Numeri primi

I matematici della scuola di Pitagora (500 BC to 300 AC) erano interessati nei numeri per le loro proprieta' mistiche e numerologiche. Essi compresero l'idea di primarieta' ed erano interessati ai numeri perfetti e amichevoli.
(Un numero perfetto e' uno i cui i divisori propri quando sommati ridanno il numero stesso. Per esempio, il numero 6 ha i divisori propri 1, 2 e 3; 1 + 2 + 3 = 6. 28 has come divisori 1, 2, 4, 7 e 14; 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Un paio di numeri amichevoli e' un paio come 220 e 284 tali che i divisori propri di un numero quando sommati danno l'altro numero e viceversa.

Quando gli Elementi di Euclide apparirono intorno al 300 AC, parecchi importanti risultati sui numeri primi erano stati dimostrati. Nel libro IX degli Elementi , Euclide prova che ci sono infiniti numeri primi. Questa e' una delle prime dimostrazioni note ad usare il metodo di contradizione per trovare un risultato. Euclide da' anche la prova del Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: Ogni numero intero puo' essere scritto come un prodotto di numeri primi in modo essenzialmente unico.

Euclide mostro' pure che se il nulero 2 - 1 e' un numero primo, allora il numero 2 (2 - 1) e' un numero perfetto. Il matematico Eulero (molto piu' tardi, nel 1747) fu capace di mostrare che tutti i numeri perfetti pari avevano quella forma. Ancora oggi non si sa se vi sono dei numeri perfetti dispari.

intorno al 200 AC il greco Eratostene ideo' un algoritmo per calcolare i numeri primi, che si chiama il Crivello di Eratostene .

Poi c'e' un lungo intervallo nella storia dei numeri primi durante quella che si chiama l'Era dell'Oscurantismo.

i successivi sviluppi importanti vennero fatti da Fermat all'inizio del diciassettesimo secolo. Egli dimostro' una speculazione di Albert Girard che ogni numero primo avente la formula 4 n + 1 puo' essere scritto in modo unico come la somma di due quadrati e fu capace di mostrare come ogni numero potrebbe essere scritto come la somma di quattro quadrati.
Egli invento' un nuovo metodo per fattorizzare grandi numeri. Lo dimostro' fattorizzando il numero 2027651281 = 44021 x 46061.

Fermat provo' quello che e' stato conosciuto come il Piccolo Teorema di Fermat (per distinguerlo da quello che e' chiamato Ultimo teorema ).
Esso afferma che se p e' un numero primo, allora per ogni numero intero a si ha a = a modulo p.
Cio' dimostra meta' di quella che e' stata chiamata l'Ipotesi cinese che datava da 2000 anni prima, che un numero intero n e' numero primo se e solo se il numero 2 - 2 e' divisibile per n. L'altra meta' e' falsa poiche, per esempio, 2 - 2 e' divisibile per 341 anche se 341 = 31 x 11 e' un numero composto. Il Piccolo Teorema di Fermat e' la base per molti altri risultati nella Teoria dei Numeri ed e' la base per metodi ancora in uso oggi sui computer elettronici per controllare se i numeri sono primi.

Fermat ebbe della corrispondenza con altri matematici del suo tempo ed in particolare col monaco Marin Mersenne. In una delle sue lettere a Mersenne egli espresse l'idea che i numeri 2 + 1 erano sempre numeri primi se n e' una potenza di 2. Verifico' questo per n = 1, 2, 4, 8 e 16, e sapeva che se n non fosse una potenza di 2, il risultato fallirebbe. Numeri di questa forma sono chiamati numeri di Fermat. Fu solo oltre 100 anni dopo che Eulero mostro' che il caso successivo 2 + 1 = 4294967297 e' divisibile per 641 e cosi' non e' primo.

Numeri della formula 2 - 1 pure attrassero attenzione perche' e' facile mostrare che se n non e' primo quei numeri devono essere numeri composti. Essi sono spesso chiamati numeri di Mensenne M perche' Mersenne li studio'.

Non tutti i numeri della forma 2 - 1 con n primo sono primi. Per esempio 2 - 1 = 2047 = 23 x 89 e' un numero composto, benche' cio' venne per primo notato solo nel 1536.
Per molti anni numeri di questa forma furono i piu' grandi primi noti. Il numero M venne dimostrato primo da Cataldi nel 1588 e fu il piu' grande primo conosciuto per circa 200 anni fino a che Eulero dimostro' che M e' primo. Quello stabili' un record per un altro secolo e quando Lucas mostro' che M (numero a 39 cifre) e' primo, quello divento' il record fino all'era dei computer elettronici.
Nel 1952 i numeri di Mersenne M , M , M , M ed M vennero dimostrati primi da Robinson usando uno dei primi computer e cosi' l'era elettronica ebbe inizio.

Per il 1998 un totale di 37 primi di Mersenne erano stati trovati. Il piu' grande e' M che ha 909526 cifre decimali.

Il lavoro di Eulero ebbe un grande impatto sulla teoria dei numeri in generale e sui primi in particolare.
Egli estese il Piccolo Teorema di Fermat ed introdusse la funzione-phi di Eulero. Come detto sopra, egli fattorizzo' il quinto numero di Fermat 2 + 1. Trovo' anche 60 paia di numeri amichevoli riferiti sopra, ed affermo' (ma fu incapace di provarlo) quella che divento' nota come la Legge della Reciprocita' Quadratica.
Fu il primo a realizzare che la teoria dei numeri poteva essere studiata usando gli attrezzi dell'analisi e facendo cosi' fondo' il soggetto della Teoria Analitica dei Numeri. Potette anche mostrare che la cosidetta serie armonica (1/n) e' divergente, ma che la serie

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ...

