CAPITULO 2.

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MATRICES PARTICIONADAS. MATRICES ELEMENTALES. DESCOMPOSICION LU.

OBJETIVOS:

Al terminar este capítulo el estudiante estará en capacidad de:

1. Aplicar el concepto de matriz particionada para reducir un problema en varios problemas, relacionados, de menor dimensión.

2. Descomponer una matriz A en un producto LU o P^TLU, donde P es una matriz de permutación.

PARTICION DE UNA MATRIZ. OPERACIONES ENTRE MATRICES

PARTICIONADAS.

DEFINICION: Dada una matriz A de dimensión mxn, se dice que la matriz C es una SUBMATRIZ de A si C se puede obtener de A al suprimir (en A) algunas filas y (o) columnas. Se considera que A es una submatriz de A.

(7.2) EJEMPLO: Si en

1 2 3 4

A = 5 6 7 8

1 1 1 1

eliminamos la segunda columna, obtenemos la submatriz

1 3 4

C₁ = 5 7 8

1 1 1

Otras submatrices son:

1 2 4

C₂ =

5 6 8

(obtenida de A al eliminar la tercera fila y la tercera columna)

C₃ = ( 1 3 4 )

(obtenida de A al eliminar las filas segunda y tercera y la segunda columna).

Podemos considerar a la matriz A

1 5 9 7 6

2 6 0 9 8

A =

3 7 3 2 0

4 8 5 4 1

PARTICIONADA por bloques como

1 5 9 l 7 6

2 6 0 l 9 8

A =

3 7 3 l 2 0

------------------------l--------------- 4 8 5 l 4 1

O sea que

A₁₁ A₁₂

A =

A₂₁ A₂₂

En donde

1 5 9 7 6

A₁₁ = 2 6 0 , A₁₂ = 9 8 , A₂₁ = ( 4 8 5 ) ,

3 7 3 2 0

A₂₂ = ( 4 1 )

Son submatrices de A

Si 3 -1 4 l 4 2

1 2 3 l -3 5

B = l

6 -2 -5 l 1 4

------------------------l------------------

-3 1 2 l 1 2

es decir, la matriz B ha sido particionada como

B₁₁ B₁₂

B =

B₂₁ B₂₂

Entonces

A₁₁ + B₁₁A₁₂ + B₁₂

(7.3) A+B =

A₂₁ + B₂₁ A₂₂ + B₂₂

En consecuencia :

Si las matrices A y B han sido particionadas como

A₁₁ A₁₂. . .A_1n

(7.4) A = A₂₁ A₂₂. . .A_2n

A_m1 A_m2. . .A_mn

B₁₁ B₁₂. . .B_1n

(7.5) B = B₂₁ B₂₂. . .B_2n

B_m1 B_m2. . .B_mn

En donde cada suma de matrices

A_{i j} + B_i
j

Está definida, podemos afirmar que

A₁₁ + B₁₁ A₁₂ + B₁₂ . . . + A_1n + B_1n

(7.6) A+B = A₂₁ + B₂₁ A₂₂ + B₂₂ . . . + A_2n + B_2n . . . . . .

. . . .

A_m1 + B_m1 A_m2 + B_m2 . . .+ A_mn + B_mn

Las matrices de 7.4 y 7.5 como matrices particionadas son de dimensión mxn.

Diremos que la DIMENSION PARTICIONADA de A y B es mxn.

La dimensión de las matrices A y B de 7.4 y 7.5 es mayor que mxn a no ser que las submatrices A_{i j} sean de orden 1 (es decir a no ser que las matrices esten PARTICIONADAS EN SUS ELEMENTOS).

En 7.6 hemos expresado en símbolos el siguiente teorema:

TEOREMA : Dos matrices de igual dimensión particionadas se pueden sumar (restar) como si las submatrices fuesen elementos ordinarios, siempre y cuando las matrices estén particionadas de tal manera que sea posible efectuar las adiciones (sustracciones) de las submatrices.

Si la matriz A está particionada como

1 2 l 5

A = 3 4 l 6

--------------l-----

7 8 l 9

O sea

A₁₁ A₁₂

(7.8) A =

A₂₁ A₂₂

Puede verificarse que para todo número real l ,

l 2l 5l l A₁₁ l A₁₂

(7.9) A = 3l 4l 6l =

7l 8l 9l l A₂₁ l A₂₂

La igualdad (7.9) es un caso particular del siguiente teorema:

(7.10). TEOREMA: Si la matriz A está particionada como

A₁₁ A₁₂. . .A_1n

A = A₂₁ A₂₂. . .A_2n

A_m1 A_m2. . .A_mn

entonces, para todo número real l

y l A₁₁ l A₁₂. . . l A_1n

l A = l A₂₁ l A₂₂. . . l A_2n

. . .

l A_m1 l A_m2. . . l A_mn

Además de los teoremas 7.7 y 7.10, el siguiente teorema es válido para el caso de matrices particionadas.

