È l'ultimo incontro di Costruire geometricamente. Si distribuiscono un documento sintesi della riunione precedente e una scheda di valutazione del corso.
Dopo un breve riassunto delle finalità e delle azioni, che hanno caratterizzato la seduta del 18 gennaio 2000, e dopo aver illustrato, in particolare, la terza parte della scheda di valutazione rivolta a stabilire la strutturazione e il tema del corso su Matematica nei cicli relativamente al prossimo anno scolastico, il coordinatore cede la parola alla professoressa R. Sollevanti.

Si parte con una provocazione "imparare qualcosa nel senso di saper ripetere o nel senso di sapersene servire?". Il concetto di media si presta per illustrare il senso della precedente affermazione. Si porta all'attenzione dei presenti l'esercizio tratto dal testo di fisica di Tipler:
Entrando in un'autostrada notate che un cartello indicatore segna 500 chilometri. La percorrete tutta, fino a cartello che indica 0 chilometri, in 6 ore. A questo punto, tornate indietro di 40 chilometri in 30 minuti. Qual è stata la velocità media dell'intero percorso?
Gli alunni in generale assumono una linea risolutiva abbastanza prevedibile: calcolano le velocità medie relative ai due tratti per concludere che il valore medio aritmetico di queste è la velocità media richiesta. È evidente l'errore: si contraddice la definizione di velocità media consistente nel rapporto tra lo spostamento totale, 540 chilometri, e il tempo occorrente, 6 ore e mezzo. Gli alunni hanno difficoltà nel discriminare il concetto di velocità media da quello di media aritmetica.
È sufficiente cambiare riferimento per ricondurre lo studente sullo stesso problema sotto altre spoglie. Si verifica l'importanza che riveste il contesto per raggiungere la soluzione. Il problema di prima può essere rivisitato con un esercizio come questo:
Un genitore guadagna 1500 ¤ in 20 giorni, l'altro 2000 ¤ in un mese. Qual è il guadagno mensile della coppia?
L'alunno si cala in una situazione concreta e carica di un vissuto reale o immaginabile, tanto che stavolta egli è capace di dirigere una corretta strategia risolutiva. In questo consiste il potente strumento mentale del transfert cognitivo.
Mettere in parallelo le situazioni dei due problemi è compito dell'insegnante, che farà rilevare l’isomorfismo strutturale che le accomuna. L'occasione non va certo perduta perché la classe deve essere intesa come un vero e proprio laboratorio, dove occorre usare oggetti e significati della vita quotidiana, per sviluppare il senso critico ed imparare ad estrarre strutture, relazioni, funzioni e rapporti numerici. La matematica può essere concepita come una palestra per il ragionamento dove sviluppare le capacità logiche. La relatrice passa al tema della continuità attraverso un noto problema, presentato nel 1974 all’Esposizione di Matematica degli allievi di Scuola Media di Emma Castelnuovo. Il problema consiste nel determinare a partire da un cartone quadrato una scatola di volume massimo.
Si ha un cartoncino di lato L. Si tagliano ai quattro vertici dei quadratini di lato x. Ripiegando le strisce mancanti dei quadratini si ottengono varie scatole. Le scatole avranno lo stesso volume? Esiste una scatola di volume massimo?

• La concezione del quadrato come modello della realtà, approssimazione di "figure" offerte dalla natura. Superata l'idea platonica di mondo degli enti matematici, restano tuttavia divergenti le concezioni filosofiche relative all’astrazione di un concetto: la natura è il deposito delle nostre idee, o invece la mente dalla percezione della realtà passa ad un suo schema, che proietta all'esterno?
  
• La sensibilità verso ciò che varia e ciò che non varia, da intendere come capacità di distinguere i ruoli di variabile e di costante all'interno di una situazione ricerca-problema.
  
