CAPITULO 3

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Originalmente fue producido con Word. Si lo baja a un archivo en disco y aún no lo ve a su satisfacción, ciérrelo y ábralo desde Word. Si después de ello no lo ve bien, vealo como diseño de impresión en Word.

OBJETIVOS:

Al terminar el capítulo el estudiante estará en capacidad de:

i) Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss

ii) Resolver de ser necesario el sistema de ecuaciones por el método de Gauss Jordan.

iii) Determinar para matrices de dimensiones pequeñas, si son no singulares (poseen inversa) y calcular sumatriz inversa.

Como elementos de este curso pueden ser utilizados para enseñar rudimentos de análisis numérico, se incluyen en este capítulo comentarios sobre los siguientes temas:

· Dificultades de los cálculos.

· Condición del problema

· Estabilidad de los algoritmos.

2.1 INTRODUCCION

Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas de la forma

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n = b₁

(1.1) a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n = b₂

a_ml x₁ + a_m2 x₂ + . . . + a_mn x_n = b_m

en donde los COEFICIENTES a_{i j} ( i = 1,2,......, m; j = 1,2,....,n ) y los PARAMETROS b₁ ( i = 1,2,...m, ) son conocidos aparecen en contextos muy diversos ya sea en el planteamiento matemático de un problema práctico, en una etapa intermedia de la solución del mismo o en la solución final.

Por ejemplo para hallar dos números x₁ y x₂cuya suma sea 12 y su diferencia 4 debe resolverse el sistema de ecuaciones

x₁ + x₂ = 12

(1.2)

x₁ - x₂ = 4

El sistema anterior tiene solución única x₁ = 8, x₂ = 4.

Presentamos a continuación un ejemplo que nos lleva a plantear un sistema de ecuaciones lineales cuya solución no es única.

(1.3) ejemplo: Considere una industria pequeña que emplea dos máquinas 1 y 2 en la producción de dos productos diferentes denominados también 1 y 2. Asuma que cada producto elaborado debe ser sometido a un proceso en el cual intervienen todas las máquinas.

La tabla 1.4 muestra:

a) El número de horas que trabaja cada máquina en el proceso de producción de una unidad de cada uno de los productos.

b) El máximo números de horas que cada máquina puede trabajar en la semana ( el tiempo restante de la semana es empleado en mantenimiento ).

Tiempo empleado

por unidad

(1.4)

Producto Producto Número total de horas

disponibles/semana

Máquina 1 2

1 1 1 30

2 1 2 50

Si x_i ( j = 1,2 ) denota el número de unidades de productos j producidas por semana es evidente que

x₁ + x₂ £ 30

(1.5)

x₁ + 2x₂ £ 50

Además como no se puede producir un número negativo de artículos, se tiene que

(1.6) x₁ ³ 0 , x₂ ³ 0

Las restricciones dadas por (1.5) se puede sustituir por

x₁ + x₂ + x₃= 30

(1.7)

x₁ + 2x₂ + x₄= 50,

(1.8) x₁ ³ 0 , x₂ ³ 0, x₃ ³ 0 , x₄ ³ 0

en donde las variables x₃ y x₄ son variables de HOLGURA, ya que x₁ y x₂son soluciones de (1.5) y (1.6) sí y sólo sí son soluciones de (1.7) y (1.8) para algún par de números x₃ , x₄.

Restando la primera ecuación de la segunda reducimos (1.7) a

x₁ + x₂ + x₃= 30

(1.9)

x₂ - x₃ + x₄= 20

Restando la segunda ecuación de la primera obtenemos

x₁ + 2 x₃ - x₄= 10

(1.10)

x₂ - x₃ + x₄= 20

En consecuencia x₁ y x₂ se podrían hallar a partir de

x₁ = 10 - 2x₃ + x₄

(1.11)

x₂ = 20 + x₃- x₄

Las ecuaciones anteriores nos muestran que el sistema de ecuaciones (1.7) asociado con el problema planteado tiene infinitas soluciones las cuales se pueden hallar dando valores arbitrarios a x₃ y x₄.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales con solución no única como (1.10) se presenta en conexión con un problema a resolver es posible que una expresión general de las soluciones como la dada en (1.11) sea suficiente. No este el caso de nuestro problema ya que la restricción (1.8) limita la libre escogencia de valores para x₃ y x₄. Nótese que la solución para la cual

x₃ = 20 , x₄ = 10

produciría

x₁ = -20 , x₂ = 30

La cual no es una solución admisible para (1.5) y (1.6 ).