(7.11) Si las matrices

A₁₁ A₁₂. . .A_1n

A = A₂₁ A₂₂. . .A_2n

A_m1 A_m2. . .A_mn

y B₁₁ B₁₂. . .B_1n

B = B₂₁ B₂₂. . .B_2n

. . .

B_n1 B_n2. . .B_nn

Son de matrices de dimensiones particionadas mxn y nxk respectivamente y el producto AB está definido entonces:

C₁₁ C₁₂ . . . C_1k

AB = C₂₁ C₂₂ . . . C_2k

. . . .

C_m1 C_m2 . . . C_mk

En donde cada submatriz Cij se puede calcular como

(7.12) C_{i j} = A_i1 B_1j + A_i2 B_2j +... + A_in B_nj

siempre y cuando todos los productos y sumas de 7.12 están definidos.

En consecuencia el producto de matrices con las condiciones exigidas por el teorema 7.11 se puede efectuar entre matrices particionadas siguiendo la regla usual de su multiplicación y considerando a las submatrices como elementos.

(7.13) EJEMPLO: Sea

B₁₁ B₁₂

A₁₁ A₁₂ A₁₃

A = Y B = B₂₁ B₂₂ A₂₁ A₂₂ A₂₃

B₃₁ B₃₂

Si todos lo productos están definidos

A₁₁ B₁₁ + A₁₂ B₂₁ + A₁₃ B₃₁ A₁₁ B₁₂ + A₁₂ B₂₂ + A₁₃ B₃₂

(7.14) AB=

A₂₁ B₁₁ + A₂₂ B₂₁ + A₂₃ B₃₁ A₂₁ B₁₂ + A₂₂ B₂₂ + A₂₃ B₃₂

Nótese que la dimensión particionada de A es 2x3, la de B es 3x2 y en consecuencia la de AB es de 2x2 como se puede constatar en 7.14.

(7.15) EJEMPLO: Sean

2 l 0 0 l 4 -1 7

l l

(7.16) A = 1 l 0 0 l -2 0 3 -----l-----------------l-------------------------

1 l 1 -1 l 0 0 0

-1 4

-----------

2 1

-1 1

(7.17) B = -----------

5 3

1 2

0 -1

Matrices particionadas como lo señalan las líneas punteadas en 7.16 y 7.17.

Entonces, como las dimensiones de A y B son 3x6 y 6x2, respectivamente, el producto AB está definido y es de dimensión 3x2.

Se puede verificar directamente que:

17 11

(7.18) AB = -11 -5

2 4

Como las dimensiones particionadas de A y B son 2x3 y 3x1 respectivamente y todos los productos y sumas necesarios de submatrices están definidos entonces

2 0 0 2 1 4 -1 7 5 3

-1 4 + + 1 2

1 0 0 -1 1 -2 0 3 0 -1

(7.19)

AB =

2 1 5 3

( -1 4 )+ ( 1 -1 ) + ( 0 0 0 ) 1 2

-1 1 0 -1

Efectuando los productos de submatrices en 7.19 tenemos que

-2 8 19 3

(7.20) AB = -1 4 -10 -9

-1 4 + 3 0

17 11

= -11 -5

-----------------

2 4

El cual es el resultado consignado previamente en 7.18.

(7.21) EJEMPLO: Las matrices

1 0 1 1 l 1

A = ----------- Y B = l

2 1 -1 2 l 1

Particionadas como se indica por las líneas punteadas, tienen dimensiones particionadas 2x1 y 1x2 respectivamente, por lo tanto el producto particionado se puede efectuar siempre las sumas y productos de las submatrices estén definidos.

Puede verificarse que

1 1 1

(1 0) (1 0)

-1 2 1

AB =

1 1 1

(2 1) (2 1)

-1 2 1

1 1 | 1 1 1 1

= --------------|------ =

1 4 | 3 1 4 3

Efectuando directamente el producto vemos que

1 0 1 1 1 1 1 1 AB = =

2 1 -1 2 1 1 4 3

Conocer los resultados sobre matrices particionadas de esta sección es de utilidad tanto teórica como práctica como lo muestra los dos ejemplos siguientes:

(7.22) EJEMPLO: Suponga que una matriz T ha sido particionada como

A B

(7.23) T =

0 C

En donde A y C son matrices cuadradas de orden l y m respectivamente (B será por lo tanto de dimensión l + m).

Si A y C son no singulares entonces T es no singular ya que se puede probar que

A^-
1 -A^{- 1} BC ^{- 1}

(7.24) T^{- 1} =

0 C^{- 1},

Puesto que

A B A^-
1 -A^{- 1} BC^{- 1}

0 C 0 C^-1

AA^{- 1}> + B.0 -AA^-1 BC^-1 + BC^-1

0.A^{- 1}> + C.0 0.(-A^-1 BC^-1) + CC^-1

I 0

= I

0 I

(7.25) EJEMPLO: Si deseamos hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada

T que se puede particionar como en 7.23, en donde las matrices A y C son matrices cuadradas no singulares, procederíamos tal como mostraremos a continuación. .

