Quei tre articoli di Jacobi allargarono grandemente la conoscenza dell'idea di determinante.

Anche Cayley, in uno scritto del 1841, pubblico' il primo contributo inglese alla teoria dei determinanti. Nel suo articolo egli uso' due linee verticali ai due lati della tabella per denotare il determinante, una notazione che ora e' diventata di uso comune.

Eisenstein nel 1844 denoto' sostituzioni lineari con una sola lettera e mostro' come addizionarle e moltiplicarle come ordinari numeri, tranne salvo la mancanza di commutativita'. Dobbiamo anche dire che Eisenstein fu il primo a pensare alle sostituzioni lineari come se formassero algebra. Cio' si puo' vedere da questa quotazione del suo articolo del 1844:-

Un algoritmo per calcolo puo' essere basato su questo: consiste nell'applicare le solite regole per le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevazione a potenza, con la sola limitazione che l'ordine dei fattori non puo' essere cambiato. .

Cayley nel 1858 pubblico' Memoria sulla teoria delle matrici la quale e' notevole per contenere la prima definizione astratta di una matrice. Egli mostra che la disposizione dei coefficienti studiata prima per le forme quadratiche e per le trasformazioni lineari, sono casi speciali del suo concetto generale. Cayley diede un'algebra delle matrici definendo l'addizione, la moltiplicazione, la moltiplicazione scalare ed i reciproci. Egli diede pure una costruzione esplicita del reciproco di una matrice in termini dei determinanti della stessa. Cayley provo' anche che, nel caso di matrici del secondo ordine, la matrice soddisfa la propria equazione caratteristica. Egli affermo' di aver controllato il risultato per matrici di terzo ordine, indicandone la dimostrazione, ma aggiunse:-

Non ho pensato sia necessario di fare il lavoro di una dimostrazione formale del teorema nel caso generale di una matrice di qualsiasi grado. .

Nel 1870 la forma canonica Jordan apparve in Trattato delle sostituzioni ed equazioni algebriche. Essa venne fuori nel contesto di una forma canonica per sostituzioni lineari.

Frobenio scrisse nel 1878 un importante lavoro sulle matrici On linear substitutions and bilinear forms , benche' sembrasse che non fosse a conoscenza del lavoro di Cayley. Frobenio, nel suo articolo, trattava dei coefficienti di forme e non usava il termine matrice. Pero' dimostro' importanti risultati su matrici canoniche come rappresentative delle classi di equivalenza delle matrici. Egli citava Kronecker e Weierstrass che avevano considerato casi speciali dei suoi risultati nel 1874 e nel 1868, rispettivamente. Frobenio provo' anche il risultato generale che una matrice soddisfa la sua equazione caratteristica. Quell'articolo del 1878 contiene anche la definizione dell'ordine di una matrice, definizione che egli uso' nel suo lavoro sulle forme canoniche. Lo stesso articolo contiene la definizione di matrici ortagonali.

La nullita' di una matrice quadrata venne definita da Sylvester nel 1884. Nel 1896 Frobenio venne a conoscenza della Memoir on the theory of matrices del 1858 di Cayley e dopo di cio' comincio' ad usare il termine matrice. Nonostante il fatto che Cayley dimostro' il teorema di Cayley-Hamilton solo per le matrici di secondo e terzo grado, Frobenio generosamente attribui' il risultato a Cayley nonostante il fatto che Frobenio stesso fosse stato il primo a dimostrare il teorema generale.

Una definizione indiscutibile di determinante venne usata da Weierstrass nelle sue conferenze. La definizione venne pubblicata dopo la sua morte, nel 1903, nella nota On determinant theory . Nello stesso anno vennero anche pubblicate le conferenze di Kronecker sui determinanti, anche queste dopo la sua morte. Con queste pubblicazioni la teoria moderna dei determinanti era completa, ma la teoria delle matrici richiese ancora un poco di tempo per venire completamente accettata da tutti. Un testo importante che porto' le matrici al loro giusto posto nella matematica fu Introduction to higher algebra di Bôcher, del 1907. Turnbull e Aitken scrissero testi influenti negli anni '30 di questo secolo. La An introduction to linear algebra del 1955 di Mirsky vide la teoria delle matrici raggiungere il suo presente ruolo come uno dei piu' importanti soggetti matematici del corso di laurea.
[Questo traduttore uso' le matrici in un programma computerizzato per risolvere, varie volte al giorno e per anni, il problema della carica al forno fusorio al costo piu' basso, per ottenere un tipo specifico di acciaio inossidabile corrispondente a valori determinati di minima e massima per ogni elemento chimico della formula (di solito una diecina di elementi), partendo dalla base di oltre 150 materiali diversi di carica, ognuno avente una composizione chimica ben definita ma con valori sempre variabili del loro costo d'acquisto. Lo stesso procedimento viene usato, tanto per fare qualche altro esempio, per produrre baloney (una forma americana di mortadella) ed il gelato!]