Premessa
Il coordinatore del Corso propone una sintesi relativa al dibattito sviluppato durante l'incontro del 14 novembre, poi attraverso Internet fa vedere un dimostrativo su Cabri e un'animazione relativa ad alcune semplici costruzioni geometriche, quali: tracciare la parallela e la perpendicolare ad una retta da un punto, dividere un segmento dato in n parti uguali, tracciare la bisettrice di un angolo, disegnare un triangolo, dati i tre lati.
Infine mostra un semplice ipertesto intitolato Costruire geometricamente … senza parole…
Sono presi in esame un pavimento, tre dimostrazioni del teorema di Pitagora e la rappresentazione mediante aree di due identità algebriche. L'equiscomponibilità per somma e sottrazione di due figure è alla base dei cinque casi proposti.
La pavimentazione
Costruire la mattonella di un pavimento una pavimentazione può essere un'attività didattica particolarmente interessante: si deve far fronte ad alcune regole e al contempo si dà spazio alla creatività. Basta osservare l'elemento non colorato della figura sottostante. Da un quadrato si tagliano parti che sono spostate fuori, sul lato opposto. In questo modo si ottiene la mattonella di un pavimento.
Il teorema di Pitagora, autore sconosciuto, circa 200 a. c.
Questa dimostrazione è nota. Le parti bianche della rappresentazione sottostante sono equivalenti in quanto differenza di figure equivalenti e queste lo sono perché equiscomponibili.
Il teorema di Pitagora, Bhaskara, XII sec.
Più difficile è comprendere la dimostrazione basata sulla figura seguente. Il piccolo quadrato bianco ha il lato che è pari alla differenza dei cateti, mentre il quadrato grande è quello dell'ipotenusa. Nel secondo disegno con un po' di concentrazione si mettono in evidenza i due quadrati costruiti sui cateti. Basta prolungare verso il basso idealmente il lato verticale sinistro del quadratino bianco …
Il teorema di Pitagora basato sul Teorema d'Euclide
Questa dimostrazione è presente nei manuali di geometria. Ma certi elementi in più come il triangolo bianco in basso contribuiscono a far assimilare il messaggio del teorema.
Rappresentazione geometrica di due identità
Si sofferma l'attenzione sull'importanza di visualizzare alcune semplici identità algebriche ampliando il numero delle esperienze oltre il classico quadrato del binomio. Più impegnativo sul piano grafico è lo sviluppo del cubo di un binomio, tuttavia in questo caso si potrebbe ricorrere a un modello tridimensionale realizzato magari con elementi della Lego o in qualsiasi altro materiale. Far realizzare e far usare modelli è considerato da tutti gli insegnanti un potente metodo didattico.
Prendono la parola due delle insegnanti elementari Umbra Cucci, Sabina Di Matteo, FedericaFrascarelli del II circolo didattico di Perugia. Pl. Villaggio Kennedy, e in premessa leggono il seguente documento.
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L’itinerario geometrico nella scuola elementare.
Lo studio della geometria nella scuola elementare è inteso, in primo luogo, come semplice linguaggio per descrivere la realtà concreta nella quale il bambino vive e agisce.
La linea operativa deve, quindi, partire necessariamente dalla realtà, dall’esplorazione dello spazio-ambiente, al quale l’interesse del bambino è naturalmente rivolto, e dalle competenze possedute.
Già le prime esperienze scolastiche pongono il bambino di fronte a nuovi problemi connessi alle relazioni spaziali; la lettura e la scrittura, per esempio, sono organizzate in un certo modo concordato, per cui si articolano da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso. L’incolonnamento dell’addizione e della sottrazione sono anch’esse espressioni dell’organizzazione dello spazio secondo criteri prestabiliti: le unità sotto le unità (e queste, sappiamo che occupano il primo posto a destra della successione numerica), i lunghi sotto i lunghi (nella posizione immediatamente successiva, a sinistra delle unità) ecc.
Sarebbe un’illogica forzatura, quindi, proporre subito rette, punti, piani, angoli,…; proporre, in altre parole, gli elementi basilari della geometria euclidea notoriamente basata sullo studio di enti e figure statiche mentre il bambino opera in una realtà tridimensionale, estremamente complessa, con la quale definisce relazioni spaziali essenzialmente legate all’orientamento.