Sea por ejemplo:

1 2 l 5 A B

T = 3 4 l 7 =

--------------l------

0 0 l 8 0 C

Las matrices A y C son de orden 2 y 1 respectivamente. A es no singular ya que:

-2 1

A^-1 =

3/2 -1/2

(Verifique que AA^-1= I )

Como C = ( 8 ) , entonces C es no singular ya que

C^-1 = ( 1/8 )

Como

2 -1 5

-A^-1 BC^-1 = (1/8)

-3/2 1/2 7

3/8

-1/2 ,

Concluimos a partir de 7.24 que

-2 1 l 3/8

T^-1 = 3/2 -1/2 l -1/2

----------------l-------

0 0 l 1/8

Puede verificarse por multiplicación directa que

T T^-1 = I

(7.26). EJERCICIOS:

1). Dadas

4 3 l -2 1 4

A = l

2 -5 l 6 3 -1 ,

0 -1 l 3

2 1 I 6

----------------l------- B = 5 2 l 1

-3 4 I -1

2 -1 l 2 ,

Efectúe AB.

a) Multiplicando sin utilizar las particiones indicadas .

b) Utilizar las particiones.

2) Muestre que si A es la matriz particionada

A₁₁ A₁₂ A^T₁₁ A^T₂₁

A = , entonces A^T =

A₂₁ A₂₂ A^T₁₂A^T₂₂

3) Muestre que si A₁ , A₂ y A₃ son matrices no singulares, entonces

A₁ 0 0 -1 A^-1 0 0

0 A₂ 0 = 0 A₂^-1 0

0 0 A₃ 0 0 A₃^-1

Halle la matriz inversa de la matriz, utilizando la partición sugerida.

1 2 l 0 0

3 1 l 0 0

--------------l--------------

0 0 l 4 5

0 0 l 6 2

4) Una matriz cuadrada T es TRIANGULAR SUPERIORMENTE si

t₁₁ t₁₂ t₁₃ . . . t_1n

0 t₂₂ t₂₃ . . ,t_2n

0 0 t₃₃ . . . t_3n

. . . . .

0 0 0 . . . t_nn

Es decir, si tij = 0 para i > j.

Sea T una matriz cuadrada triangular superiormente

i) Si T es no singular. entonces t_ii ¹ 0 (i = 1,2....n) y además T^-1 es una matriz triangular superiormente.

ii) Demuestre que si t_{i i} ¹ 0 (i = 1,2,....n), entonces T es no singular.

******************************

(Ayuda: Si T es no singular existe una matriz

X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₁₄ . . .X_1n

X₂₁ X₂₂ X₂₃ X₂₄ . . .X_2n

X₃₁ X₃₂ X₃₃ X₃₄ . . .X_3n

X =

X₄₁ X₄₂ X₄₃ X₄₄ . . .X_4n

. . . . .

X_n1 X_n2 X_n3 X_n4 . . .X_nn

Tal que

(1) TX = I

A partir de (1) muestre que

t_nn x_nn = 1 Y en consecuencia que t_nn ¹ 0

Además que

t_nn x_{n , n - 1} = 0

_tnnx_n, _{n - 2} = 0

t_nnx_{n 1} = 0

y concluya que

x_{n , n -
1} = x_{n , n - 2}=. . .= x_{n 1} = 0

es decir

X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₁₄ . . .X_1n

X₂₁ X₂₂ X₂₃ X₂₄ . . .X_2n

X₃₁ X₃₂ X₃₃ X₃₄ . . .X_3n

X =

X₄₁ X₄₂ X₄₃ X₄₄ . . .X_4n

. . . . .

0 0 0 0 X_nn

Utilizando argumentos similares pruebe ahora que

t_{n
- 1 , n - 1}¹ 0

x_{n - 1 ,
n - 2} = x_{n - 1 , n - 3} = . . . = x_{n - 1 , 1} = 0

Continuando de éste modo concluiría i).

5) teniendo como base el ejemplo 7.22 y el hecho que toda matriz triangular de orden n se puede expresar en la forma

T_{n - 1} B_{n - 1}

T =

0 t_nn

En donde T_{n - 1} es una matriz triangular de orden n – 1,

t_1n

t_2n

y B _n-1 = . , demuestre que

t_{n
- 1 , n}

i) T es no singular si y sólo si T_{n - 1} es no singular y t_nn ¹ 0

ii) Si T es no singular

T^-1_{n
- 1} -T^{n - 1}_{n
- 1}B_{n - 1} t_nn^-1

T^-1 =

0 t _nn^-1

iii) Nótese que T^-1_{n - 1} en la matriz anterior es una matriz triangular de orden

n – 1 y a su vez

T ^-1_{n
- 2} -T ^-1_{n
- 2}> B_{n - 2} t ^-1_{n
- 1} , _{n - 1}

T^-1_{n
- 1}> =

0 T^-1_{n
- 1} , _{n - 1}

En donde

t_{1
, n - 1}

t_{1 , n - 1}

B_{n
- 2}> = .

t_{n - 2, n - 1}

Por lo tanto la fórmula de recurrencia

( * ) T^-1₁ = t^-1₁₁

. T ^-1_k -T ^-1_kB_k t ^-1_{k + 1 , k + 1}

T^-1_{k
+ 1} =

0 t^-1_{k + 1 , k + 1}

con

t_{1 , k + 1}

t_{2 , k + 1} .