Los sistemas de ecuaciones con solución no única [1] aparecen ligados con problemas muy diversos en los cuales una solución general como ( 1.11) puede ser de mucha, escasa o nínguna importancia.

Si la ganancia neta G en la producción de cada unidad del producto 1 es $200 y de $100 por cada unidad del producto 2, podría ser importante ( y podría no serlo ) maximizar las ganancias de decir :

maximizar.

(1.12) G( x₁, x₂ ) = 200x₁ + 100x₂

sobre el conjunto definido por (1.11) teniendo en cuenta las restricciones dadas en (1.8).

Una expresión como (1.11) no es suficiente para hallar soluciones que estén asociadas con la optimización de (1.12). Existen en cambio métodos que nos permiten hallar valores x₁ , x₂ en el conjunto definido por ( 1.5 ) y ( 1.6 ) ó (1.7 ) y (1.8 ) que maximicen (1.12).

En el ejemplo planteado existe una “solución única “ que optimiza ( 1.12 )^[2]

Esta solución está dada en esté caso por

x₁ = 30 , x₂ = 0

Para una ganancia máxima de $6.000.

En este capítulo abordaremos el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas.

Por medio de OPERACIONES ELEMENTALES por FILAS, utilizando el método de ELIMINACIÓN de GAUSS reduciremos un sistema de ecuaciones a otro con las mismas soluciones cuya matriz es ESCALONADA. Soluciones de este último sistema se hallarán por SUSTITUCION REGRESIVA.

El método de ELIMINACION de GAUSS JORDAN se utilizará para transformar un sistema de ecuaciones en otro EQUIVALENTE ( con las mismas soluciones ) cuya matriz de los coeficientes sea una MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA. Mostraremos además como podría usarse tal método para hallar la matriz inversa de una matriz no singular.

Al final del capítulo mostraremos soluciones de un sistema de ecuaciones con solución única obtenidas al aplicar el método de GAUSS y el método de GAUSS con PIVOTE PARCIAL. Los cálculos se efectuaron en una computadora. Se mostrará cómo el error por redondeo afecta los cálculos de tal modo que las respuestas obtenidas por los dos métodos no coinciden.

(2.2) MATRIZ ESCALONADA

En muchas aplicaciones prácticas es necesario hallar soluciones de un SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS tal como es el caso de:

2x – y + z = 1

(2.1) x + y - z = 2

x - y + z = 0

El cual puede reducirse por OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS paso por paso, a un sistema más sencillo como lo indicamos a continuación. En nuestra notación llamaremos F_i a la i-ésima fila.

PASO 1 PASO 2

2x - y + z = 1 2x - y + z = 1 2x - y + z <= 1

x + y - z = 2 (2F₂- F₁) ~> 3y - 3z = 3 3y - 3z = 3

x - y + z = 0 (2F₃- F₁) ~> -y + z = -1 (3F₃+ F₁) ~> oz = 0

El último sistema es equivalente a

(2.2) 2x - >y + z = 1

y - z = 1

hemos dividido la 2ª ecuación entre 3 y desechado la 3ª pues no impone restricciones sobre z. Para hallar soluciones de ( 2.2 ) que son las mismas de ( 2.1 ), como se demostrará, basta dar valores a la variable z y calcular valores de x, y por SUSTITUCION REGRESIVA así:

a) Para z = 0, (2.2) queda así

(2.3) 2x - y = 1

y = 1

concluyéndose que 2x - 1 = 1 ó sea que x = 1

Una solución de ( 2.2 ), por lo tanto del sistema original sería:

x = 1 , y = 1 , z = 0

b) Para z = 1, ( 2.2 ) quedaría como:

( 2.4 ) 2x - y + 1 = 1

y - 1 = 1

Luego y = 2 y z = 1

Al despejar la y en la 2ª ecuación de 2.4 y sustituir los valores de Y y Z (SUSTITUCION REGRESIVA) en la 1ª ecuación para hallar el valor de x, obtenemos la 2ª solución:

x = 1, y = 2, z = 1

Examinando de nuevo (2.2)