• La percezione, prima, e la consapevolezza, poi, che i passi elementari della costruzione più volte ripetuta finiscono per suggerire precise relazioni e limiti di variabilità fra le quantità in gioco (p.e. la variabilità del lato del quadratino e quella, complementare, del lato relativo alla base della scatola, e ancora lo spazio di manovra per il lato del quadratino dal suo sparire fino all'eclissarsi della base della scatola) e che una quantità può assumere ruoli diversi (p.e. il lato del quadratino è anche l'altezza della scatola).
  In questa fase fluida si ritrovano tutti gli elementi in grado di favorire l'acquisizione corretta di concetti altrimenti astratti o quantomeno l'esperienza che saprà arricchire dei necessari significati concetti altrimenti astratti come variabile, parametro, costante, funzione.
  

Segue la fase indicata come contaminazione tra algebra e geometria.
La geometria come schematizzazione della realtà diventa la molla che porta all'uso dei numeri. Altri due modelli di rappresentazione si affacciano alla ribalta. Il primo è la tabella in cui si riportano i numeri variabili del lato del quadrato piccolo e del volume della scatola.



x	V
0	0
1	484
2	800
3	972
4	1024
5	980
6	864
7	700
8	512
9	324
10	160
11	44
12	0

Ancora una volta la percezione della quantità massima passa attraverso l'identificazione geometrica del segmento verticale più lungo. La fase di generalizzazione si realizza attraverso il linguaggio convenzionale dell'algebra. Abbandonando il modello concreto della scatola, la generalizzazione è preliminare alla formalizzazione che ne rappresenta la codifica.
Il linguaggio dell'algebra diventa fondamentale per sintetizzare e la formula che esprime il volume rappresenta un nuovo modello: V = (L - 2x) x, dove si possono evidenziare la forma polinomiale, il parametro L, la variabile x, la funzione V = f(x).
La geometria analitica fornisce un nuovo modello, in parte già introdotto per punti; dal valore intero di x a quello reale, dalla rappresentazione per punti al grafico continuo di una cubica nell’intervallo stabilito.




Generalizzare tuttavia non è dimostrare: quando si può affermare che il volume massimo si ottiene per il lato del quadrato piccolo uguale ad un sesto dello stesso?
È l'ultima fase, quella della certezza matematica. Con lo sviluppo del calcolo differenziale sarà possibile inquadrare il problema di massimo e ottenerne la soluzione generale: il lato del quadratino, x, è un sesto del lato, L, del cartone.

È possibile dunque pensare la continuità in senso verticale come approccio ad uno stesso problema con differenti strumenti; è un processo cognitivo didatticamente da concepire tutto insieme, che dalla fase iniziale, fluida, legata alla percezione giunge, attraverso attività operatorie, fino alla razionalizzazione, alla generalizzazione e infine all'esigenza di dimostrare. Un percorso che molto probabilmente è stato caratteristico dell'intera umanità.
La matematica è però una scienza deduttiva, anzi ipotetico-deduttiva, anzi assiomatico-deduttiva: si fissano alcuni concetti, che sono chiamati primitivi, si scelgono alcune affermazioni, i postulati o gli assiomi, si stabiliscono regole d'inferenza e si cerca di scoprire quanto si può ricavare da concetti primitivi e assiomi, applicando le regole d'inferenza in un linguaggio inequivocabile.
Rimane aperta, a livello didattico, la scelta tra assiomi e verità note. Ciò, tuttavia, non interferisce con l’imparare a dimostrare. Dimostrare significa, infatti, trovare una nuova proprietà a partire da proprietà "buone", in modo che si crei una "catena" deve rispondere al solo criterio che ogni affermazione deve essere rigorosa conseguenza (dimostrare non è argomentare, conoscere, spiegare, illustrare) delle precedenti (vere perché opportunamente scelte come tali o perché precedentemente dimostrate).
Da ciò può nascere la possibilità della "dimostrazione in piccolo", o addirittura l’opportunità della stessa in alcune tappe dell’età evolutiva.
Un esempio in merito suggerisce che cosa si deve intendere per dimostrare in piccolo o per dimostrazione locale.
Sia a una retta, P un punto esterno ad essa, H il piede della perpendicolare condotta da P ad a; siano, poi, R e Q due punti di a. Dimostrare che per HR > HQ si ha PR > PQ.