B_k = .

t_{k , k + 1}

es tal que T^-1_n= T^-1

6) i) Utilizando la fórmula de recurrencia ( * ) del problema 5 calcule T^-1

para

1 -1 2 1

0 2 1 0

T =

0 0 3 0

0 0 0 1

ii) Utilizando la partición

1 -1 l 2 1

0 2 l 1 0

T = --------------l--------------

0 0 l 3 0

0 0 l 0 1

y siguiendo los ejemplos 7.22 y 7.25 calcule T ^-1 de nuevo

calculando primero

1 -1 ^-1 3 0 ^-1

0 2 0 1

7. Demuestre que dada la matriz

A B

T =

0 C

Donde A y C son matrices cuadradas no singulares, entonces:

A ^-1 - A ^-1B C ^-1

T ^-1 =

0 C ^-1

Y si

A 0

T =

B C

y A y C son matrices cuadradas no singulares, entonces:

A ^-1 0

T ^-1 =

- A ^-1B C ^-1 C ^-1

8. Utilizando los resultados del problema 7, halle las matrices inversas de las siguientes matrices:

1 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 0 0

0 2 0 1 0 3 1 3 0 0 0 0 1 0

0 0 -1/2 0 1 4 0 0 2 0 0 -1 0 1 0 0 0 4 2

0 0 0 1 1

k 0 0 0 0 k₁1 0 1 0 1 0

1 k 0 0 k₂ 0 0 2 0 1 0 0

0 1 k k₃ 0 0 0 0 1 0 0 1

9. Suponga que una matriz cuadrada P ha sido particionada como

I 0

P = en donde I es la matriz idéntica.

C B

Demuestre que:

I 0

P² =

C + BC B²

10. Suponga que una matriz no singular ha sido particionada como:

0 P

A = en donde P y Q son matrices

Q I cuadradas del mismo orden.

Demuestre que en este caso P y Q son matrices no singulares y que:

- (PQ) ^–1Q^–1

A^–1 =

P^–10

10. Halle la matriz inversa de las siguientes matrices:

1 1 1 1 1 0 0 0

0 2 1 2 1 2 0 0

0 0 1 3 1 1 1 0

0 0 0 1 1 2 3 1

1.8 PREMULTIPLICACION POR MATRICES ELEMENTALES

Sea

1 2 3

(8.1) A = 4 5 2

7 8 1

1 0 0

(8.2) e₁ = 0 , e₂ = 1 , e₃ = 0

0 0 1

Entonces

1 2 3

(8.3) e₁^TA = 1 0 0 4 5 2 = 1 2 3 ,

7 8 1

1 2 3

(8.4) e₂^TA = 0 1 0 4 5 2 = 4 5 2 ,

7 8 1

1 2 3

(8.5) e₃^TA = 0 0 1 4 5 2 = 7 8 1 ,

7 8 1

Las ecuaciones 8.3 , 8.4 y 8.5 nos inducen a presentar el siguiente teorema:

(8.6) TEOREMA: Sean

A = a_i
j _mxn y e_i = .

1 i - ésima componente

un vector con m COMPONENTES las cuales son todas iguales a 0 excepto la i-ésima que es 1.

Entonces

(8.7) e^T_iA = i-ésima fila de A

DEMOSTRACION: Si particionamos a e^T_i en sus elementos y a A por filas así:

A₁

A₂

(8.8) A = .

A_i

A_m

en donde

A_i= i-ésima fila de A, ( i = 1,2,....,m)

el producto de las matrices particionadas

(8.09) e^T_i= 0 0...1 0 0

i-ésima columna

y A, cuyas dimensiones particionadas son lxm y mxl respectivamente está definido.

Entonces A₁

A₂

(8.10) e^T_i A = 0. . . 1 . . . 0 .

i-ésima columna A_i

A_m

= 0.A₁+ 0.A₂+....+ 1.A_i+...+0.A_m

= A_i= i-ésima fila de A.

sea

1 0 . . . 0 . . . 0 e^T₁

0 1 . . . 0 . . . 0 e^T₂

(8.11) I = . . . . = .

0 0 1 . . . 0 .

. . . . e^T_i

0 0 0 1 .

e^T_m

la matriz idéntica de orden m.

Si A es una matriz de dimensión mxn entonces

(8.12) IA = A ,

ya que particionando a I por filas como

e^T₁

e^T₂

(8.13) I = .

e^T_i

e^T_m

y PARTICIONANDO a A en si misma, obtenemos :

e^T₁e^T₁A

e^T₂e^T₂ A

. .

(8.14) I A = . A = . e^T_ie^T_iA

. .

e^T_m e^T_m A

1ª fila de A

2ª fila de A

= . = A

i-ésima fila de A

m-ésima fila de A

1) Qué sucede en 8.13 y 8.14 si intercambiamos en I la p-ésima fila con la q-ésima creando una nueva MATRIZ ELEMENTAL que denotaremos por E_pq?.

