Costruire geometricamente:

dall’Origami alle costruzioni con riga e compasso

 

Premessa

Il 6 novembre ’01 presso il Liceo Alessi, molti insegnanti, in rappresentanza delle loro scuole, sono intervenuti all’incontro per la promozione e la definizione di due corsi sulla continuità nei cicli.

I partecipanti hanno messo a fuoco differenti forme di continuità che si esprimono attraverso:

• attività di comune progettazione, più agevoli negli istituti onnicomprensivi, tra insegnanti di cicli diversi con scambi di alunni e di docenti;
• momenti di accoglienza, durante i quali insegnanti di un ciclo riferiscono i metodi di lavoro, i risultati ottenuti e le varie situazioni umane a quelli del successivo;
• servizi offerti da una scuola, quali l’uso di attrezzature informatiche o la realizzazione di corsi per l’impiego didattico delle nuove tecnologie, che sono validi momenti di confronto fra insegnanti di scuole di diverso grado.

È emersa l’importanza di una valutazione comune su come si affinano importanti nodi concettuali e competenze nelle varie tappe dell’età evolutiva. La ragione principale che ci spinge ad un confronto consiste forse nell’insoddisfazione: il più delle volte, i risultati del nostro insegnamento ci appaiono o sono un po’ deludenti, inferiori, in ogni caso, alle attese.

È un meccanismo perverso: si finisce per credere che non sia possibile migliorare l’efficacia della nostra azione didattica.

Contenuto o metodo?

Il titolo del Corso di aggiornamento Costruire geometricamente: dall’Origami alle costruzioni con riga e compasso spinge a riflettere su una prima importante questione: nella trattazione saremo inclini a discutere di contenuti o piuttosto di metodi e, di conseguenza, di sistemi di abilità e competenze?

Penso che si possa rispondere, in modo abbastanza salomonico, sia l’una che l’altra cosa. Lo scopo principale di corso è mettere in evidenza che il "costruire" induce buone conoscenze e vere competenze. In ogni età dell’uomo, in particolare nell’infanzia, nella fanciullezza e nell’adolescenza, ma anche nella storia che descrive l’evoluzione del pensiero scientifico possiamo trovare abbondanti giustificazioni relative alla precedente affermazione.

Il taglio da dare al corso, a mio avviso, deve essere in sintonia con il titolo, cioè esplorare le potenzialità di linee didattiche che privilegiano il momento della costruzione e della scoperta, magari guidata, per raggiungere soddisfacenti livelli di astrazione con la contemporanea crescita di adeguate competenze operazionali.

Nel 1978 D. P. Ausebel dimostrava come fossero influenti le immagini del sapere nella mente di giovani studenti e rivolgendosi agli insegnanti così scriveva: "Se dovessi condensare in un unico principio l’intera psicologia dell’educazione, direi che il singolo fattore più importante che influenza l’apprendimento sono le preconoscenze che lo studente già possiede. Accertatele e comportatevi in conformità nel vostro insegnamento".

Le esperienze da far compiere all’alunno e le strategie didattiche adottate nelle varie fasi della sua formazione sono, perciò, da analizzare con cura e in una prospettiva unitaria da parte di tutti gli insegnanti, che avranno a che fare con la sua educazione.

 

La verticalizzazione dei curricoli

L’insegnamento della geometria fra scuola media e scuole superiori è stato affrontato da molti studiosi; per gli spunti che può dare al nostro lavoro mi sembra molto importante riportare in merito il paragrafo La necessità di un modulo di geometria elementare tratto dall’articolo L'analisi a-priori come strumento per la strutturazione di un percorso di insegnamento/apprendimento per moduli di A. Ajello.

"I recenti lavori di raccordo tra la scuola media e le superiori all'interno di gruppi che si sono occupati della continuità e dell'orientamento, hanno messo in luce che spesso la tendenza dell'insegnante di matematica al primo anno superiore è quella di sottovalutare o addirittura non considerare affatto lo studio della geometria degli anni di scuola media ed elementare per cercare di impostare un discorso che inizia con il metodo assiomatico/deduttivo della geometria euclidea e finisce per rendere odioso lo studio di tutta la geometria degli anni a venire.