Si richiama, a tal riguardo, l’indicazione del testo programmatico:
"La geometria va vista inizialmente come graduale acquisizione delle capacità di orientamento, di riconoscimento e di localizzazione di oggetti e di forme e, in generale, di progressiva organizzazione dello spazio, anche attraverso l’introduzione di opportuni sistemi di riferimento. L’itinerario geometrico elementare, tendendo alla sistemazione delle esperienze spaziali del fanciullo, si svilupperà attraverso la progressiva introduzione di rappresentazioni schematiche degli aspetti della realtà fisica. ".
Si favorisce, quindi, un’attività geometrica ricca e variata che si articola sul piano operativo-concreto perché nella concretezza nascono e si organizzano le esperienze e si attivano i concetti e le strutture mentali. Dall’analisi e razionalizzazione degli elementi che determinano la dinamica realtà oggettiva in cui il bambino opera, lo studio della geometria, a mano a mano, si estende richiedendo una sempre più rigorosa analisi delle figure, delle loro forme e delle loro relazioni spaziali.
A legittimare quanto scritto, si richiama opportunamente l’indicazione dei Programmi ministeriali:
“… dallo studio e dalla realizzazione di modelli e disegni si perverrà alla conoscenza delle principali figure geometriche piane e solide e delle loro trasformazioni elementari. ".
Anche in questa fase la geometria non è intesa come studio di figure statiche, avulse dal contesto reale al quale appartengono; ma una geometria dinamica, che studia sì le figure e le loro forme, ma studia anche le loro trasformazioni e posizioni reciproche.
Sarebbe quindi riduttivo, rilevano i Programmi, limitare l’insegnamento di questo settore alla semplice memorizzazione della nomenclatura tradizionale e delle formule per il calcolo di perimetri, aree, volumi di figure particolari.
L’itinerario elementare di geometria rivolge, dunque, maggiore attenzione alla scoperta delle figure, alla ricerca delle relazioni spaziali che le determinano, al rapporto di interdipendenza tra la realtà in cui le figure si trovano o in cui vengono ipotizzate e l’astrazione.
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Una volta entrati in sintonia con le finalità del percorso della geometria nella scuola elementare, si capisce che è corretto e per niente esagerato l'approccio con cui le insegnanti avviano e propongono l'assimilazione di un concetto, di un suo aspetto e del termine che lo connota. Non se ne dà una definizione verbale: nei limiti del possibile, si forniscono esempi e situazioni in cui l'alunno è invitato a riconoscere la rappresentazione di una forma e di un concetto.
Sul piano didattico, l'insieme di queste attività è avvincente e complesso, perché in vario modo interessa la dimensione emotiva, quella cognitiva e quella metacognitiva. È importante recuperare, classificare e organizzare il sistema di esperienze e di vissuti dell'alunno, e questo anche in vista della necessità di promuovere e di far accettare e condividere termini, parole ed espressioni di un linguaggio specifico, come quello della geometria.
È naturale domandarsi se l'alunno s'incammina in queste attività e le interiorizza spinto da un innato bisogno cognitivo che dispone di strumenti e metodi interni già fondati e organizzati, o se, invece, non sia quel bisogno a dare il via alla formazione e alla maturazione di principi e metodi sviluppatori e costruttori delle impalcature che sostengono la conoscenza proprio nel suo farsi.
Si è di fronte ad un gioco di richiami e di rimandi rende quasi impossibile vedere l'origine e precisare un qualche punto di partenza: qualcosa di non detto resta, ma passa comunque, va in circolo nella comunità intenta a quel lavoro. Esiste dunque un quid d'indefinito, d'incerto e inesprimibile di cui occorre tenere conto nel nostro lavoro di insegnanti.
È particolarmente interessante e indicativo il percorso didattico Dalla realtà alla geometria. Uno spago teso, gli estremi incollati sulla carta con un nastro adesivo, veicola la prima idea di linea insieme all'impronta ottenuta sulla carta impregnandolo con un po' di tempera.
La parola "linea" retta trova un primo significato, ma lo spago può essere disposto in mille altri modi: con gli estremi distinti, in forme variamente ondulate, più vicino all'idea di spezzata, intrecciato, chiuso con gli estremi coincidenti e tale da permettere di riconoscere un "dentro" e un "fuori".
Tutto un vocabolario e un sistema di segni si precisa e si mette in moto: punto iniziale e finale, estremo, linea, percorso e le rappresentazioni schematiche della seggiola, del banco piccolo e di quello grande visti come un quadrato e un rettangolo, o ancora le schematizzazioni dei diversi cammini di Andrea, di Viola e di Gessica per andare da un punto all'altro della classe in presenza di alcuni oggetti di riferimento e di ostacoli come la sedia, il banco la cattedra.
