Memoria, aritmetica mentale e matematica
Tutti i matematici le cui biografie appaiono nel nostro archivio hanno mostrato degli staordinari poteri mentali. In questo articolo noi daremo uno sguardo ad alcuni matematici che mostrarono straordinari poteri di memoria e di calcolo. Daremo uno sguardo anche a persone che non avevano capacita' matematiche, e di solito nessuno istruzione, eppure furono capaci di mostrare abilita' tali di aritmetica mentale da meravigliare i loro contemporanei e noi pure a tutt'oggi.
Per primo menzioniamo John Wallis i cui poteri di calcolo sono cosi' descritti:-
[Wallis] si occupo' di trovare (mentalmente) la parte integrale della radice quadrata di 3 x 10Quanto sopra, benche' molto rimarchevole, e' piuttosto tipico delle prodezze descritte in questo articolo. E' la combinazione di una memoria eccezionale con l'abilita' di calcolo che sembra sia occorsa nella mente di molti che qui prenderemo in considerazione. Pero', Wallis sotto un certo aspetto e' molto diverso da altri di cui parleremo perche' egli aveva 53 anni quando diede le prove di cui sopra. La maggior parte degli altri erano all'altezza del loro potere da bambini, spesso all'eta' di 10 anni circa.; e parecchie ore dopo ne scrisse il risultato dalla sua memoria. Siccome questo fatto fu notato, due mesi dopo egli fu sfidato ad estrarre la radice quadrata di un numero di 53 cifre; lo fece mentalmente, ed un mese dopo ne detto' la risposta che nel frattempo non aveva mai messo per iscritto.
Abbiamo dato uno sguardo ad un matematico di vari secoli fa. Consideriamo ora von Neumann le cui imprese di memoria sono cosi' descritte da Herman Goldstine:-
Per quanto posso riferire, von Neumann era capace di ripetere interamente un libro dopo averlo letto una sola volta; per di piu', egli poteva farlo anni dopo, senza esitazioni. Poteva anche tradurlo senza riduzione di velocita' dalla lingua originale in inglese. In una occasione io ne provai l'abilita' chiedendogli di dirmi l'inizio di 'Tale of Two Cities'. E subito, senza pause, egli comincio' a recitare il primo capitolo e continuo' cosi' per dieci o quindici minuti fino a che gli chiesi di smettere.L'abilita' di Von Neumann di fare calcoli mentali e' la fonte di un gran numero di storie che indubbiamente sono diventate sempre piu' impressionanti quanto piu' si sono raccontate. E' difficile a volte distinguere tra fatt ed invenzione. Pero' e' chiaro che la moltiplicazione mentale di due numeri di otto cifre ciascuno era un compito che egli poteva eseguire senza alcuno sforzo. Si direbbe che la memoria quasi perfetta di von Neumann aveva giocato una grande parte nella sua abilita' di calcolare.
Altri Other matematici che hanno esibito un grande potere dicalcolo mentale includono Ampere, Hamilton e Gauss. Un solo matematico ha mai descritto in dettaglio come egli fosse capace di compiere fatti inbcredibili di memoria e di calcolo. Egli e' A C Aitken. Noi discuteremo i suoi metodi piu' in la' in questo articolo. Prima, pero', vogliamo descrivere le prodezze di un certo numero di prodigiosi calcolatori che non erano stati istruiti in matematica.