La scelta di un modulo di geometria elementare è basata sui seguenti criteri (emersi dall'analisi delle difficoltà dei ragazzi e dall'immagine che si fanno della disciplina con un’impostazione tradizionale):

• recuperare le conoscenze e le abilità acquisite nel corso di studi precedenti è un punto fondamentale nell'ottica della continuità e della verticalizzazione dei curricoli;
• l'uso dei teoremi già noti (teoremi di Pitagora, di Euclide, similitudine o altro) nella risoluzione di problemi non deve essere sospeso in attesa che i suddetti teoremi siano ufficialmente dimostrati;
• stimolare attraverso il disegno le rappresentazioni di immagini, relazioni, figure e quanto altro nella risoluzione di problemi permette una consapevolezza maggiore del ruolo di primo piano della geometria elementare;
• dare un posto rilevante al disegno delle figure, alla costruzione delle stesse e alle verifiche delle proprietà geometriche serve ad agevolare il processo di consolidamento dei percorsi legati alle immagini mentali che porteranno alle congetture e da qui alle dimostrazioni;
• posticipare le dimostrazioni al momento in cui in qualche modo se ne faccia intravedere la necessità è più utile che imporlo precocemente;
• seguire un percorso che tenga conto della storia delle idee dell'uomo presenta molti vantaggi."

L’interattività con e senza PC

Perché gli studenti sono tanto attratti dalle attività multimediali sviluppate con il computer? Eppure sul mercato ci sono strumenti multimediali molto più efficaci e meno costosi quali stereo e videoregistratori. L'attrattiva principale dei PC e soprattutto dei loro programmi sta proprio nella capacità e nel grado d’interazione che sanno instaurare con l'operatore. Tutto questo sta riproponendo un modello di apprendimento per l'impiego del computer che nella didattica scolastica sembrava messo da parte, quello "per tentativi ed errori".

I giovani in particolare all’inizio non sono condizionati dal "metodo" - Prima so e poi faccio - così spesso ci surclassano davanti ad una tastiera e a un mouse proprio perché risolvono i loro problemi immergendosi in un concreto sistema di conferme e di confutazioni, in una situazione di apprendimento associativo nella quale la macchina può fornire retroazioni costanti ed immediate ad ogni azione dell'utente. Così è quando si comincia ad utilizzare il PC, poi ci dovrebbe essere dell'altro, almeno si spera.

Saper analizzare quello che noi insegnanti stiamo facendo e quello che i ragazzi stanno facendo quando, messi davanti ad un PC, creano un ipertesto, compilano un database, svolgono una ricerca diventa allora fondamentale. Dopo che gli alunni hanno imparato a fare, l’insegnante dovrebbe invitarli a valutare "cosa stiamo facendo" e "perché lo facciamo".

Le precedenti considerazioni valgono anche in assenza del PC, perché a pensarci bene la questione che interessa è trovare uno stile di studio e di lavoro interattivo, per prove ed errori. Riga e compasso diventano, per esempio, strumenti che mettono l’alunno in condizione di interagire: le domande "che cosa stiamo facendo" e "perché lo facciamo" hanno senso proprio attraverso il fare.

Le costruzioni geometriche, dalle più semplici alle più complesse, sono un mezzo formidabile non razionalità solo per scoprire proprietà, ma anche perché sono espressione di un metodo di lavoro, di un’interazione fra razionalità e immaginazione, fra concreto e astratto.

Edgar Morin afferma che "all’interno o al di sopra delle teorie si trovano alcuni principi fondamentali, inconsci o invisibili, che controllano e regolano spesso in maniera occulta la conoscenza scientifica organizzandola in una certa maniera. Tali principi non sono logici, o meglio non sono puramente e semplicemente i principi della logica".

Credo che qualcosa di simile e certamente ineffabile accada anche nella didattica sia sul versante dell’insegnamento che su quello dell’apprendimento.

