Orbite e gravitazione

Il primo a proporre un sistema di orbite planetarie e che pose le basi per ulteriori futuri miglioramenti fu Niccolo' Copernico che in De revolutionibus orbium coelestium (1543), propose che i pianeti e la Terra orbitassero intorno al Sole. Benche' si trattasse di una importante scoperta, le orbite circolari dei pianeti proposte dall'astronomo polacco mostrarono presto, dopo accurate osservazioni astronomiche, la scarsa accuratezza della sua proposta.

Nell'immagine tratta da De revolutionibus orbium coelestium si puo' vedere un'illustrazione del sistema solare di Copernico.

Nel 1600 Keplero divenne assistente di Tycho Brahe che stava facendo osservazioni accurate dei pianeti. Quando Brahe mori' nel 1601 Keplero ne continuo' il lavoro, calcolando le orbite planetarie con una precisione senza precedenti.

Keplero mostro' che un pianeta si muove attorno al Sole lungo un'orbita ellittica, nella quale il Sole stesso occupa uno dei fuochi. Egli mostro' anche come una linea che congiunga il pianeta al Sole copra aree uguali in tempi uguali, mentre il pianeta descrive la sua orbita. Entrambe queste leggi vennero formulate dapprima per il pianeta Marte, e pubblicate in Astronomia Nova nel 1609.

Nella figura si puo' vedere un diagramma da Astronomia Nova che mostra l'orbita ellittica di Keplero per il pianeta Marte..

Gli scienziati tuttavia non accettarono con entusiasmo le prime due leggi di Keplero. La prima ricevette una ricezione fredda e certamente si penso' che richiedesse dell'altro lavoro per confermarla. La seconda delle leggi di Keplero soffri' una sorte ancora peggiore in quanto fu praticamente ignorata dagli scienziati per circa 80 anni.

La terza legge di Keplero, che afferma come i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi degli assi maggiori delle loro orbite, apparve in Harmonice mundi (1619) e, sorprendemente vista l'accoglienza delle altre due leggi, questa fu largamente accettata fin dalla sua prima pubblicazione.

Nel 1679 l'astronomo inglese Robert Hooke scrisse una lettera a Newton nella quale spiegava come egli considerasse il moto planetario il risultato di una forza centrale che obbligava un pianeta a spostarsi in un'orbita circolare. Newton non rispose direttamente a questa proposta, ma da parte sua spiego' che la rotazione della Terra poteva essere provata dal fatto che un oggetto fatto cadere dall'alto di una torre avrebbe dovuto avere una velocita' di caduta molto maggiore di un oggetto fatto cadere da un'altezza inferiore.

Newton forni' uno schizzo del cammino seguito dall'oggetto, in cui mostrava erroneamente che esso avrebbe girato a spirale verso il centro della Terra. Hooke replico' che la sua teoria del moto planetario porterebbe la particella a percorrere un'ellisse cosicche' l'oggetto ritornerebbe alla sua posizione originale dopo aver percorso l'ellisse, se non fosse la Terra che vi si trova di mezzo, . Newton, che non era uno da farsi correggere, si limito' ad ammettere che il suo schizzo originale era incorretto, ma intanto corresse quello di Hooke con l'assunzione che la gravita' fosse costante. Hooke replico' a Newton che la stessa teoria newtoniana coinvolgeva, per l'attrazione gravitazionale, la legge del reciproco del quadrato della distanza . Molti anni dopo, Hooke affermo' di essere stato il primo a proporre questa legge (per cui l'attrazione gravitazionale e' inversamente proporzionale al quadrato della distanza di un pineta dal Sole) e quale prova per la sua rivendicazione utilizzo' la stessa lettera inviata precedentemente a Newton.

E' bene sottolineare che una volta descritta la legge della proporzionalita' inversa della forza rispetto al quadrato della distanza c'e' un bel po' di strada da percorrere prima di giungere alla legge della gravitazione universale. In realta' il moto della Luna attorno alla Terra non veniva spiegato con le stesse leggi che governano il moto dei pianeti attorno al Sole.