Zerah Colburn nacque a Cabut, Vermont, U.S.A. nel 1804 e visito' l'Europa nel 1812, dove a otto anni diede una dimostrazione delle sue capacita':-
Egli poteva istantaneamente dare il prodotto di due numeri di quattro cifre ciascuno ma esitava se entrambi i numeri erano maggiori di 10,000. Tra le domande rivoltegli allora fu quella di elevare 8 a potenza 16; in pochi secondi diede la giusta risposta di 281.474.976.710.656..... richiese un po' piu' di tempo quando richiesto di alzare ad alte potenze numeri di due cifre quali 37 o 59. ... Richiesto dei fattori di 247.483 egli replico': 941 e 263; richiesto dei fattori di 171.395 diede 5, 7, 59 e 83, richiesto dei fattori di 36.083 egli rispose che non ce n'erano. Pero' trovo' difficolta' a rispondere domande su numeri superiori a 1.000.000.Colburn e' di interesse per un numero di ragioni. Prima, egli influenzo' Hamilton a studiare la matematica, poi perche' esibiva una carettiristica comune a molti prodigiosi calcolatori senza educazione scolastica e cioe' che la sua abilita' diminuiva con gli studi. Cio' puo' essere dovuto al semplice fatto che tali abilita' di calcolo richiedono una continua pratica per molte ore al giorno e l'istruzione occupa troppo tempo perche' quegli esercizi possano essere fatti cosi'. Colburn e' anche interessante perche' potette dare un'idea di come faceva i calcoli. Il suo metodo principale era di fattorizzare i numeri dati:-
Richiesto del quadrato di 4.395 esito', ma quando la domanda fu ripetuta, diede la risposta giusta, che e' 19.316.025. Richiesto di spiegare la causa della sua esitazione, rispose che non gli piaceva moltiplicare numeri di quattro cifre tra loro,ma egli aveva trovato un altro modo: 'Ho moltiplicato 293 per 293 e poi ho moltiplicato tale prodotto due volte per 15'. In un'altra occasione quando richiesto del prodotto di 21.734 per 543 egli rispose immediatamente 11.801.562; richiesto di spiegare come aveva ottenuto quel risultato disse che lo aveva ottenuto moltiplicando 65.202 per 181.George Parker Bidder nacque nel 1806 a Moreton Hampstead nel Devonshire, Inghilterra. Egli non perdette le sua capacita' di calcolo quando venne istruito e scrisse un interessante resoconto delle sue capacita'. Dobbiamo qui notare che altri membri della sua famiglia avevano eccezionali poteri di memoria e di calcolo. Uno dei suoi fratelli conosceva la Bibbia a memoria. Un altro fratello, che era un attuariale, ebbe la sfortuna di avere tutti i suoi libri contabili distrutti da un incendio. Quello non fu per lui il problema che potrebbe essere per una persona ordinaria poiche' egli fu capace di riscriverl;i a memoria, nel periodo di sei mesi. Uno dei figli di Bidder era capace di moltiplicare due numeri di 15 cifre ma era lento e meno accurato del padre. Bidder spiego' che il suono dei numeri era molto piu' importante per lui di vederli scritti, cosa che anche Aitken mise in evidenza. Bidder scrisse:-
... se io cerco di fissare nella memoria numeri scritti su carta, cio' mi richiede molto piu' tempo ed un maggiore sforzo di quando essi sono enunciati verbalmente. ... se mi sichiede di trovare il prodotto di due numeri di nove cifre ciascuno che mi erano stati letti, non c'era bisogno di dirmeli piu' di una sola volta; ma se essi erano scritti, ed il foglio messo nelle mie mani, probabilmente dovrei riguardarli quattro volte prima che potessi ripeterli, e dopo tutto non mi rimarrebbero impressi vivamente nella mia immaginazione.L'ultimo n0n-matematico i cui prodigi descriveremo qui e' Dase. Egli e' particolarmente interessante poiche' i suoi talenti vennero investigati da Gauss, Encke ed altri matematici. Diamo qui un esempio dall'abilita' calcolatrice di Dase: 79532853 * 93758479 = 7456879327810587. Egli impiego' 54 secondi. Egli moltiplico' due numeri di 20 cifre in 6 minuti; due numeri di 40 cifre in 40 minuti; due numeri di 100 cifre in 8 ore e 45 minuti. Gauss commento' che qualcuno abile nei calcoli avrebbe potuto fare l'esempio di 100 cifre in meta' di quel tempo, con carta e matita.
Bencge' Dase non avesse istruzione matematica egli offri' di usare le sue capacita' per aiutare i matematici. Gli insegnarono ad usare la formula
/4 = tan
(1/2) + tan(1/5) + tan(1/8)
e, usandola, egli calcolo' correttamente a 200 decimali nel periodo di circa due mesi. Nel suo tempo libero, tra il 1844 ed il 1847, calcolo' i logaritmi naturali dei primi 1.005.000 numeri a 7 decimali.