Con le linee si possono rappresentare le cose: il profilo delle montagne, le linee del mare e delle onde, della casa, dell'albero, del palloncino e delle nuvole.
Un secondo modulo mostra che è didatticamente importante abituare l'alunno ad esercitare le capacità di osservazione per classificare gli oggetti, le cose in natura: così l'abete, il cono del gelato, il cappello di Pulcinella, e l'armadio, le case, le scatole, e il tronco dell'albero, lo stick della colla, il bicchiere, la bottiglia, il barattolo, e il sole, la palla, e la pizza, le ruote rimandano alle forme e danno significato alle parole cono, parallelepipedo, cilindro, sfera e cerchio.
L'attenzione e la cura nel far passare l'alunno dall'esperienza tridimensionale all'accettazione e concezione di un'astratta geometria del piano riaffiora nel momento in cui dai solidi come il parallelepipedo, il cubo, la piramide e il cilindro si passa alla loro impronta su una superficie "piana" ottenendo il rettangolo, il quadrato, il triangolo e il cerchio; per questo basta seguire con una matita il contorno sulla carta della pianta del solido, oppure con la luce di una pila proiettarne l'ombra.
Con la simmetria si dischiude un modello concettuale che permea di sé molte esperienze dell'alunno garantendo del resto un'efficace operatività.
Le macchie che si formano con qualche goccia di tempera piegando un foglio a metà consentono all'insegnante di portare l'alunno a compiere alcune interessanti osservazioni e ad introdurre, al solito, un opportuno vocabolario. È possibile poi passare a rappresentazioni simmetriche meno casuali. Piegato il foglio a metà, si disegna per esempio il profilo di una casa che con le forbici si ritaglia da tutte e due le metà. Altre osservazioni sono possibili: dalla disposizione dei comignoli delle case si ricava che la simmetria con un asse verticale cambia la destra con la sinistra e con un asse orizzontale il basso con l'alto.
Il senso quasi naturale per la simmetria spinge gli alunni ad ulteriori investigazioni con assi di simmetria interni o esterni. Gli specchi sono una fonte inesauribile di scoperte. Nei nomi dei ragazzi scritti a stampatello ribaltati dallo specchio alcune lettere si dimostrano resistenti alla magia della riflessione: la "A", la "I", la "H", la "M", la "O", la "T", la "U", la "V", il "W", la "X" e la "Y". Se lo specchio è disposto in modo da riflettere verticalmente, le lettere "B", "C", "D", "E", "H", "I", "O" e "X" non cambiano, si leggono lo stesso.
Si è pronti ad investigare le simmetrie del rettangolo, del rombo, del quadrato e del triangolo isoscele, ma anche a comporre le simmetrie per ottenere le traslazioni e le rotazioni.
Non è possibile riportare per iscritto l'effetto e il valore didattico del materiale portato in visione dalle insegnanti: mancherebbe in ogni caso la fantasia dei colori e delle figure e l'ingenua creatività dei bambini.
Alla fine della relazione delle insegnanti, si apre un dibattito che rivela che nel passare dalla scuola elementare alla media gli alunni dimostrano, in generale, di non ricordare argomenti svolti soltanto qualche mese prima.
Tutti dovremo riflettere su questo. È forse opportuno pensare che la complessità è il modo in cui si realizza l'apprendimento e che questa deve essere, allora, rispecchiata anche dall'insegnamento nel ricercare una molteplicità di significati che riaffermano le conoscenze e i vissuti degli allievi. E perciò: ascoltare sempre e provocare spesso i propri alunni per individuare una motivazione forte e per determinare la crescita di una ricerca e di valori condivisi.
Occorre in altri termini progettare in funzione di una memoria collettiva. L'intervanto di un insegnante della scuola media pone l'attenzione sul valore esplorativo e diagnostico che può avere una mappa nel far emergere molti significati come nel caso della parola " rapporto". Tutto questo rimanda al famoso brano di Gavino Ledda, in cui egli descrive l'interpretazione della circonferenza secondo i parametri della lingua e della cultura di un pastore sardo.
Il timore degli insegnanti di non sviluppare tutto il programma deve essere ridimensionato e cedere il passo alla certezza che molti concetti non sono assimilati, se appresi in un modo meramente meccanico.
La relazione delle insegnanti della scuola elementare è un invito a riflettere su quali siano le strategie più idonee, per ottenere non solo un rendimento soddisfacente degli alunni, ma soprattutto che essi pervengano a conoscenze durature di concetti ritenuti essenziali.