Cabri e Java

Le tecnologie, di per sé, non sono mai state fondamentali all'apprendimento dei concetti nella formazione scolastica. Esse, e in particolare il software didattico, contribuiscono invece a far crescere una sorta di "intimità" tra alunno e disciplina grazie alla ripetitività, alle potenzialità di effettuare esplorazioni, alle valutazioni alternative che forniscono allo studente, alla facilità d'uso e alla riduzione di sovrastrutture organizzative.

È utile soffermarsi su un software che è stato salutato favorevolmente nella scuola italiana, dove si contano dei veri e propri cultori.

Fin dal 1988 Jean-Marie Laborde, Yves Baulac e Franck Bellemain hanno presentato la prima versione di Cabri-géomètre sviluppata per la piattaforma Macintosh; successivi miglioramenti hanno condotto a Cabri 1.7 per MS-DOS. Questo programma è stato tradotto in decine di lingue tra cui l’italiano e ha suscitato un grande interesse nel nostro paese, sia nella scuola media inferiore che in quella superiore. Ora esiste in italiano un nuovo software, sostanzialmente identico per le due piattaforme Mac e MS-DOS, chiamato Cabri II.

Nel passaggio a Cabri II gli autori hanno completamente ripensato il programma che, pur mantenendo la caratteristica essenziale di micromondo modulare per lo studio della geometria, presenta però opzioni nuove, alcune delle quali sono una naturale evoluzione delle versioni precedenti (aderendo alla tendenza dei prodotti informatici di una continua evoluzione), mentre altre sono radicalmente innovative.

L’insegnante, attraverso l’uso di Cabri, può guidare l’alunno con gradualità nell'esplorazione del mondo della geometria, coinvolgerlo continuamente e sollecitarlo a rispondere a domande, a completare proposizioni o a effettuare considerazioni sul lavoro svolto.

In particolare l’uso di Cabri consente di perseguire i seguenti obiettivi cognitivi:

• agevolare il disegno e verificare alcune semplici conoscenze in geometria;
• visualizzare le proprietà delle figure geometriche in maniera didattica ed interattiva;
• lavorare in ambienti diversi da quelli quotidiani;
• abituarsi allo scambio di opinioni e fare ipotesi;
• verificare mediante sperimentazione quanto ipotizzato;
• imparare a descrivere e relazionare situazioni matematiche;
• riconoscere proprietà varianti e invarianti.

Esempi di Cabri

Java è un linguaggio di programmazione "orientato agli oggetti" che ha molti pregi, permette, in particolare, di lavorare molto bene con le interfacce grafiche della Rete. Rende visibile su Internet, ad esempio, una geometria interattiva e con animazioni: di un luogo geometrico, di una curva o di una figura si possono evidenziare gli invarianti, integrando così le forme statico-verbali con quelle dinamico-visive.

Oggi si parla di CabriJava una fusione fra Cabri e Java, dovuta alla necessità di portare il mondo di Cabri sui browser della Rete.

Smontare e rimontare

La letteratura in merito alle costruzioni geometriche è generosa e gli apporti, sia nel tempo che nello spazio, ci vengono da vicino e da lontano. Nelle attività didattiche con riga, squadra e compasso, sono dati certi oggetti geometrici ed a partire da questi se ne vogliono costruire altri, rispettando la geometria del piano. Si tratta quindi di un’attività razionale, che necessita di creatività, ma anche di rigore per il rispetto delle "regole del gioco". Si tratta di raggiungere un obiettivo, dove esistono spesso più strade per la soluzione, senza che il procedimento sia meccanico. Spesso alcuni aspetti teorici sono messi in luce in modo brillante. Senza la pretesa di sostituire costruzioni più astratte, ragionamenti deduttivi o problemi più analitici, questo tipo di costruzioni geometriche conserva senz'altro una forte valenza didattica nella scuola contemporanea.