Nel diciannovesimo secolo era un passatempo popolare di vedere bambini straordinariamente dotati mentre facevano calcoli sul palcoscenico. Naturalmente, dacche' c'era un mercato per tali rappresentazioni, bambini che sembra avesso quel dono venivano incoraggiati ad esercitarsi a lungo, cosicche' potessero guadagnare del danaro. Colburn, Bidder e Dase diedero tutti tali spettacoli.
Un altro tipo di calcolatore lampo fu Trueman Henry Stafford di Royalton, Vermont negli Stati Uniti. Stafford non volle dare spettacolo sul palcoscenico benche', all'eta' di dieci anni, egli avesse delle capacita' calcolatrici pari a quelle di tutti gli altri. Se avesse dato tali spettacoli forse avrebbe portato a teatro le folle, secondo la descrizione dataci da H W Adams:-
Moltiplica a memoria 365.365.365.365.365.365 per 365.365.365.365.365.365. Egli si mise a girare rapidamente per la stanza come una trottola, si ritiro' i pantaloni al di sopra degli scarponi, si morsicchio' le mani, giro' gli occhi nelle orbite, a volte sorridendo e parlando, e sembrava in agonia, finche' in non piu' di un minuto disse il risultato: 133.491.850.208.566.925.016.658.299.941.583.225!Stafford si laureo' a Princeton e divento' un astronomo di professione. La sua abilita' di calcolo mentale diminui' lentamente con l'eta'.
In molti modi il piu' interessante di tali persone fu A C Aitken per la ragione che egli non mostro' il suo talento ad una giovane eta' come fecero quelli di cui abbiamo parlato sopra. Piuttosto, egli sviluppo' le sue capacita', secondo le sue stesse parole:-
Solo all'eta' di 15 anni sentii di poter sviluppare una notevole capacita' [di calcolo mentale] e, senza dirlo ad alcuno, feci pratica di calcolo mentale a memoria come un Bramino Yogi, un po' qua, un po' la', fino a che mi divenne sempre piu' facile quello che mi era difficile all'inizio ...Aitken divento' un eccellente matematico di professione, titolare della cattedra di matematica ad Edinburgo nella Scozia. Mise a buon partito la sua memoria in molti modi, nella sua professione di matematico. Per darne solo un esempio:-
Quando esaminava un nuovo numero di una rivista di matematica doveva solo darci una scorsa da pagina a pagina, girando le pagine nel tempo che un lettore normale impiega per leggere una mezza dozzina di righe, all'incirca. Una discussione susseguente dimostrava che egli aveva registrato tutto quel materiale nella sua testa. E, come egli disse, non dimentico' mai quello che aveva visto anche una sola volta.L'aspetto piu' affascinante dell'abilita' di Aitken di fare calcoli mentali, nella mia opinione [EFR], e' il modo in cui egli era capace di combinare la sua capacita' di calcolo con straordinari fatti di memoria, assieme ad una profonda comprensione della matematica dei numeri.
Hunter descrive Aitken mentre gli ripeteva le prime 1.000 cifre di :-
Seduto in maniera rilasciata e tranquilla, egli ripete le prime 500 cifre senza errori o esitazione. Poi si ferma un po', quasi per prendere fiato. Il tempo totale passato e' di 150 secondi. Il ritmo e tempo del parlare e' ovvio; circa cinque cifre al secondo, separate da una pausa di 1/2 secondo. La regolarita' del tempo e' quasi meccanica; per meglio chiarire, ogni blocco successivo di 50 cifre e' pronunciato in esattamente 15 secondi.Poi Aitken recito' correttamente le seconde 500 cifre di
. Hunter riporta che allora Aitken esito' ed a volte si corresse. Quando chiesto perche' egli avesse trovato il secondo gruppo di 500 cifre piu' duro delle prime 500 Aitken diede una risposta interessante. In parte, egli disse, era dovuto a stanchezza, perche' il ricordare richiede un grande sforzo. Piu' interessante pero' fu l'altra ragione da lui data:-
Prima dei giorni delle calcolatrici meccaniche c'era della competizione (umana, voglio dire), nel vedere fino a che punto essi potevano calcolareCosi' il problema di Aitken non era quello di ricordare ma quello di poter dimenticare le 180 cifre sbagliate!
Queste sono le 1000 cifre decimali di p-greco come Aitken le ripette a memoria.