Cinquant'anni piu' tardi Newton avrebbe registrato i propri ricordi di questi eventi, ma, com'e' interessante notare, questi non corrispondono esattamente coi fatti storici noti! [Qui e' mantenuto il vecchio inglese di Newton.]

In the same year I began to think of gravity extending to ye orb of the Moon and (having found out how to estimate the force with wch globe revolving within a sphere presses the surface of a sphere) from Kepler's rule of the periodical times of the Planets being in sesquialternate proportion to their distances from the centres of their Orbs, I deduced that the forces wch keep the Planets in their Orbs must reciprocally as the squares of their distances from the centres about wch they revolve: and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her Orb with the force of gravity at the surface of the Earth, and found them answer pretty nearly. All this was in the two plague years of 1665-1666...

Il Signor Hook disse che l'aveva [la risposta], ma per qualche tempo l'avrebbe tenuta nascosta, cosicche' gli altri, nel cercare inutilmente di ottenerla, l'avrebbero meglio apprezzata. Solo allora egli l'avrebbe resa pubblica.

Sir Isaac rispose immediatamente che sarebbe un'Ellissi, ed il Dottore, pieno di gioia e meraviglia, gli domando' come lo sapesse. "Bene, io l'ho calcolato". Quindi il Dottor Halley gli domando' subito di vedere quei calcoli. Sir Isaac rovisto' fra le sue carte, ma non riusci' a trovarli, e promise che li avrebbe rifatti e glieli avrebbe mandati.

Halley ebbe la grande responsabilita' di assicurarsi che i Principia venissero pubblicati. Egli ricevette il manoscritto completo di Newton nell'aprile del 1687 ma ci furono molti problemi, non ultimo quello che Newton cerco' di impedire la pubblicazione del Libro III quando Hooke reclamo' la priorita' sulla legge dell'inverso del quadrato .

Nei Principia il problema di due corpi che si attraggono con una forza inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza e' risolto completamente (in Propositions 1-17, 57-60 nel Book I). Newton argomenta che una legge dell'inverso del quadrato deve produrre orbite ellittiche, paraboliche o iperboliche.

Una cometa particolarmente brillante apparve nel novembre 1680. Rimase visibile fino al dicembre dello stesso anno, quando si fece troppo vicina al Sole per poter essere osservata. Riapparve due settimane dopo allontanandosi dal Sole quasi lungo la stessa direzione da cui era arrivata. Newton trovo' un buon accordo tra la sua orbita e una parabola. Egli uso' l'orbita di quella cometa, e di altre comete in generale, per dare supporto alla sua legge di gravitazione dell'inverso del quadrato, nei suoi Principia .

Nella figura si puo' vedere il diagramma di Newton dell'orbita della cometa del 1680, tratto dai Principia.

Nei Principia Newton descrisse anche la terza legge di Keplero. Egli si dedico' brevemente (in Propositions 65 e 66) al problema di tre corpi. Pero' Newton, piu' tardi, disse che una soluzione esatta per tre corpi

sorpassa, se non mi sbaglio, le possibilita' di qualsiasi mente umana.

Anche se il sistema Terra-Luna venisse considerato come un sistema di due corpi, problema risolto teoricamente nei Principia , le orbite non sarebbero delle ellissi semplici. Ne' la Terra ne' la Luna sono delle sfere perfette e coseguentemente non si comportano come masse puntiformi. Cio' portera' in seguito allo sviluppo della meccanica dei corpi rigidi, ma anche questa non avrebbe dato un quadro del tutto accurato del problema dei due corpi poiche' le forze delle maree dimostrano che ne' la Terra ne' la Luna sono rigide.

I dati delle osservazioni di Newton utilizzate nei Principia furono forniti dal Royal Greenwich Observatory. Tuttavia studiosi moderni quali Richard Westfall sostengono che Newton a volte aggiusto' i suoi calcoli per accordarli con le sue teorie. L'evidenza delle osservazioni non poteva essere usata certamente per dimostrare la legge di gravitazione. Molti problemi nel correlare le osservazioni con la teoria esistevano gia' all'epoca dei Principia ed altri ancora sarebbero seguiti.