2x - y + z = 1

y - z = 1

Vemos la forma ESCALONADA la cual con el hecho evidente de que tenemos más incógnitas que ecuaciones nos permite concluir:

1. El sistema tiene tantas soluciones (infinitas) como valores puede tomar z.

2. La forma escalonada facilita la SUSTITUCION REGRESIVA, para hallar los valores de y ,y, x en su orden.

Al transformar (2.2) en: 2x – y = 1 – z (2.3)

y = 1 + z

vemos que tenemos dos VARIABLES DEPENDIENTES ( x e y ), y una VARIABLE INDEPENDIENTE (z). Por lo cual el sistema tiene infinitas soluciones ( ( y un grado de libertad (z) ).

A veces los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas tienen solución única como es el caso de:

x + y - z = 0

(2.4) x + 2y + z = 5

x + y + z = 4

ya que en pasos sucesivos, este sistema se reduciría a:

PASO 1

x + y - z = 0 x + y - z = 0

x + 2y + z = 5 (F₂+(-) F₁) ~> y + 2z = 5

x + y + z = 4 (F₃+(-) F₁) ~> 2z = 4.

La UNICA solución de (2.4), es a partir de z = 2 (3ra. Ecuación de (2.4)) y por sustitución regresiva: x =1, y = 1, z = 2.

El sistema de ecuaciones lineales (simultáneas) podría no tener solución como es el caso de:

x + y - z = 0

(2.5) x + 2y + z = 5

3x + 4y - z = 4

El cual nos llevaría paso a paso a:

x + y - z = 0 x + y - z = 0 x + y - z = 0

x + 2y + z = 5 (F₂+ ( - ) F₁) ~> y + 2z = 5 y +2z = 5

3x + 4y - z = 4 (F₃+ ( -3) F₁) ~> y + 2z = 4 (F₃ – F₂) ~> 0z = -1

La última ecuación del último sistema lo hace claramente inconsistente, ya que no hay valor de z que satisfaga la ecuación 0z = - 1.

Los procesos de eliminación mostrados antes serán efectuados con matrices sin acarrear las variables.

Es claro que los pasos a partir de (2.1)

PASO 1 PASO 2

2x - y + z = 1 2x - y + z = 1 2x - y + z <= 1

x + y - z = 2 (2F₂- F₁) ~> 3y - 3z = 3 3y - 3z = 3

x - y + z = 0 (2F₃- F₁) ~> -y + z = -1 (3F₃+ F₁) ~> oz = 0

se podrían manejar como:

PASO 1 PASO 2

2 -1 1 | 1 2 -1 1 | 1 2 -1 1 | 1

1 1 -1 | 2 (2F₂- F₁) ~> 0 3 – 3 | 3 0 3 – 3 | 3

1 - 1 1 | 0 (2F₃- F₁) ~> 0 -1 1 |-1 (3F₃+ F₁) ~> 0 0 0 | 0

y que los pasos a partir de (2.4.)

PASO 1

x + y - z = 0 x + y - z = 0

x + 2y + z = 5 (F₂+(-) F₁) ~> y + 2z = 5

x + y + z = 4 (F₃+(-) F₁) ~> 2z = 4.

Se podrían seguir como

1 1 -1 | 0 1 1 -1 | 0

1 2 1 | 5 (2F₂- F₁) ~> 0 1 2 | 5

1 1 1 | 4 (2F₃- F₁) ~> 0 0 2 | 4

y a partir de (2.5) ,

x + y - z = 0

x + 2y + z = 5

3x + 4y - z = 4

La secuencia sería

PASO 1 PASO 2

1 1 -1 | 0 1 1 -1 | 0 1 1 -1 | 0

1 2 1 | 5 (F₂- F₁) ~> 0 1 2 | 5 0 1 2 | 5

3 4 -1 | 4 (2F₃- F₁) ~> 0 -1 1 |-1 (3F₃+ F₁) ~> 0 0 0 | 1

Los sistemas se podrán reconstruir. En nuestros métodos no cambiaremos el orden de las columnas lo cual equivaldría a cambiar el orden de las incógnitas (lo cual también es posible, siempre y cuando esta permutación se tenga en cuenta en la solución final.