A prima vista si direbbe che i numeri primi siano distribuiti tra i numeri interi quasi a caso. Per esempio nei 100 numeri immediatamente prima di 10.000.000 ci sono 9 primi, mentre nei 100 numeri dopo ve ne sono solo 2. Pero', su larga scala, il modo in cui i primi sono distribuiti e' molto regolare. Legendre e Gauss fecero entrambi estesi calcoli della densita' dei primi. Gauss (che era un calcolatore prodigioso) disse ad un amico che ogni qualvolta egli aveva una quindicina di minuti liberi la passava a contare i primi in una "ciliade" (gruppi di 1000 numeri). Verso la fine della sua vita, si stima che egli avesse contati tutti i primi fino a 3 milioni. Sia Legendre che Gauss arrivarono alla conclusione che per un grande n la densita' dei primi vicino a n e' di circa 1/log(n). Legendre diede una stima per (n) il numero di primi n di

(n) = n/(log(n) - 1.08366)

(n) = (1/log(t) dt dove l'intervallo di integrazione e' da 2 a n.

L'affermazione che la densita' dei primi e' 1/log(n) e' nota come il Teorema dei Numeri Primi. Tentativi di dimostrarlo continuarono per tutto il diciannovesimo secolo, con notevole progresso fatto da Chebyshev e Riemann che fu anche capace di correlare il problema a qualcosa chiamata l'Ipotesi di Riemann : un risultato ancora non provato degli zeri nel piano Complesso di qualcosa chiamata la funzione-zeta di Riemann. Il risultato venne in seguito dimostrato (usando i metodi potenti dell'analisi complessa) da Hadamard e de la Vallée Poussin nel 1896.

Vi sono ancora molte domande senza risposta (alcune di esse vecchie di centinaia di anni) riguardanti i numeri primi.

Alcuni problemi irrisolti

1. La Congettura dei Primi Gemelli che afferma vi sono infinite paia di primi scostati solo di due unita'.
2. La Congettura di Goldbach (fatta in una lettera di C Goldbach ad Eulero nel 1742) dice che ogni numero intero pari maggiore di 2 puo' essere scritto come la somma di due primi.
3. Ci sono infiniti numeri primi della forma n + 1 ?
   (Dirichlet provo' che ogni progressione aritmetica: {a + bn | n N} con a e b coprimi contiene infiniti primi.)
4. C'e' sempre un primo tra n e (n + 1) ?
   (Il fatto che c'e' sempre un primo tra n e 2n fu chiamata la congettura di Bertrand e venne dimostrata da Chebyshev.)
5. Ci sono infiniti numeri primi di Fermat? Inoltre, c'e' un numero primo di Fermat dopo il quarto?
6. Ci sono progressioni aritmetiche di numeri primi consecutivi che siano infinitamente lunghe? Per esempio: 251, 257, 263, 269 ha lunghezza 4. Il piu' grande esempio noto ha lunghezza 7.
7. Ci sono infinite serie di 3 primi consecutivi in progressione aritmetica? (Cio' e' vero se si omette la parola "consecutivi").
8. n - n + 41 e' primo per 0n40. Ci sono infiniti primi di quella forma? La stessa domanda si applica a n - 79 n + 1601 che e' primo per 0n79.
9. Ci sono infiniti primi della forma n# + 1? (dove n# e' il prodotto di tutti i primi n.)
10. Ci sono infiniti primi della forma n# - 1?
11. Ci sono infiniti primi della forma n! + 1?
12. Ci sono infiniti primi della forma n! - 1?
13. Se p e' un primo. e' 2 - 1 sempre privo di quadrati? cioe' non divisibile per il quadrato di un primo.
14. La sequenza Fibonacci contiene un infinito numero di primi?

Questi sono gli ultimi primi registrati a nostra conoscenza.

Il piu' grande numero primo (trovato da GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) il 27 gennaio 1998) e' il trentasettesimo primo di Mersenne: M che ha 909526 cifre decimali. Vedete l'Annuncio ufficiale.

I piu grandi numeri primi gemelli sono 242206083 x 2 1. Essi hanno 11713 cifre e vennero annunciati da Indlekofer e Ja'rai nel novembre 1995.

Il piu' grande primo fattoriale (cioe' primo della forma n! 1) e' 3610! - 1. E' un numero di 11277 cifre e fu annunciato da Caldwell nel 1993.

Il piu' grande primo primoriale noto (cioe' primo della forma n# 1 dove n# e' il prodotto di tutti i primi n) e' 24029# + 1. E' un numero di 10387 cifre e fu annunciato da Caldwell nel 1993.

Other Web sites:

Si possono trovare altre informazioni sui numeri primi a Waterloo, Canada.
ed anche a University of Tennessee, USA
Vi sono anche informazioni sul cosidetto numero di Bertelsen nonche''s number and mistakes in calculating pi(n) at Seattle, USA and also about Fermat primes
Qualche informazione sui Numeri perfetti

Referenze (21 libri/articoli)