Halley utilizzo' il metodo di Newton e trovo' orbite quasi paraboliche per un certo numero di comete. Quando calcolo' le orbite per tre comete apparse nel 1537, 1607 ed una nel 1682 che Halley stesso aveva osservato, egli trovo' che le caratteristiche orbitali erano quasi del tutto identiche. Halley ne dedusse che esse avevano a che fare con la stessa cometa, ed in seguito fu capace di confrontarla con ualtre apparizioni del 1456 e del 1378. Egli calcolo' per questa cometa un'orbita ellittica e noto' che Giove e Saturno disturbavano leggermente l'orbita ogni volta che la cometa ritornava. Prendendo in conto tali perturbazioni Halley predisse che la cometa sarebbe tornata ed avrebbe raggiunto il perielio (il punto piu' vicino al Sole) il 13 Aprile 1759. Egli concesse un errore di un mese piu' o meno di quella data. La cometa fu in seguito vista ancora nel dicembre 1758 raggiungendo il perielio il 12 Marzo 1759.

Nel 1713 apparve una seconda edizione dei Principia , edita da Roger Cotes. Cotes scrisse una prefazione difendendo la teoria della gravitazione enunciata nei Principia . Cotes avrebbe poi in seguito fornito personalmente i passi matematici successivi trovando le derivate delle funzioni trigonometriche. Tali risultati vennero pubblicati dopo la sua morte.

Nel 1739 il matematco svizzero Eulero sviluppo' i metodi per integrare le equazioni differenziali lineari e rese noto il lavoro di Cotes sulle funzioni trigonometriche. Egli disegno' nel 1744 le tabelle lunari, che gia' prendevano chiaramente in considerazione le forze attrattive del sistema Terra, Luna e Sole. Clairaut e d'Alembert a loro volta studiarono le perturbazioni della Luna e, nel 1747, Clairaut propose l'aggiunta del termine 1/r alla legge di gravitazione per spiegare il moto osservato del perigeo, il punto dell'orbita della Luna piu' vicino alla Terra.

Alla fine del 1748 Clairaut aveva scoperto pero'che un'applicazione piu' accurata della legge dell'inverso del quadrato era prossima a spiegarne l'orbita. Pubblico' la sua versione nel 1752 e, due anni piu' tardi, d'Alembert pubblico' i suoi calcoli con un'approssimazione superiore a quelli di Clairaut. Questo lavoro fu importante nel fare accettare la legge di Newton nell'Europa Continentale.

L'asse di rotazione della Terra e' soggetto ad un moto detto di "precessione", cioe' la direzione dell'asse di rotazione ruota descrivendo un cono, con un periodo di circa 26.000 anni. La precessione e' causata dall'attrazione gravitazionale del Sole sul rigonfiamento equatoriale della Terra. Tale rigonfiamento fu predetto da Newton. Nel 1712 l'astronomo italo-francese Gian Domenico Cassini misuro' un arco di longitudine ma ottenne un risultato che suggeriva erroneamente che la Terra avesse un diametro polare maggiore di quello equatoriale. Nel 1736 Maupertuis ottenne il risultato corretto, verificando le predizioni di Newton. Questo fatto illustra i problemi incontrati a quell'epoca dai matematici, con dati di base sul sistema solare, compresa la Terra, scarsamente accurati.

Esiste un piccolo effetto periodico chiamato nutazione che si sovrappone alla precessione, causato dal moto della Luna. Questo effetto ha un periodo di 18,6 anni e fu osservato da Bradley per la prima volta nel 1730, il quale tuttavia non ne fece parola prima che fossero trascorsi 18 anni ed egli ebbe osservato l'intero ciclo. D'Alembert ben presto mostro' come il periodo osservato da Bradley era deducibile dalla legge dell'inverso del quadrato ed Eulero chiari' ulteriormente le cose lavorando sulla meccanica dei corpi rigidi nel decennio 1750 - 1760.

Il problema delle orbite di Giove e Saturno aveva turbato astronomi e matematici sin dalla prima teoria di Keplero sulle orbite ellittiche. L'Accademia di Parigi offri' premi per lavori sull'argomento negli anni 1748, 1750 e 1752. Nel 1748 gli studi di Eulero sulla perturbazione dell'orbita di Saturno gli valsero il primo premio. Il suo lavoro condotto per il premio del 1752, pero', contiene molti errori matematici e non fu pubblicato se non 17 anni dopo. Conteneva tuttavia idee importanti che erano state scoperte indipendentemente dato che il lavoro di Keplero non era ancora noto.