Hp: HR > HQ
Th: PR > P

Il ricorso al teorema di Pitagora con altre semplici considerazioni sulle disuguaglianze in gioco porta alla dimostrazione rapidamente. È importante, però, che la difficoltà sia contenuta in modo che il docente possa far apprezzare il lato logico deduttivo della questione e l'allievo potrà progressivamente emanciparsi da affermazioni legate all'evidenza di una data proprietà, che, a suo avviso, proprio perché "si vede" non abbisogna di alcuna dimostrazione.
La relatrice coglie l'occasione per osservare che il linguaggio in questo processo di affrancamento può costituire un grosso ostacolo per la maggior parte degli alunni e che, quindi, gli insegnanti dovrebbero affinare e predisporre opportune strategie didattiche. Il linguaggio deve essere sì inequivocabile, ma comprensibile alla maggior parte degli alunni, anche in una piccola dimostrazione. Diversi sono i modi di tradurre l’enunciato di un teorema dal linguaggio naturale a quello formale, o parzialmente formale; di essi andrebbe riconosciuta l’equivalenza.


P implica Q
C. N. affinché P è essere Q
C. S. per Q è P
P implica (con il segno caratteristico) Q


L'alunno trova difficoltà nel fatto di non riuscire a distinguere l'ipotesi dalla tesi in alcune proposizioni del linguaggio matematico (e non solo), forse proprio perché si è abituato al modello stereotipato di implicazione "se …, allora …".
Alla prof.ssa Sollevanti bastano alcuni esempi per rafforzare nei colleghi il convincimento di dover rispondere didatticamente alla domanda "come può un alunno riconoscere ciò che è dato da ciò che è da conseguire?".
• Una retta passante per O (0,0) ha equazione con termine noto nullo.
  
• Una retta passa per O (0,0) quando ha equazione con termine noto nullo.
  
• Un numero pari si scrive 2n, con n appartenente ad N.
  
• 2n, con n appartenente ad N, è un numero pari.
  
L'attenzione dei presenti è spostata sul fatto che, anche in forza del suo assetto assiomatico, la matematica è una scienza libera, perché libera è la scelta di concetti primitivi e di assiomi, fatta salva la loro coerenza, e perché in matematica non ha alcun valore il principio di autorità, dal momento che si accetta solo ciò che è dimostrato.
A conclusione del proprio intervento la relatrice sostiene, citando G. Papy, che nell’insegnamento "ciò che vogliamo è creare un uomo libero per la società del domani … Ciò che noi non vogliamo assolutamente è formare nella scuola lo schiavo della macchina, lo schiavo dei programmatori, della formalizzazione di ogni genere, persino della formalizzazione della matematica".