En consecuencia, para resolver un sistema de ecuaciones

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + . . . + a_1n x_n = b₁

(2.6) a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + . . . + a_2n x_n = b₂

a_ml x₁ + a_m2 x₂ + . . . + a_mn x_n = b_m

el cual se puede expresar en forma matricial como

(2.6) Ax = b , en donde

a₁₁ a₁₂... a_1n x₁b₁

a₂₁ a₂₂... a_2n x₂b₂

(2.7) A = a₃₁ a₃₂... a_3n, x = x₃y b = b₃

. .

a_m1 a_m2... a_mnx_nb_m

en donde las MATRICES COLUMNA o VECTORES (COLUMNA), x y b, se denominan el VECTOR DE LAS INCOGNITAS y el VECTOR DE LOS PARAMETROS o TERMINOS INDEPENDIENTES y la matriz A de (2.7) se denomina la MATRIZ DE LOS COEFICIENTES, se efectúa reduciendo a la forma ESCALONADA a la MATRIZ AUMENTADA

a₁₁ a₁₂... a_1n_| b₁

a₂₁ a₂₂... a_2n | b₂

(2.8) A = a₃₁ a₃₂... a_3n_| b₃

. .

a_m1 a_m2... a_mn_|b_m

(2.9) Definición: Una matriz a = ( a_{i j}) _mxn ¹ 0 , es una matriz ESCALONADA cuando tiene las propiedades siguientes:

a) Si a_{i k}y a_{s j}, denotan los primeros elementos diferentes de 0, de izquierda a derecha, en las filas i y s respectivamente, con i < s , entonces k < j. Dicho de otro modo, el primer elemento diferente de 0 de una fila superior, se halla en una columna situada a la izquierda de sus homólogos de otras filas.

b) Las primeras r filas de A son diferentes de 0 (tienen algún elemento diferente de 0) y las siguientes, si r < m, están conformadas por ceros.

Esto garantiza que no haya filas de ceros intercaladas entre filas diferentes de 0.

(2.10) EJEMPLO: La matriz

1 2 3 4

A = 0 0 5 1

0 1 2 1

no es escalonada por violar la condición a).

(2.11) EJEMPLO: La matriz

1 2 1 0 1

0 0 0 0 0

0 0 3 2 1

0 0 0 0 4

no es escalonada por violar la condición b). La matriz:

1 7 1 0 1

(2.12) 0 0 3 2 1

0 0 0 0 4

0 0 0 0 0

es una MATRIZ ESCALONADA.

La solución de Ax = b, cuando ( A | b ) se reduce a la forma escalonada se halla utilizando sustitución regresiva tal como en (2.2) y (2.3).

(2.13) EJEMPLO: Halle al menos una solución del sistema

2 x₁+ x₂- x₃+ x₄= 1

x₂+ x₃- 2x₄= 2

x₄= 1

El sistema de ecuaciones de este ejemplo se puede expresar en la forma Ax = b, en donde

2 1 -1 1

(2.14) 0 1 1 -2

0 0 0 1

es una matriz escalonada.

De la última ecuación de (2.13) se tiene que x₄= 1. Por sustitución regresiva de

x₄por 1 en las dos primeras filas de (2.13) concluimos que

(2.15)2 x₁+ x₂- x₃= 0

x₂+ x₃= 4

Las ecuaciones (2.15) nos indican que el sistema de ecuaciones (2.13) tiene infinitas soluciones ya que a x₃( o a x₂) se le puede asignar valor arbitrario.

Los siguientes resultados se obtienen por sustitución regresiva en (2.15) si se asigna el valor dado a x₃:

x₁= -1, x₂= 3 , x₃= 1 , x₄= 1 ; x₁= -2, x₂= 4 , x₃= 0 , x₄= 1

No siempre el sistema de ecuaciones Ax = b tiene solución, auncuando A sea una matriz escalonada.

Si 1 2 3 1

0 1 2 2

A = 0 0 0 b = 0

0 0 0 0

0 0 0 1

La última ecuación de

x₁+ 2x₂+ 3x₃= 1

0 x₁ + x₂+ 2x₃= 2

0 x₁+ 0x₂+ 0x₃= 0

0 x₁+ 0x₂+ 0x₃= 1

es inconsistente.

(2.16) EJERCICIOS: La matriz de los coeficientes de cada uno de los sistemas que siguen es escalonada. Determine en cada caso si el sistema tiene solución única o infinitas soluciones. En los casos con infinitas soluciones, halle sólo dos.