Lagrange vinse il premio del 1764 per un lavoro sulla librazione della Luna. Questo e' un movimento periodico dell'asse della Luna, il quale punta verso la Terra, e che permette, in un certo intervallo di tempo, di vedere piu' del 50% della superficie della Luna. Egli vinse anche il premio del 1766 per un lavoro sulle orbite delle lune di Giove, di cui diede un'analisi matematica per spiegare una discordanza osservata nella sequenza delle eclissi delle lune stesse.

Eulero, dal 1760 in poi, sembra sia stato il primo a studiare il problema generale di tre corpi sottoposti a mutua attrazione gravitazionale (e non limitandosi a guardare ai corpi del sistema solare) benche' dapprima egli considero' solo il ristretto problema di tre corpi quando uno di loro ha massa trascurabile. Quando un corpo ha massa trascurabile si assume che i moti degli altri due possono essere risolti come un problema di due corpi, giacche' il corpo di massa trascurabile non ha effetto sugli altri due. Il problema e' allora di determinare il moto del terzo corpo attratto dagli altri due (che orbitano l'uno attorno all'altro). Anche sotto questa forma il problema non si presta facilmente a soluzioni esatte. Eulero, pero', trovo' una soluzione particolare considerando tutti e tre i corpi come posti su una stessa retta.

La prima cometa ad avere un'orbita ellittica calcolata, che fosse molto diversa da una parabola, fu osservata da Messier nel 1769. L'orbita ellittica fu calcolata da Lexell che concluse giustamente che la piccola orbita ellittica era stata prodotta da perturbazioni causate da Giove. La cometa non riappari' e nuovamente Lexell dedusse correttamente che Giove ne aveva cambiato l'orbita tanto da allontanarla dal Sole.

nel 1772, Lagrange ed Eulero vinsero congiuntamente un premio dell'Accademia di Parigi per un lavoro sull'orbita della Luna. Lagrange pubblico' invece Essai sur le problème des trois corps (saggio sul problema dei tre corpi) in cui mostrava che la soluzione ristretta dei tre corpi di Eulero era corretta per il problema generale dei tre corpi. Egli trovo' persino un'altra soluzione per il caso di tre corpi ai vertici di un triangolo equilatero. Lagrange considero' che le sue soluzioni non si applicano al sistema solare ma attualmente e' noto come sia la Terra che Giove abbiano asteroidi che condividono le loro orbite nella configurazione prescritta dalla soluzione del triangolo equilatero di Lagrange. Nel caso di Giove questi corpi sono chiamati pianeti Troiani, ed il primo ad essere scoperto fu Achille nel 1908. I pianeti troiani si muovono lungo la stessa orbita di Giove precedendolo e seguendolo di circa 60, in quelli che ora sono detti "punti lagrangiani".

Nella figura si possono vedere questi asteroidi. Essa mostra le posizioni di circa 6.000 asteroids di cui ora conosciamo le orbite. Si vede bene l'effetto dei punti lagrangiani. Giove e' l'ultimo pianeta raffigurato nella figura.

Tuttavia tutto questo lavoro sulle orbite di corpi del sistema solare non riusci' a stare alla pari con le osservazioni, che sembravano progredire piu' velocemente delle teorie, creando sempre piu' problemi di quanti i teorici potessero spiegare. Laplace, dal 1774 in poi, apporto' importanti contributi al tentativo dei teorici di spiegare le osservazioni dirette.

Nel 1776 Lagrange introdusse il metodo di variazione delle costanti arbitrarie, affermando che il metodo era di interesse nella meccanica celeste, e, in casi speciali, era gia' stato usato da Eulero, Laplace e da Lagrange stesso. Lagrange pubblico' altri articoli importanti nel 1783 e nel 1784 sulla teoria delle perturbazioni delle orbite usando metodi di variazioni delle costanti arbitrarie e, nel 1785, applico' la sua teoria alle orbite di Giove e Saturno.