El análogo de 8.13 sería

e^T₁

(8.15) E_pq = e^T_q ---------p-ésima fila

e^T_p---------q-ésima fila

. .

e^T_m

y el de 8.14

e^T₁e^T₁A . .

. .

(8.16) E_pq A = e^T_qA = e^T_qA ------p-ésima fila

. .

e^T_pe^T_PA------q-ésima fila

. . .

. .

e^T_me^T_mA

1ª fila de A

2ª fila de A

q-ésima fila de A -----p-ésima fila

p-ésima fila de A -----q-ésima fila

m-ésima fila de A

La matriz de 8.16, a diferencia de la de 8.14, es A una matriz que se obtiene de A al intercambiar (en A) la p-ésima fila con la q-ésima.

2) Qué sucede en 8.13 y 8.14 si multiplicamos la p-ésima fila de I por un número real c ¹ 0 creando una nueva MATRIZ ELEMENTAL que denotaremos por E_{( c ) p} ?

El análogo de 8.13 sería:

e^T₁

. .

e^T₂

(8.17) E_{( c )
p} = . . .

ce^T_p---------p-ésima fila

e^T_m

y el de 8.14:

e^T₁e^T₁A . .

. .

e^T₂ e^T₂A

. .

(8.18) E_{( c ) p} A = . A = .

ce^T_pce^T_PA----p-ésima fila

. . .

. .

e^T_me^T_mA

1ª fila de A

2ª fila de A

c_x (p-ésima fila de A ) --------p-ésima fila

m-ésima fila de A

La matriz de 8.18 a diferencia de la de 8.14, no es A sino una matriz que se obtiene de A al multiplicar su p-ésima fila por c.

3) Qué sucede en 8.13 y 8.14 si a la p-ésima fila de A le sumamos la q-ésima fila multiplicada por un número c, creando una nueva MATRIZ ELEMENTAL que denotaremos por E_{p + ( c ) q.} Asumiremos siempre que p es diferente de q.

El análogo de 8.13 sería:

e^T₁

. .

e^T₂

(8.19) E_{( c )
p} = . . .

e^T_p + ce^T_q---------p-ésima fila,

e^T_m

y el de 8.14

e^T₁e^T₁A . .

. .

e^T₂ e^T₂A

. .

(8.20) E_{( c ) p} A = . A = .

e^T_p + ce^T_q(e^T_p+ce^T_q)A----p-ésima

. . . fila

. .

e^T_me^T_mA

e^T₁A --------- 1ª fila de A

e^T₂A --------- 2ª fila de A

. .

= e^T_pA+ce^T_qA_{---------------}p-ésima fila de A +

. c x q-ésima fila de A

. .

e^T_mA .

--------- m-ésima fila de A

La matriz de 8.20, a diferencia de la de 8.14, no es A sino una matriz que se obtiene de A sumando a su p-ésima fila la q-ésima multiplicada por c.

Los numerales 1,2 y 3 contiene las pruebas del siguiente teorema:

(8.21). TEOREMA: Si premultiplicamos a una matriz A por una de las

matrices elementales descritas en 1,2 y 3, el resultado es una matriz que se puede obtener a partir de A efectuando (sobre A) los mismos cambios por los cuales se obtiene la matriz elemental a partir de la matriz idéntica.

(8.22) EJEMPLO: La matriz

1 0 0 0

-3 1 0 0

(8.23) E_{2
+ ( - 3 ) 1} =

0 0 1 0

0 0 0 1 ,

se obtiene a partir de la idéntica al sumar a la segunda fila la primera multiplicada por -3.

De acuerdo con el teorema 8.21 si

1 2 1 1

(8.24) A = 5 6 7 8

4 3 2 1

0 1 2 3 ,

entonces la matriz E_{2 + ( - 3 ) 1}A se puede obtener directamente de A sumándole a la segunda fila ( de A ) la primera multiplicada por -3.

Luego

1 2 1 1

2 0 4 5

(8.25) E_{2
+ ( - 3 ) 1}A =

4 3 2 1

0 1 2 3 ,

puede verificarse la validez de 8.25 por multiplicación directa.

NOTA: A la matriz E_{p + ( - c ) q} la denotaremos por E_p- _{(
C ) q} puesto que se obtiene de I al restarle a la p-ésima fila la q-ésima multiplicada por c, como se puede verificar en el ejemplo 8.22.

(8.26) TEOREMA: Las matrices elementales definidas en l, 2 y 3 son no singulares. Además :

(8.27) i) (E_pq ) ^-1 = E_pq ,

ii) (E_{( c ) p} ) ^-1 = ( E_{( 1/c ) p}), c ¹ 0, c E R

iii) (E_{p + ( c ) q} ) ^-1 = ( E_{p - ( c ) q}) c ¹ 0, c E R

DEMOSTRACION: La prueba de i) se reduce a demostrar que

(8.28) (E_{p q} ) ( E_{p q}) = I

La matriz E_p
qde 8.28 se ha obtenido de I al intercambiar la p-ésima fila con la q-ésima. La premultiplicación por E_{p q} intercambia de nuevo estas filas obteniéndose por lo tanto la matriz idéntica.