All'intervento della prof.ssa Sollevanti segue quello della prof.ssa Melissa Luciani che, laureata in fisica, insegna da quattro anni nella scuola media.
Il suo incipit è tratto dal Decreto Ministeriale del 9 febbraio 1979 relativo ai Programmi, orari di insegnamento e prove di esame per la scuola media statale:
Lo studio della geometria trarrà vantaggio da una presentazione non statica delle figure che ne renda evidenti le proprietà nell'atto del loro modificarsi; sarà anche opportuno utilizzare materiale e ricorrere al disegno. La geometria dello spazio non sarà limitata a considerazioni su singole figure, ma dovrà altresì educare alla visione spaziale. E' in questa concezione dinamica che va inteso anche il tema delle trasformazioni geometriche.
Per meglio sviluppare le potenzialità di ciascun alunno occorre seguire un percorso didattico capace di coinvolgere attivamente ciascun ragazzo. Ciò avverrà creando un ambiente di apprendimento nel quale dalla problematizzazione della realtà si giungerà all’astrazione e alla simbolizzazione di concetti e regole, alle operazioni formali, attraverso attività ludiche, senso-percettive, motorie, manipolatorie e grafiche.
È un metodo orientato a promuovere osservazioni, riflessioni ed ipotesi, a ricercare strategie, a mettere in rilievo procedimenti per analogia, a favorire il ricorso a ragionamenti plausibili e giustificazioni coerenti.
Grande importanza sarà data all’intuizione, al gusto della scoperta, all’imparare scoprendo.
Saranno favorite le attività di tipo manipolativo con materiali occasionali o strutturati.
Particolare cura sarà rivolta alla capacità di esprimersi oralmente in modo chiaro e comprensibile.
L’apprendimento della matematica non sarà ridotto all’acquisizione di nozioni e tecniche, ma porterà alla costruzione da parte degli allievi di strutture cognitive, concettuali e logiche che interagiscano e modifichino la loro esperienza.
Si cercherà di creare le condizioni più favorevoli ad un apprendimento significativo, assumendo quelle metodologie che portano l’allievo ad essere protagonista attivo del proprio processo d’apprendimento.
Nel corso del triennio della scuola media, le situazioni problematiche oggetto del processo di apprendimento/insegnamento saranno sempre più complesse ed astratte: in prima si imposterà il percorso didattico in modo da dare ampio spazio ad attività di manipolazione ed operatività, e da potenziare soprattutto le capacità induttive. In seconda e terza in modo progressivo, ma non esclusivo, nel percorso didattico si proporranno contesti per i quali i riferimenti estrinseci al reale possono perdere di significatività e nei quali diventa sempre più necessario mettere in atto ragionamenti di tipo deduttivo, a partire da conoscenze matematiche già acquisite.
Conoscere gli allievi è il primo passo da compiere per progettare la propria attività in classe, e questa sarà efficace solo se misurata sulle necessità (i bisogni formativi) e sulle capacità di ciascuno.
Prima di progettare un'unità di lavoro, si può svolgere anche con la pratica del brainstorming una discussione con gli alunni, per portare a galla le conoscenze già formate, le diverse convinzioni, i misconcetti sull’argomento specifico.
L’esigenza di introdurre ogni nuovo concetto sotto forma di problema in modo da fare riferimento ad una situazione di cui l'alunno abbia esperienza nasce dalla constatazione che tutti i ragazzi nella realtà quotidiana fanno uso, in modo spontaneo e corretto, di procedimenti e di strumenti propri della matematica, mentre molti di loro incontrano difficoltà in questa disciplina.
La geometria è presentata come un mondo nascosto che pervade in modo discreto molti aspetti della vita quotidiana. È da qui che nasce la necessità di conoscere la geometria per essere in grado di capire e di interpretare ciò che ci circonda.
Si sottolinea la natura quadridimensionale (spazio-tempo) della nostra esistenza e, rifacendoci a Flatland di E. Abbott, s’invitano gli alunni ad un viaggio/avventura dal mondo bidimensionale a quello tridimensionale, che durerà tutto il tempo della scuola media. In classe prima è ancora molto importante l’aspetto del gioco e dell’avventura, magari mediato da una storia/racconto che funge da filo conduttore e, di concerto con l’insegnante di lettere, si può realizzare un teatrino delle figure per rappresentare Flatland o altri racconti.
In questa fase del lavoro si cerca di ordinare e valorizzare quanto acquisito dai ragazzi nella scuola elementare, mentre l’approccio prevalente è quello della ricerca-azione.
Durante lo svolgimento dell’attività di lavoro, è importante far funzionare processi d'insegnamento-apprendimento nei quali l’alunno sia protagonista attivo. La discussione collettiva consente di problematizzare situazioni, giustificare o stabilire convenzioni, costruire o ricostruire significati, formulare ipotesi, scoprire somiglianze, differenze o regolarità, sistematizzare esperienze, sintetizzare informazioni.
In tutto questo l’insegnante ha il ruolo di attento ascoltatore, coordinatore degli interventi, "provocatore" di confronti e chiarimenti, in modo che ogni alunno si senta incoraggiato ad esplorare il mondo della matematica, a comunicare di matematica e in forma matematica.
È proprio il confronto con l'altro, il chiarimento delle proprie conoscenze e l'entusiasmo di condividere un sapere comune a indurre nell'alunno l’esigenza di un linguaggio verbale e simbolico privo di ambiguità, partecipato inizialmente solo nel gruppo classe. È più facile all'insegnante avvicinare nel seguito gli alunni al linguaggio rigoroso della matematica "codificata" e far sì che leggere e scrivere i simboli, i termini e le proposizioni della disciplina non sia di ostacolo all’apprendimento. In altri termini, gli allievi dovrebbero maturare una progressiva consapevolezza della specificità del linguaggio della matematica.
Per motivare maggiormente i giovani allo studio, è importante fare dei continui "riferimenti storici". Un approccio storico permette, infatti, di evidenziare come i progressi della matematica si sono ottenuti sotto due impulsi differenti. Il primo impulso ha una dimensione pratica e creativa perché è legato alla risoluzione di problemi contingenti, indotti da particolari avvenimenti storici, l'altro è determinato prevalentemente dai prodotti della speculazione teorica per il solo gusto di esercitare la mente umana; risultati teorici bizzarri e fantasiosi ma esteticamente e logicamente perfetti sono diventati spesso, in epoca successiva, la chiave di volta per risolvere problemi reali.
La dimensione storica è didatticamente suggestiva, permette di acuire la sensibilità degli alunni verso la ricerca e lo studio e riesce a rispondere in concreto a che cosa serve la matematica. Così alunni abituati a ricercare nella storia le origini delle idee matematiche, di fronte al concetto di angolo, chiedono e cercano quando è stato introdotto. La spiegazione, che rimanda all'osservazione del cielo e al calcolo delle distanze degli astri effettuate dagli egizi, risponde e, contemporaneamente, apre nuovi orizzonti.