Un importante sviluppo ebbe luogo il 13 marzo 1781 quando l'astronomo William Herschel (padre di of John Herschel) mentre era ad effettuare osservazioni nel suo osservatorio privato a Bath, Inghilterra, trovo'

... una curiosa stella nebulosa o forse una cometa.

Il 23 Novembre del 1785 Laplace lesse una memoria all'Accademia parigina, in cui diede una spiegazione teorica di tutte le discrepanze ancora esistenti tra la teoria e le osservazioni di tutti i pianeti e delle loro lune, escludendo Urano. Egli affronto' anche per la prima volta la questione della stabilita' del sistema solare. Tale lavoro culmino' nella pubblicazione di Mécanique céleste (1799) in cui, tra i tanti vari risultati importanti, affermo' di poter provare la stabilita' del sistema solare.

Alla fine del diciottesimo secolo restavano ancora da spiegare le teorie sul moto della Luna. Gli scritti di Laplace nel 1787, di Adams del 1854 e piu' tardi di Delaunay descritti piu' avanti fornirono la soluzione. Nei primi anni del diciannovesimo secolo Le osservazioni di Urano evidenziarono alcuni problemi relativi alla sua orbita. Gia' nel 1830 l'orbita di questo pianeta si era scostata di circa 15 secondi dall'ellissi che meglio gli si adattava.

Il successivo corpo celeste scoperto nel sistema solare fu il piccolo pianeta Cerere, scoperto nel 1801. Nel 1766 J D Titus e nel 1772 J E Bode avevano notato che i termini

(0+4)/10, (3+4)/10, (6+4)/10, (12+4)/10,
(24+4)/10, (48+4)/10, (96+4)/10

rappresentavano le distanze dal Sole dei 6 pianeti noti fino ad allora (prendendo la distanza della Terra come unitaria), con l'eccezione che non c'era alcun pianeta alla distanza 2,8. La scoperta di Urano alla distanza 19,2 era vicina al termine successivo della sequenza, 19,6.

Si comincio' a cercare un pianeta che doveva trovarsi alla distanza 2,8 ed il 1 gennaio 1801 questo fu scoperto dall'astronomo italiano G Piazzi. Purtroppo l'11 febbraio Piazzi si ammalo' e smise le sue osservazioni. Il nuovo pianeta, inosservato dagli altri astronomi, passo' dietro al Sole e fu perduto di vista. Peraltro Gauss in un brillante articolo fu capace di calcolare un'orbita da un numero ristretto di osservazioni. In effetti il metodo di Gauss richiede solo tre osservazioni ed e' quello ancora oggi quasi universalmente usato nel calcolo delle orbite. Cerere, come fu chiamato da Piazzi, venne localizzato da Olbers nel punto predetto da Gauss. La sua distanza dal Sole confermava la distanza 2,8 prevista dalla legge di Titus-Bode.

Johann Encke, un allievo di Gauss, calcolo' (usando il metodo di Gauss) un'orbita ellittica per la cometa del 1818. Essa aveva un periodo di 3,3 anni, il piu' breve fino allora conosciuto. Il periodo mostrava una riduzione periodica che Encke non riusciva a spiegare, quasi fosse dovuta a perturbazioni causate da altri pianeti.

Durante il diciannovesimo secolo il lavoro sul problema generale dei tre corpi aveva cominciato a prendere due indirizzi distinti. Uno era quello dello sviluppo di metodi complicatissimi di approssimazione del moto dei corpi. L'altro era di produrre una teoria sofisticata per trasformare ed integrare le equazioni del loro moto. Il primo di quegli indirizzi era la meccanica celeste mentre il secondo era la meccanica razionale o analitica.Sia la teoria delle perturbazioni che quella delle variazioni delle costanti arbitrarie avevano un grande significato matematico, inoltre contribuirono in modo importante alla comprensione delle orbite planetarie.