La prueba para ii) y iii) es similar a la anterior.

(8.29). EJEMPLO: Sea

1 2 3 1

(8.30) A = 4 5 1 2

6 2 1 3

Halle una matriz elemental E tal que EA tenga un 0 en la segunda fila primera columna.

SOLUCION: Para obtener un 0 en tal posición es suficiente restarle a la segunda fila de A la primera fila multiplicada por 4.

La matriz elemental

1 0 0

(8.31) E_{2
- ( 4 ) 1} = -4 1 0

0 0 1 ,

es tal que

1 2 3 1

(8.32) E_{2
- ( 4 ) 1} A = 0 -3 -11 -2

6 2 1 3

El 0 podría obtenerse también a partir de 8.30, al restarle a la segunda fila la 3ª multiplicada por -4 / 6. Así :

1 0 0

(8.33) E_{2
- ( 4 / 6> ) 3} = 0 1 -4/6

0 0 1

es tal que

1 2 3 1

(8.34) E_{2
- ( 4 / 6> ) 3} A = 0 11/3 1/3 0

6 2 1 3

(8.35). EJEMPLO: Sea A la matriz de 8.30, hallemos dos matrices elementales E₁ y E₂de tal modo que todos los elementos de la primera columna excepto el primero (de arriba hacia abajo) de la matriz E₂ E₁A sean iguales a cero.

Tómese, de acuerdo a 8.32, a

(8.36) E₁= E_{2 - ( 4 ) 1}

por lo tanto,

1 2 3 1

(8.37) E₁A = 0 -3 -11 -2

6 2 1 3

como lo habíamos calculado en 8.32.

Si tomamos

(8.38) E₂ = E_{3 - ( 6 ) 1},

tendremos que

1 2 3 1

(8.39) E₂E₁A = 0 -3 -11 -2

0 -10 -17 -3

(8.40). EJEMPLO: Sea A la matriz de 8.30. Halle matrices elementales E₁,E₂,E₃ tales que

1 2 3 1

(8.41) E₃E₂E₁A = 0 -3 -11 -2

0 0 x y

SOLUCION: A partir de 8.39 podemos lograr el 0 deseado en la tercera fila segunda columna tomando.

(8.42) E₃=E_{3 - ( 10 / 3 ) 2}

En este caso

1 2 3 1

(8.43) E₃E₂E₁A = 0 -3 -11 -2

0 0 59/3 11/3

(8.44) DEFINICION: Una matriz A = ( a _{i j})_mxn tal que a _{i j} = 0 si i > j se denomina TRAPEZOIDAL SUPERIORMENTE.

Si A es una matriz cuadrada con tal característica, se denomina TRIANGULAR SUPERIORMENTE.

La matriz de 8.43 es trapezoidal superiormente.

La matriz

1 2 -3 1

0 2 0 1

(8.45)

0 0 3 5

0 0 0 0

por ser una matriz cuadrada se denomina como triangular superiormente.

(8.46). EJEMPLO: Sea A la matriz de los ejemplos 8.29, 8.35 y 8.40, exprese a A como un producto

(8.47) A = E’_{1 .}E’_{2 .}E`_3
.U

en donte U es la matriz trapezoidal superiormente ( U de Upper ) que aparece al lado derecho de 8.43 y las matrices E_ison matrices elementales.

SOLUCION: A partir de 8.43 y dado que las matrices elementales E_{1 ,}E₂y E₃ son no singulares, concluimos que:

(8.48) (E₃E₂E₁)^-1(E₃E₂E₁) A = (E₃E₂E₁)^-1U

De acuerdo con 8.36, 8.38 y 8.42, y aplicando el teorema 8.26, concluimos que:

(8.50) A = E_{2 + ( 4 ) 1}E_{3 + ( 6 ) 1}E_{3 + ( 10/ 3 ) 2} U

(8.51) EJERCICIO: Para cada una de las matrices A siguientes, halle matrices elementales ( de los tipos definidos en 1, 2 y 3) tales que

E_kE_{k - 1}. . . E₂ E₁A = U

sea una matriz trapezoidal superiormente.

En cada caso proceda así:

i) Siguiendo el modelo de 8.43, describa la ecuación

E_kE_{k - 1}. . . E₂ E₁A = U,

y especifique muy claramente cuales son las matrices E_i tal como se hizo en 8.36, 8.38 y 8.42 y cuál es la forma trapezoidal U.

ii) Exprese a la matriz A como un producto

A = E₁ E₂. . .E_kU

en donde las E_ison matrices elementales y T es la matriz trapezoidal superiormente obtenida en i). Siga el ejemplo 8.46

1 2 3 -1 2 1 3

a) -1 0 -3 b) 1 1 1 1

0 1 2 , 2 3 1 3

1 2 3 1 2 3 4

2 -1 -2 d) 1 2 4 5

0 1 2 3

e) 4 3 4

3 1 1 ,

1 2 3

f) 2 4 6

3 6 9

Descomposicion LU

A partir de la matriz

1 2 3 1

4 5 1 2

A =

6 2 1 3

hemos obtenido por transformaciones elementales la nueva matriz trapezoidal superiormente.