In quel che segue, naturalmente si danno per acquisite da parte degli alunni alcune semplici costruzioni e nozioni geometriche di base, quali:

1. saper riportare un segmento congruente ad un segmento dato su una semiretta assegnata;
2. saper riportare un angolo congruente ad uno dato in un’altra posizione del piano avendo scelto come vertice e come uno dei suoi lati rispettivamente l’origine di un semiretta e la semiretta stessa;
3. saper effettuare graficamente la somma e la differenza di due segmenti e di due angoli;
4. saper costruire l’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo;
5. saper costruire la perpendicolare e la parallela per un punto ad una retta;
6. conoscere la disuguaglianza triangolare;
7. riconoscere la proprietà metrica comune a tutti punti di una circonferenza e dei punti di una retta parallela ad un’altra;
8. conoscere le proprietà affini del parallelogramma;
9. saper dividere un segmento in parti uguali servendosi della costruzione del piccolo teorema di Talete.

costruzioni geometriche elementari

La corretta concezione, anche intuitiva, dei termini del lessico geometrico non deve essere data per scontata negli alunni. È bene accertare preventivamente il significato attribuito dagli allievi a un termine o a un’espressione; i significati che si possono scoprire saranno uno stimolo per l’azione e per la ricerca didattica. L’insegnante sarà chiamato a compiere un’operazione di mediazione che la psicologia cognitiva chiama conciliazione. In altri termini, molto spesso la mente dei nostri alunni elabora in forza dei propri vissuti, anche emotivi, significati che contrastano con la corretta concezione di concetti chiave della disciplina. Questo contrasto impedisce ai concetti nella nuova impostazione di ancorarsi alla rete delle conoscenze passate. In proposito il seguente brano di George Polya è davvero pertinente e illuminante.

"Uno dei compiti più importanti dell’insegnante&emdash; sostiene - è quello di aiutare i suoi allievi. Non si tratta di un compito semplice: esso richiede tempo, fatica, entusiasmo e una profonda preparazione.

Lo studente dovrebbe acquisire la massima esperienza lavorando da solo. Ma, se lasciato senza alcun aiuto o con un aiuto insufficiente dinanzi al suo problema, è probabile che egli non compia alcun progresso. D’altra parte, se l’insegnante è troppo prodigo di aiuto, all’alunno non resta più nulla da fare; quindi l’insegnante dovrebbe intervenire, non troppo né troppo poco, in modo che lo studente possa sostenere una parte ragionevole di lavoro.

Se l’allievo non è in grado di fare molto, l’insegnante dovrebbe lasciagli almeno l’illusione di saper lavorare da solo; a tal fine egli dovrebbe aiutare il ragazzo con discrezione, in maniera opportuna.

Comunque la cosa migliore è porgere aiuto allo studente con naturalezza. L’insegnante dovrebbe perciò immedesimarsi nell’allievo, comprendere il suo livello di conoscenza, tentare di capire ciò che si agita nella sua mente e, di conseguenza, rivolgergli quella domanda o indicare proprio quel passaggio che lo stesso studente avrebbe potuto formulare."

Concentriamo l’attenzione su alcuni esempi tratti dalla mia esperienza didattica.

• Costruire un triangolo ABC conoscendo il lato AB, la mediana CM relativa e un angolo adiacente ad esso, per esempio quello relativo al vertice A.

Se il triangolo ABC è rispettivamente ottusangolo o acutangolo e rettangolo si hanno rispettivamente due soluzioni (la seconda è individuata dal punto D) o una soltanto. In particolare, se il triangolo è rettangolo con ipotenusa AB, è noto che la mediana è pari alla metà dell’ipotenusa e che il triangolo è inscritto in una semicirconferenza. Possiamo apprezzare le variazioni di questi casi in modo dinamico attraverso un Applet1.

La costruzione è ottenuta attraverso un lavoro di gruppo in classe. Gli alunni partono da due segmenti e dall’ampiezza di un angolo. Il segreto consiste nell’osservare qualche proprietà in un triangolo disegnato con la mediana relativa alla base. Le osservazioni vanno effettuate su parecchi disegni che rappresentano varie specie di triangoli.

• Costruire un triangolo rettangolo ABC conoscendo l’ipotenusa BC, e la somma dei cateti.

Il problema si può presentare ad una classe in una forma accattivante, per esempio, immaginando che un fabbro debba piegare un’asta di ferro in modo da ottenere un triangolo rettangolo avente una data ipotenusa.

La prima domanda da rivolgere agli alunni può essere "Pensate che la costruzione del triangolo sia possibile con qualsiasi scelta dell’ipotenusa?".