Articoli pubblicati da Hamilton nel 1834 e nel 1835 diedero un grande contributo alla meccanica dei corpi in orbita, come pure l'importante articolo di Jacobi del 1843 dove egli ridusse il problema di due pianeti in orbita attorno a un sole al moto di due masse puntiformi. In prima approssimazione le masse puntiformi teoriche andavano in orbite ellittiche attorno al centro di gravita' del sistema originario. Egli allora uso' un metodo scoperto Lagrange, per calcolare le perturbazioni. Nel 1852 Bertrand sviluppo' ed estese il lavoro di Jacobi,

Nel 1836 Liouville studio' la teoria planetaria, il problema dei tre corpi ed il moto dei pianeti minori Cerere e Vesta. Molti altri matematici allora dedicarono molto del loro tempo a questi problemi. Liouville fece un notevole numero di importantissime scoperte matematiche mentre lavorava sulla teoria delle perturbazioni, inclusa la scoperta del teorema di Liouville: "when a bounded domain in phase space evolves according to Hamilton's equations its volume is conserved".

Verso il 1840 alcune irregolarita' nell'orbita di Urano spinsero molti scienziati a cercarne le ragioni. Alexis Bouvard (un raccoglitore di dati sui pianeti) propose che la presenza di un pianeta potrebbe spiegare queste irregolarita' e ne informo' l'astronomo reale inglese Airy. Anche Bessel propose una soluzione analoga ma mori' prima di completare i suoi calcoli. Delaunay, famoso per il suo lavoro sull'orbita della Luna, si occupo' delle perturbazioni nell'orbita di Urano in un articolo del 1842. Francois Arago sollecito' l'astronomo francese Jean-Joseph Le Verrier a lavorarci spra ed il 1 giugno 1846 questi dimostro' che le irregolarita' potevano essere spiegate da un pianeta ignoto, per il quale calcolo' l'ipotetica posizione. Il 26 Settembre dello stesso anno l'astronomo Johann Gottfried Galle a Berlino scopri' il nuovo pianeta , in una posizione molto prossima a quella prevista da Le Verrier. Le sue osservazioni vennero confermate il 29 Settembre 1846 dall'osservatorio di Parigi.

La scoperta di Urano fu un successo notevole per la teoria della gravitazione di Newton e per la meccanica celeste. Il trionfo personale di Le Verrier peraltro fu un po' diminuito quando, il 15 Ottobre, venne pubblicata una lettera dell'astronomo inglese Challis che affermava che John Couch Adams dell'universita' di Cambridge aveva fatto calcoli simili a quelli di Le Verrier, e li aveva completati nel Settembre 1845. La sua predizione della posizione del nuovo pianeta era stata accurata quasi ugualmente a quella di Le Verrier ma gli astronomi inglesi erano stati molto meno attivi nella loro ricerca. John Herschel ed Airy pure si schierarono dalla parte di Adams. In effetti Challis aveva cominciato a cercare un nuovo pianeta il 29 luglio 1846, dopo un lungo ritardo. Egli l'osservo' il 4 Agosto ma non confronto' le sue osservazioni con quelle della notte precedente e cosi' si accorse di aver osservato il pianeta solo dopo che era stato scoperto a Berlino 7 settimane piu' tardi. Arago non si lascio' intimidire dall'affermazione di priorita' di Adams.

Il Signor Adams non ha il diritto di apparire nella storia della scoperta del pianeta Le Verrier con una citazione dettagliata od anche solo con una debole allusione. Agli occhi di tutti gli uomini imparziali, quella scoperta rimarra' come uno dei piu' bei trionfi dell'astronomia teorica, una delle glorie dell'Académie ed una delle piu' belle distinzioni della Francia.

Io mi impegno a non chiamare mai il nuovo pianeta con un nome diverso da "Le Verrier". In tal modo, penso di dare un segno ineccepibile del mio amore per la scienza, seguendo allo stesso tempo l'ispirazione di un legittimo sentimento nazionale.

Delaunay, ricordato sopra per il suo lavoro sulle perturbazioni dell'orbita di Urano, lavoro' per 20 anni sulla teoria dell'orbita lunare. Egli la considero' come un problema ristretto a tre corpi e uso' le trasformazioni matematiche per produrre soluzioni di serie infinite per la longitudine, latitudine e parallasse della Luna. Un primo abbozzo della sua teoria venne pubblicato nel 1847. La teoria venne rielaborata e perfezionata fino alla sua pubblicazione in 2 volumi nel 1860 e nel 1867. La teoria era estremamente accurata, col solo difetto della lenta convergenza delle serie infinite.