1) x₁ + 2 x₂- 3x₃+ 4x₄= 1 2) 3x₁+ x₂- 2x₃= 1

x₂+ x₃- 2x₄= 0 4x₂+ 2x₃= 0

x₃+ 2x₄= 4 4x₃= 4

3) 3x₁ + 4 x₂+ 5x₃+ 2x₄= -3 4) 7x₁+ 2x₂+ 3x₃ - x₄= 1

x₂+ x₃- 2x₄= 0 4x₂- 2x₃+ 3x₄= 2

x₃+ 2x₄= 4 x₃ + 2x₄= -1

x₄= 0

2.3. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR REDUCCION A LA FORMA ESCALONADA.

Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones.

Reduciremos el sistema de ecuaciones

2x₁+ 3x₂+ 4x₃- x₄= 1

x₁+ 2x₂- x₃+ 2x₄= 0

(3.1) 3x₁- 2x₂+ x₃ + x₄= -1

3x₁+ 5x₂+ 3x₃+ x₄= 1

6x₁+ 3x₂+ 4x₃ + 2x₄= 0

a un sistema de ecuaciones equivalente, para hallar soluciones del mismo.

La matriz aumentada del sistema 3.1 es

2 3 4 -1 ½ 1

(3.2) 1 2 -1 2 ½ 0

3 -2 1 1 ½ -1

3 5 3 1 ½ 1

6 3 4 2 ½ 0

Intercambiando la primera fila con la segunda obtenemos:

1 2 -1 2 ½ 0

2 3 4 -1 ½ 1

(3.3) 3 -2 1 1 ½ -1

3 5 3 1 ½ 1

6 3 4 2 ½ 0

Restando de las filas 2da., 3ra., 4ta., y 5ª., multiplos convenientes de la 1ra., llegamos a:

1 2 -1 2 ½ 0

0 -1 6 -5 ½ 1

(3.4) 0 -8 4 -5 ½ -1

0 -1 6 -5 ½ 1

0 -9 10 -10 ½ 0

Restando de las filas 3ra., 4ta., y 5ta., multiplos convenientes de la 2da., transformamos (3.4) en

1 2 -1 2 ½ 0

0 -1 6 -5 ½ 1

(3.5) 0 0 -44 35½ -9

0 0 0 0 ½ 0

0 0 -44 35½ -9

Sumando a la 5ta. fila el negativo de la 3ra.,

1 2 -1 2 ½ 0

0 -1 6 -5 ½ 1

(3.6) 0 0 -44 35½ -9

0 0 0 0 ½ 0

Las matrices (3.2), (3.3.) , (3.4), (3.5) y (3.6) son matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones lineales equivalentes, lo cual se probará en la próxima sección. Por lo tanto las soluciones de (3.1) son exactamente las soluciones del sistema

x₁ + 2 x₂ - x₃ + 2x₄ = 0

- x₂ + 6x₃ - 5x₄ = 1

(3.7) - 44x₃+35x₄ = - 9

En el cual se han eliminado las dos últimas filas por ser irrelevantes.

Dando valores a x₄ se hallan diferentes soluciones por sustitución regresiva.

Las operaciones por filas que denotaremos de ahora en adelante OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS son:

1. Intercambio de dos filas.

2. Multiplicación (o división) de una fila por un número diferente de cero.

3. Sustitución de una fila por su adicion (o sustracción) con un múltiplo de otra fila.

(3.8) EJERCICIOS

En cada uno de los ejercicios 1 a 4, determine si el sistema tiene solución y sital solución es única. En tal caso halle la solución. Si el sistema tiene infinitas soluciones halle dos (2) de ellas.

1) 2 x₁+ 3x₂+ x₃- x₄= 1 2) x₁+ 2x₂+ x₃= 2

x₁- 3x₂+ x₄= -1 - x₁+ x₂- x₃= 2

x₃+2x₄= 3 2 x₁+ 3x₂+2x₃= 4

x₁+ x₂+ x₃= 2

3) x₁+ 2x₂- 3x₃= 1 4) 2 x₁+ 3x₂+ 4x₃+ x₄= 0

x₁- 3x₂+ x₃= 2 x₁+ x_{2 +} 7x₃+ x₄= 0

3 x₁- 4x₂- x₃= 3 3 x₁+ 5x₂+ 2x₃+ x₄= 0

5) Para el sistema de ecuaciones lineales con las incógnitas x₁, x₂, x_3.

x₁+ x₂- x₃= 1

2x₁+ 3x₂+ ax₃= 3

x₁+ ax₂+ 3x₃= 2

determine el valor (o valores ) de a de suerte que el sistema posea:

1) ninguna solución

2) más de una solución.