1 2 3 1

U = 0 -3 -11 -2

0 0 59/3 11/3

( La letra U, se asocia con la palabra inglesa UPPER ).

La relación entre A y U, siguiendo la secuencia de transformaciones elementales

es:

E_{3 - ( 10/ 3 ) 2}E_{3 - ( 6 ) 1}E_{2 - ( 4 ) 1} A = U

Luego

A = ( E_{3 - ( 10/3 ) 2
.}E_{3 - ( 6 ) 1 .}E_{2 - ( 4 ) 1} ) ^-1U

por lo tanto

A = ( E_{2 - ( 4 ) 1}^-1_.E_{3 - ( 6 ) 1}^-1_.E_{3 - ( 10/ 3 ) 2}^-1 U

De donde

A = E_{2
+ ( 4 ) 1}_.E_{3 + ( 6 ) 1
.}E_{3 + ( 10/ 3 ) 2} U

que es similar a la expresión (8.50).

Desarrollemos el producto

E_{2 + ( 4 ) 1}_.E_{3 + ( 6 ) 1
.}E_{3 + ( 10/ 3 )
2} =

1 0 0

E_{2 +( 4 ) 1}_.E_{3 + ( 6 ) 1}0 1 0 =

0 10/3 1

1 0 0

E_{2 +( 4 ) 1} 0 1 0 =

0 6/3 1

1 0 0

4 1 0

6 10/3 1

De donde:

1 2 3 1 1 0 0 1 2 3 1

A = 4 5 1 2 = 4 1 0 0 -3 -11 -2

6 2 1 3 6 10/3 1 0 0 59/3 11/3

= LU

La matriz L ( de lower ) es una matriz TRIANGULAR INFERIORMENTE ( ya que L_{i j} = 0 para todo i > j ) y como L es un producto de matrices elementales, además es no singular . ( posee inversa ).

Esta descomposición de una matriz A en un producto LU se puede lograr siempre que las operaciones elementales no involucren cambio de filas y que además todas las operaciones elementales involucrando matrices de tipo E_{p + ( c ) q}, c ¹ 0, cumplan la condición q< p o sea que para obtener ceros hacia abajo se utilicen las filas superiores.

Estudiemos el caso en más detalle:

a₁₁ a₁₂a₁₃ a₁₄

si A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄

a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄

y a₁₁¹ 0 , podremos obtener la matriz.

a₁₁a₁₂ a₁₃ a₁₄

                        A^{(
1 )}     =          0          a^{( 1 )}₂₂            a^{(
1 )}₂₃            a^{( 1 )}₂₄

0 a^{( 1 )}₃₂ a^{(
1 )}₃₃ a^{( 1 )}₃₄

utilizando las matrices elementales ( transformación elemental )

E₂ - (_a21 / _a11) ₁ y luego E₃ - (_a31 / _a11) ₁ o sea el producto

E₃ - (_a31 / _a11) ₁ . E₂ - (_a21 / _a11) (₁ )

Las matrices de la forma E_{p +} _{( c ) q} son triangulares inferiores (con ceros en la parte superior ) siempre que p > q .

En el segundo gran paso al obtener la matriz.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄

                        A^{(
2 )}     =          0                     a^{(
1 )}₂₂            a^{( 1 )}₂₃            a^{(
1 )}₂₄

0 0 a^{( 2 )}₃₃ a^{(
2 )}₃₄

debemos contar con que a^{( 1 )}₂₂ ¹ 0 . Ya no se puede utilizar la primera fila para lograr el 0 en la posición a^{( 2 )}₃₂ puesto que perderíamos la tan buscada matriz U triangular superiormente. ( introduciríamos elementos diferentes de cero en la posición a^{( 2 )}₃₁ ).

Si a^{( 1 )}₂₂ = 0 y a^{( 2 )}₃₂ ¹ 0, podríamos intercambiar la segunda y tercera filas para continuar el proceso.

1 0 0

Esto equivaldría a premultiplicar a A^{( 2 )}por E₂₃= 0 0 1

0 1 0

Si fuera forzoso intercambiar las filas p y q en algún paso, podemos llevar aparte la cuenta de las matrices E_pqinvolucradas.

De esta manera lograríamos al final que

PA = LU en donde la matriz

P es un producto de matrices elementales de la forma E_pq.

Una matriz de permutación es una matriz que se puede obtener de la idéntica por intercambio de filas o lo que es lo mismo una matriz de permutación es un producto de matrices elementales de la forma E_pq las cuales a su vez son matrices de permutación.