Delaunay scopri' delle discrepanze tra i movimenti osservati della Luna e le sue predizioni. Le Verrier affermo' che i metodi di Delaunay erano sbagliati ma Delaunay ribatte' come le discrepanze fossero dovute a fattori ignoti e nel 1865 suggeri' che le discrepanze fossero dovute al rallentamento della rotazione della Terra a causa dell'attrito delle maree, una spiegazione che ancora oggi e' ritenuta corretta.

Le Verrier aveva pubblicato un resoconto della sua teoria su Mercurio nel 1859. Egli mise in evidenza che c'era una discrepanza di 38" per ogni secolo tra il moto predetto al perielio (che e' il punto in cui il pianeta e' piu' vicino al Sole) di 527"/secolo ed i valori osservati di 565"/secolo. In effetti la discrepanza reale e' di 43"/secolo, come venne messo in evidenza anche piu' tardi dall'astronomo americano Simon Newcomb. Le Verrier era convinto che all'interno dell'orbita di Mercurio esistesse un piccolo pianeta o un anello di materiali, ma non era possibile osservarlo a causa della vicinanza del Sole.

La ricerca di Verrier si dimostro' vana e nel 1896 l'astronomo parigino Felix Tisserand aveva raggiunto la conclusione che un tale corpo perturbante non esisteva. Newcomb spiego' la discrepanza nel moto del perielio proponendo una minuta correzione della legge di gravitazione. Era la prima volta che la teoria di Newton veniva posta anche solo parzialmente in discussione, dopo tanto tempo. Proprio tale discrepanza nel moto del perielio di Mercurio avrebbe in seguito fornito la prova che la teoria newtoniana doveva cedere il passo alla teoria della relativita' di Einstein. Maggiori dettagli sull'avanzamento del perielio di Mercurio sono contenuti nell'articolo sulla relativita' generale.

G W Hill pubblico' nel 1778 uno stralcio della sua teoria lunare. In precedenza era stata ipotizzata un'orbita ellittica della Luna attorno alla Terra, nell'assunzione che il Sole non avesse alcun effetto; in seguito si tenne conto anche della perturbazione indotta dal Sole. Hill, d'altro canto, comincio' con orbite circolari della Terra rispetto al Sole e della Luna attorno alla Terra e continuo' con l'esame delle perturbazioni causate dall'assunzione di orbite ellittiche.

L'ultimo grande passo avanti che noi esamineremo, compiuto nello studio del problema dei tre corpi fu quello di Poincaré. Nel 1887 Bruns provo' che a parte i 10 integrali classici (6 per il centro di gravita', 3 per il momento angolare ed 1 per l'energia), non ne potevano esistere altri. Nel 1889 Poincaré dimostro' che per il problema circoscritto a tre corpi, non potevano esistere altri integrali all'infuori di quelli giacobiani. Nel 1890 lo stesso Poincaré provo' il suo famoso teorema di ricorrenza che dice che in ogni piccola regione di fase spaziale esistano traiettorie che vi passano nella regione infinite volte. Poincaré pubblico' tra il 1892 ed il 1899 tre volumi di Les méthods nouvelle de la méchanique celeste Egli discusse la convergenza e la convergenza uniforme delle soluzioni di serie discusse in precedenza dai matematici e dimostro' che non erano uniformemente convergenti. Le prove di stabilita' di Lagrange e di Poincaré introdusse altri metodi topologici nel 1912 per la teoria di stabilita' delle orbite nel problema dei tre corpi. Di fatti Poincaré invento' essenzialmente la topologia nel tentativo di rispondere alle domande di stabilita' nel problema dei tre corpi. Egli congetturo' che ci sono tante, infinite soluzioni periodiche del problema ristretto. Tale congettura fu piu' tardi dimostrata da Birkhoff. La stabilita' delle orbite nel problema dei tre corpi fu studiata anche da Levi-Civita, Birkhoff ed altri.