L'insegnante riporta alcuni spunti di attività ed esempi, inefficaci se sono messi in pratica senza uno spirito di ricerca- azione e senza una reale condivisione tra insegnante e alunni.

• Per chiarire concetti e conoscenze, prima di passare ad una sistemazione più teorica, è consigliabile appoggiarsi a materiale manipolativo o, almeno, visivo e dunque comporre figure, scomporle e ricomporle (con l’uso di materiali poveri scelti dagli allievi, per esempio listelli di legno, spago, …, cartoncino, elastici, spaghetti di pasta, .... e con l’uso di software didattici come Logo e Cabri Géomètre) e fare varie congetture. È molto utile anche l’uso di carta centimetrata, isometrica, puntinata.
  
• Imparare ad osservare e classificare si ottiene presentando ai ragazzi una raccolta di figure piane di cartoncino colorato, cui assegnare un nome, in altre parole, in sostanza, si tratta di far fare classificazioni (triangoli, equilateri, fra i quadrilateri riconoscere i vari sottoinsiemi trapezi, parallelogrammi, ….).
  
• Uso di collaudate tecniche didattiche come "la telefonata" e "il cartellone", mediante cui si può osservare se un alunno è in grado di comunicare con il solo linguaggio verbale le operazioni che deve eseguire un compagno, per esempio, alla lavagna.
  
• Nella classe terza gli studenti affrontano situazioni gradualmente più complesse ed astratte, per le quali non sempre possono ricorrere a modelli materiali mentre debbono appellarsi a giustificazioni tratte da ragioni interne alla matematica. Situazioni e attività di questo tipo portano gli alunni a "sperimentare" in modo non episodico la specificità del sapere matematico e benché sia ancora presto per affrontare il metodo assiomatico deduttivo, si possono tuttavia già fare alcune osservazioni, quali: rilevare la differenza tra verifica e dimostrazione, tra esempio e contro esempio, tra descrizione di un concetto e la sua definizione e infine distinguere tra condizioni necessarie e sufficienti.
  
• Uso ragionato del tan-gram sia fisico, manipolativo sia come videogioco in rete.
  
• I rapporti di similitudine e l’arte islamica.
  
• I poliedri e le figure solide nella natura: la mineralogia e i cristalli.
  

Finita la relazione della prof.ssa Luciani, si avvia un'ampia discussione tra i presenti nella quale sono richiamati più volte i punti di forza dei due interventi, che a diversi livelli tracciano la stessa pista didattica. Si è sempre più convinti dell'esigenza di mantenere vivo l'incontro tra insegnanti: in questo modo si evita il pericolo di restare isolati e di non confrontare le difficoltà d'insegnamento alla luce di sempre nuove emergenze. In questo senso, l'ipotesi di una rete di scuole in assistenza reciproca sia via Internet sia con momenti di presenza dal vivo è molto sentita.
Gli insegnanti restituiscono la scheda sulla valutazione e si danno appuntamento per il Corso di aggiornamento del prossimo anno.