El hecho de que al aplicar transformaciones de tipo

E_{p
+ ( c ) q} A ®. . . ® U

para lograr la matriz U trapezoidal superiormente y que por lo tanto

* A ® U... E^-1 _{p + ( c ) q} U = . . .E_{p - ( c ) q} U

Nos permitirá desarrollar un método para hallar la descomposición

A = LU o PA =LU

EJERCICIO:

Descomponga a la matriz

1 1 2

A = 1 0 1

2 3 2

en la forma A = LU ( o PA = LU si es necesario )

DESARROLLO:

Sea F_i= fila i-ésima

1 1 2 F₂- F₁ 1 1 2

1 0 1 ® 0 -1 -1

2 3 2 F₃-_{( 2 )} F₁0 1 -2

1 0 0

E₁ = E_{3
- ( 2 ) 1} . E_{2 - ( 1 ) 1}> = -1 1 0

-2 0 1

1 0 0

E^-1₁ = E_{2 + ( 1 ) 1} . E_{3 + (
2 ) 1} = 1 1 0

2 0 1

1 1 2 1 1 2

0 -1 -1 ® 0 -1 -1 = U

0 1 -2 F_{3 +} F₂ 0 0 -3

1 0 0

E₂ = E_{3 + ( 1 ) 2} = 0 1 0

0 1 1

1 0 0

E^-1₂ = E_{3 - ( 1 ) 2} = 0 1 0

0 -1 1

Ahora A = E^-1₁ E^-1₂ = E_{2 + ( 1 ) 1} . E_{3 + 2
( 1 )} . E_{3 - ( 1 ) 2} =

1 0 0 1 0 0

E_{2 + (
1 ) 1} = 0 1 0 = 1 1 0 = L

2 -1 1 2 -1 1

A = LU Verifiquemos

1 1 2 1 0 0 1 1 2

1 0 1 = 1 1 0 0 -1 -1

2 3 2 2 -1 1 0 0 -3

Notamos entonces que el proceso de descomposición podría sintetizarse en una sola matriz aprovechando los ceros que deja la descomposición a medida que se produce la matriz U.

inversa F₂+F₁

1 1 2 ¯ 1 1 2 1 1 2

1 0 1 F₂- F₁ ® 1 -1 -1 ® 1 -1 -1

2 3 2 F₃ - _{( 2 )} F₁ 2 1 -2 F₃+F₂ 2 -1 -3

inversa F₃+_{( 2 )}F₁inversa F₃-F₂

Luego

1 0 0 1 1 2

A = 1 1 0 0 -1 -1 = LU

2 -1 1 0 0 -3

Se puede verificar que

1 1 2 1 0 0 1 1 2

1 0 1 = 1 1 0 0 -1 -1 = LU

2 3 2 2 -1 1 0 0 -3

EJEMPLO:

El mismo ejercicio anterior para la matriz

1 1 1

A = 2 2 3

1 0 1

sobrescriturada L en U

1 1 1 1 1 1 ** 1 1 1

2 2 3 F₂-_{( 2 )}F₁® 0 0 1 ** 2 0 1

1 0 1 F₃ - F₁ 0 -1 0 ** 1 -1 0

Habría que intercambiar filas en A, luego recordemos la matriz de permutación P = C_23. Luego, a partir de PA, hubieramos llegado a:

1 1 1

PA ® 1 -1 0

2 0 1

Recordando que la matriz L siempre tiene unos en la diagonal, tenemos que:

1 0 0 1 1 1

PA = 1 1 0 0 -1 0

2 0 1 0 0 1

que es precisamente la matriz A, multiplicada por la matriz de permutación P.

1 1 1

1 0 1

2 2 3

Una matriz de permutación es por definición, una matriz que se obtiene de la matriz idéntica por uno o más intercambios de sus filas y columnas. Por lo tanto cada matriz E_pq, p ¹ q es una matriz de permutación y sus productos son a su vez matrices de permutación y sus matrices inversas también. La matriz P que “recuerda” los intercambios de las filas de A, requeridos para lograr la descomposición LU, es siempre un producto de matrices de permutación y a su vez es una matriz de permutación.

Las matrices de permutación tienen propiedades que facilitan su manipulación. Veamos una matriz P.

0 0 1 0

Si P = 0 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

entonces

0 0 1 0

0 1 0 0

P^{T =}

0 0 0 1

1 0 0 0

Note que P P^T= I.

Por lo tanto P^–1= P^T. Por lo cual entran en un selecto grupo de matrices denominadas ortogonales.

Dado que P A = LU, concluimos que A= P^-1 L U = P^TLU, resultado que facilita la aplicación de la descomposición LU, en la solución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando computadores que se comentarán en el próximo capítulo.

EJERCICIOS.

Halle la descomposición LU o P ^TLU de las siguientes matrices:

1 0 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1

2 1 3 1 0 1 2 4 3 1 0 1

1 1 1 2 1 1 2 1 5 1 1 1

1 1 -1 1 1 3 0 1 1 3 2 1 2 0 0 3

0 1 2 3 1 3 2 1 1 2 3 1 1 0 0 3

0 0 0 2 1 1 0 1 2 3 1 0 0 0 0 1

1 1 3 3 2 1 2 1 3 2 1 0 0 0 1 1