3) Solución única

6) Sustituya en 5) el sistema de ecuaciones por:

(2-a) x₁+ x₂= 0

(3-a) x₂ + x₃= 0

(1-a) x₃= 0

y desarrolle el ejercicio.

(2.4) VALIDEZ DEL METODO DE SOLUCION.

Partiendo de un sistema de ecuaciones lineales

(4.1) Ax = b

Y por operaciones elementales por filas, en cada paso, pasamos a otro sistema de ecuaciones que es por supuesto de la forma

(4.2) EAx = Eb,

En donde E es una matriz elemental.

Decir que los sistemas son EQUIVALENTES, equivale a decir que tienen las mismas soluciones, es decir, que toda solución de (4.1) lo es a su vez de (4.2) y viceversa.

Por supuesto, si x es una solución de Ax = b, premultiplicando por la matriz E, a ambos lados, concluimos que es una solución de EAx = Eb.

Ahora. Si x es una solución de EAx = Eb, premultiplicando por E ^–1 ya que E es una matriz elemental y por lo tanto invertible, concluimos que Ax = b y por lo tanto que x es solución del sistema de ecuaciones original.

3.4) SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR REDUCCION A LA FORMA ESCALONADA REDUCIDA.

Asumamos por simplicidad que por medio del método de Gauss hemos llegado a la matriz

1 2 -1 2 0

0 2 0 1 1

0 0 - 3 3 2

0 0 0 0 0

la cual corresponde al sistema de ecuaciones

x₁ + 2 x₂ - x₃ + 2x₄ = 0

2 x₂ + + x₄ = 1

(3.8) - 3x₃+3x₄ = 2

podemos utilizar el primer elemento diferente de 0 de izquierda a derecha de la segunda fila, 2, como pivote, logrando la matriz:

F₁- F₃ 1 0 -1 1 -1

0 2 0 1 1

0 0 - 3 3 2

0 0 0 0 0

y luego el primer elemento diferente de cero de la tercera fila, -3, como pivote, para lograr que cada pivote sea el único elemento diferente de cero de la columna.

Lo cual es equivalente a lograr que la incógnita respectiva del sistema de ecuaciones aparezca en una sola de las ecuaciones (nos referimos a los coeficientes que fueron utilizados como pivotes en el método de Gauss). Llegando a:

F₁-(2/3) F₃ 1 0 0 0 -(7/3)

0 2 0 1 1

0 0 - 3 3 2

0 0 0 0 0

Dividiendo ahora la segunda fila por 2 y la tercera fila por –3, obtenemos:

1 0 0 0 - 7/3

(1/2) F2 0 1 0 1/2 1/2

0 0 1 -1 -2/3

0 0 0 0 0

Hemos llegado a la forma de Gauss Jordan y por lo tanto al sistema de ecuaciones equivalente:

X₁ = - 7/3

X₂ + ½ X ₄= 1/2

X₃ - X₄ = -2/3, de donde

X₁ = - 7/3

X₂ = (1/2) - ½ X ₄

X₃ = ( -2/3 ) + X_4,

del cual se deduce facilmente que la variable x₄ se puede tomar como variable independiente y que por lo tanto el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Este método denominado método de Gauss Jordan, en el cual los pivotes se convierten a 1, en alguna parte del proceso y se utilizan para lograr ceros en toda la columna, excepto en el punto pivoterequiere cálculos adicionales y a no ser que sea indispensable llegar a ésta forma por alguna razón especial, se utiliza poco por la razón citada.

Pese a ello si usted requiere la matriz inversa de una matriz de orden pequeño como:

2 1 2

1 1 3

1 3 1

puede aplicar el proceso de Gauss Jordan a la siguiente matriz:

2 1 2 ½ 1 0 0

1 1 3 ½ 0 1 0

1 3 1 ½ 0 0 1

hasta llegar a la forma de Gauss Jordan

1 0 0 ½ 1 -1/2 -1/2

0 1 0 ½ -1 0 2

0 0 1 ½ 0 1/2 -1/2

Podemos verificar que:

2 1 2 1 -1/2 -1/2

1 1 3 -1 0 2 = I

0 0 1 0 ½ -1/2

donde I es la matriz idéntica de orden 3. En consecuencia una matriz es la matriz inversa de la otra.