Dal dibattito appassionato che, in genere, ne nasce tornano a galla alcune nozioni, come la disuguaglianza triangolare, grazie alla quale si può affermare che l’ipotenusa deve essere minore della somma dei cateti. Non è solo questa la limitazione, ma per il momento possiamo accontentarci. Più avanti, l’alunno stesso si renderà conto che la costruzione non è possibile con determinati rapporti fra la lunghezza dell’ipotenusa e del segmento somma dei cateti.

I ragazzi sono messi in condizione di trovare qualche via risolutiva solo se imparano a smontare un triangolo rettangolo piegandone i lati, così che tornino a essere la barra di ferro iniziale. Pensare la somma di due o più segmenti in termini di un segmento è un modello mentale indispensabile, per prendere il via.

La simulazione grafica sulla carta, attraverso molti schizzi, assume con l’ipotesi del fabbro la suggestione e l’impatto di un triangolo rettangolo reale fatto di ferro. Sotto la guida dell’insegnante non sarà difficile individuare l’invariante del problema, che, senza conoscere le misure dei cateti, sarà il punto focale per la costruzione del triangolo richiesto.

L’interazione con Applet2 consente di vedere e di capire i casi particolari e le condizioni per le quali la costruzione si realizza, come il minimo e massimo dell’ipotenusa rispetto alla somma dei cateti.

Da qui il passo per avanzare nella ricerca è breve: l’insegnante e, perché no, qualche alunno più sveglio potrebbe legittimamente domandarsi se è possibile affrontare e risolvere il seguente problema simile al precedente.

• Costruire un triangolo rettangolo ABC conoscendo l’ipotenusa BC, e la differenza dei cateti.

L’esperienza condotta con la precedente costruzione può essere solo in parte ripresa. Al solito, s’immagini che il triangolo ABC sia stato già realizzato. Soltanto la rappresentazione della differenza sulla figura induce, come vedremo, alla scoperta di una soluzione grafica vincente, perciò dovremo domandare più volte agli alunni: che cosa è la differenza di due segmenti?

La domanda non è per niente peregrina. Gli alunni devono essere guidati e portati ad accettare che: la differenza dei cateti è quel segmento che sottratto al cateto maggiore AC porta ad ottenere il minore AB e che, al contrario, aggiunto al cateto minore fa avere il maggiore. La differenza di due segmenti diventa, in questo senso, come un dinamico operatore della mente che trasforma segmenti disuguali in uguali.

Il passo successivo consiste nel far leva sul fatto che i segmenti AB e AD sono uguali. La soluzione è quasi a portata di mano, ma a volte occorre mostrare agli studenti che si è in presenza di un triangolo ABD ovviamente isoscele, dunque con gli angoli alla base di 45°. La difficoltà per gli alunni nasce dal fatto che gli estremi dei nuovi cateti non sono, all’inizio, uniti dalla necessaria ipotenusa. In altre parole, tre punti devono essere organizzati dalla mente del ragazzo nella figura del triangolo, e questo non è per nulla ovvio e immediato. Il parallelogramma CDBE è il mezzo con il quale "restituiamo il maltolto" al cateto maggiore.

Le operazioni necessarie per la costruzione si possono ricavare rivedendo tutto quello che abbiamo osservato quasi a rovescio. Ora il triangolo non c’è: dobbiamo utilizzare solo i due segmenti che rappresentano l’ipotenusa e la differenza dei cateti. Non sarà difficile portare i ragazzi ad organizzare la costruzione secondo i seguenti passi:

1. si tracci una retta r orizzontale su cui si prende il punto B;
2. si disegni un arco di centro B e di raggio l’ipotenusa data;
3. da B si tracci la semiretta s che forma un angolo di 45° rispetto alla retta r;
4. si costruisca un segmento BE perpendicolare alla retta r e di lunghezza la differenza data;
5. si conduca dal punto E la retta parallela ad s fino ad intersecare l’arco nel punto C;
6. la perpendicolare da C alla retta r interseca quest’ultima nel punto A e il triangolo ABC così ottenuto è quello richiesto dalla costruzione.

