因式分解

以x³=p為例

x³-p=0

已知x-p^(1/3)

利用長除式就可得

[x-p^(1/3)][x²+p^(1/3)x+p^(2/3)]=0

∴x-p^(1/3)=0 or x²+p^(1/3)x+p^(2/3)=0

x=p^(1/3) or x=[-p^(1/3)±(p^(2/3)-4(1)(p^(2/3)))^(1/2)]/2

x=p^(1/3) or x=-p^(1/3)/2+3^(1/2)p^(1/3)i/2 or x=-p^(1/3)/2-3^(1/2)p^(1/3)i/2

代入式因式分解

以x³=p為例

已知x-p^(1/3)

代入x-p^(1/3)=y

(y+p^(1/3))³=p

y³+3p^(1/3)y²+3p^(2/3)y+p=p

y[y²+3p^(1/3)y+3p^(2/3)]=0

(x-p^(1/3))[(x-p^(1/3))²+3p^(1/3)(x-p^(1/3))+3p^(2/3)]=0

(x-p^(1/3))[x²-2p^(1/3)x+p^(2/3)+3p^(1/3)x-3p^(2/3)+3p^(2/3)

∴x-p^(1/3)=0 or x²+p^(1/3)x+p^(2/3)=0

x=p^(1/3) or x=[-p^(1/3)±(p^(2/3)-4(1)(p^(2/3)))^(1/2)]/2

x=p^(1/3) or x=-p^(1/3)/2+3^(1/2)p^(1/3)i/2 or x=-p^(1/3)/2-3^(1/2)p^(1/3)i/2

利用根與系數的關係

以x³=p為例

x³-p=0

∴-(α+β+γ)=0 & -(αβγ)=-p

已知其中一個方程解為p^(1/3)，可代入α=p^(1/3)

∴p^(1/3)+β+γ=0   ----- (1) & p^(1/3)βγ=p

γ=p^(2/3)/β   ----- (2)

代(2)入(1)得

p^(1/3)+β+p^(2/3)/β=0

β²+p^(1/3)β+p^(2/3)=0

β=[-p(1/3)±(p(2/3)-4(1)(p(2/3)))(1/2)]/2

∴可寫成，α=p^(1/3) or β=-p^(1/3)/2+3^(1/2)p^(1/3)i/2 or γ=-p^(1/3)/2-3^(1/2)p^(1/3)i/2