cisθ

可透過數學歸納法，證明[cosθ+isinθ]ⁿ=[cos(nθ)+isin(nθ)]

設P(n)=[cosθ+isinθ]ⁿ=[cos(nθ)+isin(nθ)]

當n=1，

L.H.S.=cosθ+isinθ

R.H.S.=cosθ+isinθ

∵L.H.S.=R.H.S.

∴P(1)成立

假設P(k)成立，其中k為有理數。

i.e.[cosθ+isinθ]^k=[cos(kθ)+isin(kθ)]

當n=k+1，

L.H.S.=[cosθ+isinθ]^(k+1)

=[cosθ+isinθ]^k[cosθ+isinθ]

=[cos(kθ)+isin(kθ)][cosθ+isinθ]

=[cos(kθ)cosθ+icos(kθ)sinθ+icosθsin(kθ)+(-1)sin(kθ)sinθ]

={1/2}{cos[(k+1)θ]+cos[(k-1)θ]}+i[sinθcos(kθ)+cosθsin(kθ)]+(-1)(-1/2){cos[(k+1)θ]-cos[(k-1)θ]}

=cos[(k+1)θ]+isin[(k+1)θ]

=R.H.S.

∴P(k+1)也成立。

根據數學歸納法的原理，對於所有有理數n，P(n)都成立。