Si può utilizzare anche in questo caso l’Applet3 per un rinforzo interattivo della costruzione.

Conclusioni

Il tema del corso è particolarmente ampio. Il mio intervento ha aperto solo alcune porte, dietro alle quali ci sono molte stanze e corridoi, ma ha lasciato altrettante porte chiuse o socchiuse. Intendo dire che mancano i contributi relativi alla scuola elementare e alla scuola media. Agli insegnanti dei due ordini di scuola è demandato il compito di riempire questo spazio aperto. Ci sono stati progetti e riforme che hanno interessato la scuola elementare e la scuola media nell’ultimo quarantennio e vale la pena ricordarne alcuni.

Il famoso Progetto Nuffield, nato nel lontano 1963 per l’insegnamento della matematica nella scuola primaria in Inghilterra e che per alcuni aspetti è estendibile anche alla scuola media, assumeva la formula "se faccio capisco" come fondamento metodologico. L’SMP (School Mathematics Project) partito analogamente agli inizi degli anni 60, l’Open University erano anch’essi progetti per la scuola superiore segnati da una impostazione interdisciplinare, sperimentale, attiva. I lavori di T. Varga furono alla base di una delle prime ricerche sperimentali italiane concernenti il curricolo di matematica della scuola primaria il RICME (1976-1980).

Da questo versante viene un rafforzamento dell’idea che tra logica, insiemi e probabilità siano possibili delle sintesi attraverso il gioco, la risoluzione dei problemi e la scoperta, con attività didattiche proponibili sin dai primi anni della scuola elementare. Interessante è la genesi dei programmi del 1979 per la scuola media. I programmi del 1979 costituiscono il compimento di un lungo e radicale processo di riforma scolastica, che ha unificato la scuola media eliminando l’avviamento e innalzando di tre anni l’obbligo scolastico.

Nei programmi è evidente l’intenzione di ridurre l’impatto formalistico e chiuso di una disciplina troppo strutturata, rimandandolo agli studi successivi, per presentare una pluralità di argomenti e di approcci in cui tutti possano trovare la possibilità di studiare proficuamente. Il quadro non sarebbe completo, se non si citasse infine il lavoro di Emma Castelnuovo. Autrice di un diffuso libro di testo spesso aggiornato e rivisto, la Castelnuovo ha rappresentato la tradizione geometrica, dinamica e intuizionista del padre Guido Castelnuovo e di Federico Enriques.

Per prima, ha pubblicato in Italia un libro di didattica della matematica tradotto in molte lingue, in cui tanti giovani studenti di matematica scoprirono le implicazioni pedagogiche e psicologiche dell’apprendimento matematico. Nel 1972 e nel 1974 realizzò, nelle sue classi della scuola media Tasso, due mostre di matematica centrando l’attenzione della sua scelta pedagogica sul rapporto tra matematica e realtà. Si tratta di un’attività non isolata, legata a numerosi contatti internazionali, tra cui molto importante l’Ecole Decroly di Bruxelles, tanti colleghi in Italia e un gruppo molto affiatato a Roma.

 

Costruire Geometricamente …

verbale del 14 novembre 2001

Dopo l’intervento del coordinatore del corso prof. Valerio Scorsipa, si avvia fra i presenti una discussione vivace, anche animata, che pone sul tappeto molte questioni. Alcuni docenti della scuola media nel rispetto dell’editoria scolastica corrente, affermano l’esigenza di iniziare il curricolo di geometria in modo rigoroso e con un’adeguata impalcatura assiomatica. Ci si rende conto, anche in quest’occasione, dell’importanza di un linguaggio comune fra docenti appartenenti a differenti ordini di scuola; in una parola, il peso specifico attribuito ai termini in gioco può essere abbastanza diverso.

Si parla di sistema ipotetico deduttivo, di sistema di assiomi, di esercizio alla deduzione locale. La necessità di "fare retromarcia" nel curricolo di geometria della scuola media e di partire dall’osservazione di figure solide è, invece, suggerita da un’altra insegnante, con il fine di garantire maggiore continuità e coerenza al percorso formativo impostato nella scuola elementare. Gli scambi più frequenti fra la scuola elementare e la scuola media in cui presta servizio l’insegnante che propone il suddetto cambiamento di rotta, sono, a suo stesso dire, agevolati dal fatto che le scuole dei due cicli insistono su una realtà abbastanza omogenea e circoscritta e che per questo la collaborazione e la conoscenza dei problemi sono maggiori.