Quale era la sua abilita' di calcolare? Quando era stato appena presentato con un numero, Aitken istantaneamente vedeva una varieta' di modi di esprimerli. Per esempio
1961 = 37*53 = 44
+ 5 = 40 + 19
gli veniva spontaneo. Di fatti un numero gli si presentava alla mente istantaneamente nella forma particolarmente adatta al compito richiesto. Per esempio se gli si chiedeva l'estensione di 1/851 egli avrebbe pensato a 851 come 23*37; se richiesto della radice quadrata di 851 allora l'avrebbe pensato come 29 + 10; se richiesto dell'estensione decimale di 17/851 allora l'avrebbe pensata come circa 0.02.
I numeri riempivano il suo mondo. Aitken disse:-
Se faccio una passeggiata ed un'auto passa col numero di licenza 731, non posso fare a meno di osservare che e' 17 volte 43. ... Quando vedo l'autista di un autobus con un numero sulla spalla, io ne faccio il quadrato ... cio' non e' fatto deliberatamente, non ne posso fare a meno. ... [Dato un numero], e' forse un primo della forma 4n+1, e cosi' esprimibile come la somma di due quadrati in un solo modo? E' forse il numeratore di un numero Bernoulliano, oppure uno che occorre in qualche frazione continua? E cosi' via. A volte un numero non ha alcuna proprieta', come 811, e talvolta un numero quale 41 e' profondamente coinvolto in molti teoremi che conosci.Aitken aveva l'abilita' di dividere, e cosi' di calcolare le estensioni decimali di numeri razionali, cosa che gli altri calcolatori non potevano fare. Quella era sempre la regola in forza in tutte le esibizioni di calcolo descritte sopra che quando l'udienza suggeriva delle somme, le somme di divisioni erano sempre bandite. Aitken pero' era capace di usare certi trucchi. Quando gli fu chiesto di calcolare l'estensione di 1/697 egli spiego' il suo metodo. Egli vide immediatamente che 697 = 17*41. Allora:-
Io mentalmente calcolai 1/45 e lo divisi per 17 allo stesso tempo. Feci due operazioni. Neanche a dirlo, cio' e' molto faticoso. Un procedimento doppio e' molto faticoso. Allo stesso tempo che si calcola un decimale si deve dividere per qualcos'altro. Bisogna alternare avanti e indietro. Debbo rendermi conto che un quarantunesimo e' virgola 0, 2, 4, 3, 9, e debbo dividerlo per 17 allo stesso tempo.[Noi sul calcolatore faremmo 1/697=0,001437 oppure (1/41)/17=0,0014347]Molte divisioni vennero fatte da Aitken usando trucchi molto intelligenti. Egli spiego' quante estensioni decimali si potrebbero ottenere con una breve divisione. E disse:-
Si puo' dividere un numero quale 59, o 79, o 109, o 599, e cosi' via, usando brevi divisioni. Prendete, per esempio, 1/59, che e' quasi 1/60. Fate la divisione cosi'Quando richiesto di spiegare esattamente quello che faceva per moltiplicare 123 per 456 Aitken replico':-6 ) 1.0 1 6 9 4 9 1 5 2... ------------------------ 0.0 1 6 9 4 9 1 5 2 5...Cosi' abbiamo i decimali di 1/59, ottenuti dividendo 1 per 60; come otteniamo ogni cifra, la mettiamo al dividendo, spostata di un posto, e continuiamo con la divisione. Prendiamo un altro esempio, considerando 5/23. Scriviamolo come 15/69. E procediamo7 ) 15.2 1 7 3 9 1 3 0... ------------------------ 0.2 1 7 3 9 1 3 0 4...In effetti 5/23 = 0.2173913043478260869565, un decimale ricorrente con un periodo di 22 cifre. Si sarebbe anche potuto scriverlo come 65/299, dividendo per 3, due cifre la volta, ed entrando quelle cifre nel dividendo, spostate di due posti. Ci sono anche altre possibilita'. Per esempio, la persona che calcola mentalmente e', o dovrebbe essere, molto familiare con la fattorizzazione dei numeri; dovrebbe sapere non solo che 23 volte 13 fa 299, ma che 23 volte 87 fa 2001. Per esempio, 5/23 e' uguale a 435/2001; e se notiamo che 435 e' lo stesso di 434.999999999..., abbiamo un altro metodo in cui, come otteniamo le cifre, le sottraiamo dal dividendo, tanti posti dopo. Cosi' nel caso presente2 ) 434 782 608 695 652 ... ------------------------- 217 391 304 347 ...Per esempio, sottraendo 217 da 999 da' 782, che dividiamo per 2, ottenendo 391; questo, sottratto da 999, da' 608; e cosi' via. Il mio scopo e' stato quello di dimostrare, in questi esempi piuttosto semplici, una parte del repertorio, l'armeria di risorse a cui puo' attingere un calcolatore mentale. Egli le deve scegliere con decisioni istantanee, e mantenerle.