Justificación del método:

Para hallar la matriz inversa de A, comenzamos con la matriz particionada

A ½ I y la transformamos por operaciones elementales en I ½ C

Las dos matrices están ligadas por una secuencia de productos de matrices elementales (por causa de las operaciones elementales en las filas):

E _k ... E ₂. E ₁= Q.

De modo que: Q A ½ I = I ½ C

Por lo tanto: QA = I y Q I = C,

De donde concluimos que Q = C, es la matriz inversa de A.

Si en este proceso, en el lugar donde debe aparecer la matriz idéntica (lado izquierdo de la matriz particionada final, nos aparece una fila de ceros, en lugar de los esperadas filas (1 0 0 .. ), (0 1 0 ... ) de la matriz idéntica arribaríamos a una forma:

S ½ C

En donde S tiene una fila de ceros.

De donde, en lugar de la expresión Q A = I, obtendríamos la relación Q A = S.

Como Q es una matriz no singular por ser un producto de matrices elementales (las cuales son no singulares) y S es una matriz singular (una matriz con una fila de ceros no puede tener inversa), concluimos que A es una matriz singular, es decir que no posee inversa.

Ejemplo:

Aplicando la secuencia de operaciones elementales:

1 2 3 ½ 1 0 0 1 2 3 ½ 1 0 0

1 5 4 ½ 0 1 0 (F₂ – F ₁₎_®0 3 1 ½ -1 1 0 ®

-1 1 -2 ½ 0 0 1 (F₃ + F ₁₎ 0 3 1 ½ 1 0 1 ( F₃ – F ₁ )

1 2 3 ½ 1 0 0

0 3 1 ½ -1 1 0

0 0 0 ½ 2 -1 1

concluimos que la matriz de orden 3 marcada por no posee inversa.

Aplicación : Cálculo de corrientes en una red eléctrica.

Hay innumerables problemas que conllevan a la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Utilizaremos una aplicación ampliamente conocida por la cual extendemos la conocida ley de Ohm V = I R.

En donde V es la diferencia de potencial o voltaje aplicada a los extremos de una resistencia conocida R , en donde se quiere calcular I (intensidad de la corriente que pasa por la resistencia).

I amperios

à V = I R,

R ohmios

V voltios

Las leyes de Kirchoff que se citan a continuación nos permiten resolver las relaciones que se dán entre las diferencias de potencial (voltajes), y las intensidades de las corrientes que circulan en diferentes partes de una red eléctrica, problema que termina en el planteamiento y solución de un sistema de ecuaciones simultáneas.

Estudiemos una red, en corriente continua, conformada por baterías cuyas fuerzas electromotrices y resistencias se dán.

Se deben calcular las intensidades de las corrientes que circulan por la red.

x ₁R₁

^{a b}

^h R₁R₄

x g _d _c _{a
b}

R₂ R₃ x ₂ R₂

^e ^f

(a) (b)

Un nodo en una red eléctrica es un punto donde se unen tres o más conductores. Una malla es cualquier trayectoria conductora cerrada.

En la figura (a) anterior, los puntos a, d, e y c son nodos pero b y f nó. En la figura (b) los únicos nodos son a y b.

Algunas mallas posibles en la figura (a) son las trayectorias cerradas abcda, dcfed, hadegh, hadcfegh. No hemos citado todas las mallas posibles del circuito.

Las reglas de Kirchoff son las siguientes:

Regla del nodo : La suma algebraica de las corrientes en un nodo es 0.

S I = 0

Regla de la malla : La suma algebraica de las fuerzas electromotrices en cualquier malla es igual a la suma de los productos I R en la malla.

S x = S I R.

Teniendo en cuenta estas leyes, el sistema eléctrico que se muestra en la figura siguiente da origen al sistema de ecuaciones:

i ₁- i₂- i₃ = 0

5 i₁+ 20 i₃ = 50

10 i₂- 20 i₃ = 30

i₁i₂