Molte testimonianze confermano la difficoltà di iniziare con gli alunni il curricolo di geometria, in prima media e nel primo anno del biennio della scuola superiore, e confermano un parziale insuccesso dell’azione didattica. È ovvio attendersi nel passaggio da un ciclo al successivo un periodo di assestamento, ma emergono motivi più profondi che spingono un po’ tutti i presenti a costatare lo loro insoddisfazione. La discussione, che all’inizio coglie gli aspetti di insoddisfazione e della condizione, anche "emotiva", degli insegnanti, si concentra poi sulla necessità che il docente ponga maggiore attenzione al versante dell’apprendimento.

In altri termini, ci si rende conto che i "problemi" dell’insegnante, benché si manifestino in forme diverse, probabilmente hanno la stessa radice dei problemi dei suoi allievi, che nella ricerca si deve garantire una profonda e rinnovata "capacità di ascolto" verso i vissuti cognitivi ed emotivi del ragazzo e che anche se non si possono "radiografare" i pensieri di chi apprende, è bene che l’insegnante si immedesimi, faccia ipotesi, congetturi intorno al perché le traiettorie cognitive che si producono divergono molto spesso dal tracciato atteso.

Riemerge dunque la necessità, a detta di un’insegnante del liceo, di tener presente il dettato di Ausbell e di impostare il lavoro delle prossime sedute intorno all’ipotesi di una verticalizzazione di argomenti e di concetti che si rivelano poco assimilati o addirittura malintesi da parte degli studenti, nonostante l’apparente semplicità. Indicativa in questo senso è la costruzione dell’altezza relativa ad un lato di un triangolo, o del quadrato "messo a rombo". In situazioni come queste si contano insuccessi abbastanza frequenti e a differenti età, perciò sarebbe opportuna una riflessione da parte di tutti per enucleare proposte didattiche più efficaci e circostanziate, rispetto alle riposte che possono venire dagli studenti.

Sul tavolo della discussione si aggiungono altre questioni. In particolare, un’insegnante propone di riflettere su un importante obiettivo cognitivo e forse da considerare essenziale, "minimo", alla fine del triennio della scuola media; l’obiettivo è il seguente: l’alunno sa leggere e correttamente interpretare il testo di un problema geometrico e lo traduce in una figura corretta. Si riafferma l’importanza che l’alunno sappia fare semplici costruzioni geometriche, come, per esempio, disegnare un triangolo isoscele nel quale la base è i tre quarti dell’altezza.

L’intervento di un insegnante che lascia intravedere il metodo adottato nella scuola elementare per avviare negli alunni l’astrazione di linea retta o di punto porta a riflettere quanto sia importante, in quella fase scolare e nelle successive, che l’alunno sia capace di riconoscere e di indicare con nome appropriato un "oggetto" geometrico e le sue parti, come nel caso dell’angolo piano, ma che sia anche abbastanza inutile richiedere l’organizzazione dei termini, come avviene in una definizione.

Non si tratta certo di eliminare le definizioni, si tratta invece di stabilire come verificarne la corretta assimilazione da parte degli alunni alle diverse età, evitando di partire dalla ripetizione verbale, vuota di significati, che sarebbe altrimenti un mero flatus vocis. Si tratta di costruire, nel tempo, azioni didattiche atte a far "cucire" agli alunni le parole in un discorso prima attraverso l’esperienza e poi condotto sulla via dell’astrazione. La vigilanza dei docenti sui significati attribuiti ai singoli termini da parte degli alunni dovrà essere, perciò, sempre alta.

Il 10 e il 17 dicembre gli incontri saranno dedicati a conoscere rispettivamente la realtà del costruire geometricamente nella scuola elementare e materna e quella nella scuola media. Gli interventi saranno curati da insegnanti appartenenti dei due ordini di scuola.