Io vedo subito che 123 volte 45 e' 5535 e che 123 volte 6 fa 738; non ci debbo nemmeno pensare su. Allora 5535 piu' 738 da' 56088. Anche al momento di registrare 56088, l'ho controllato dividendolo per 8, ottenendo 7011, e questo diviso per 9 da' 779. Riconosco che 779 e' 41 per 19. E 41 per 3 fa 123, mentre 19 per 24 fa 456. Un controllo, vedete; e tutto avviene in un secondo.Perche', allora, avendo appreso i trucchi di Aitken, non possiamo fare calcoli come lui? Aitken, quando gli domandarono a che cosa attribuisse la sua abilita' di calcolare meglio della persona comune, disse che doveva essere la sua abilita' di ricordare i numeri con facilita'. Egli disse:-
Io posso mettere da parte in magazzino per un'occasione futura un risultato che e' gia' stato ottenuto. So che lo posso tirar fuori correttamente.... [Cio'] e' quello che separa il calcolatore dall'uomo della strada. L'uomo della strada dimentica gli stadi intermedi.Alcune imprese di memoria sono certamente di natura visiva. La persona interessata puo' "vedere" i numeri di cose che sono state commesse alla memoria, ed in un certosenso li puo' leggere come se fossero stati scritti su carta. Aitken disse che la sua memoria poteva lavorare in tal modo, ma lo rallentava.
Leggere sulla carta mi disturba. Se io fossi costretto a visualizzare, sarei molto piu' lento.Pero', quando richiesto di recitare le cifre di
all'indietro Aitken non aveva, cosa molto interessante, altra scelta che di riportare i numeri nella sua mente in forma visiva e poi leggerli all'indietro da quella immagine. Il suo commento 'molto piu' lento' puo' essere vero, ma la velocita' era ancora impressionante. Le ultime 50 cifre dell'estensione richiesero 18 secondi per recitarle in avanti e 34 secondi per farlo all'indietro.
Terminiamo con due illustrazioni finali della memoria di Aitken. Mentre era di servizio nella Compagnia Otago ad Armentières durante la Prima Guerra Mondiale, il registro del plotone fu distrutto. Aitken ricordo' i nomi e numeri di matricola di tutti i membri del suo plotone. La seconda illustrazione viene dall'esame dei poteri di Aitken fatto dal Dipartimento di Psicologia di Edinburgo. Negli anni 1930 Aitken era stato esaminato dal Dipartimento. Una prova consisteva di 25 parole scelte a caso dal dizionario. Quelle parole gli vennero lette ed egli le potette ripetere. Quando Hunter intervisto' Aitken nel 1961, aveva davanti a se' un registro della prova del 1930 e chiese ad Aitken se ricordasse che gli era stata chiesto di ripetere una sequenza di parole scelte a caso. Certo, disse Aitken e le potette ripetere correttamente dopo circa 30 anni.
{Nota del traduttore: Dante Alighieri e' famoso per molte ragioni, compresa quella di aver compilato nella Divina Commedia un libro di referenze dello scibile della cultura medioevale. Per dire che memoria straordinaria Dante avesse, si ripete il seguente aneddoto, quasi certamente apocrifo:
Un amico domando' a Dante come fosse meglio cuocere le uova. Dante rispose: "Lesse".
L'anno dopo si incontrarono di nuovo, e l'amico gli chiese a bruciapelo: "E con che?" e Dante, di rimando: "Col sale"!)
References (13 books/articles)