ALGEBRA LINEAL PARA TODOS

JOSE ARTURO BARRETO,M.A.

CAPITULO IV.

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Determinantes

En este capítulo dedicaremos un espacio “brevísimo” a la teoría de determinantes, la cual es un tema clásico, ya que deseamos dedicar el espacio restante a otros temas de mayor “sabor”.

El objetivo fundamental de este capítulo es relacionar la no-singularidad o inversibilidad de una matriz cuadrada con el hecho de que su determinante sea diferente de 0.

El tratamiento del tema será informal y “descriptivo”

A cada matriz cuadrada (a_ij)_nxn , de orden n, asociaremos un número llamado el determinante de A, el cual simbolizaremos como det(A) o ïAï.

Daremos una definición por inducción así:

i) Primero definiremos el determinante de A para matrices cuadradas de orden 1, así: Si A=(a₁₁), definimos

ïAï= a_11.

ii) Si

a₁₁a₁₂

A = , definiremos ïAï= a₁₁a_{22 -}a₂₁a₁₂

a₂₁a₂₂

Es decir , si A= (2), entonces ïAï= 2.

4 2

Si A = , definiremos ïAï= 4x3 – 1x2 = 12 – 2 = 10

1 3

iii) Luego definiremos el determinante de una matriz de orden n > 2, en términos de determinantes de matrices de orden n-1 así:

Sea A = (a_ij)_nxn,, una matriz cuadrada de orden n. Para cada elemento a_ij de A, definiremos el menor M_ij de a_ij, como el determinante de la submatriz de orden n-1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima (o fila i, columna j) de A, y el cofactor C_ij de a_ij, como C_ij= (-1) ^i+j M_ij.

Ejemplo: 1 3 2

A = 1 1 4

-1 2 1

1 4

Al eliminar las filas 1, columna 1 de A, obtenemos el menor M₁₁= 2 1 = 1x1 – 2x4 = -7.

Su cofactor es C₁₁= (-1) ¹⁺¹ M₁₁= 1x (-7) = -7.

De forma similar

1 3 2

A = 1 1 4

-1 2 1

1 4

Al eliminar las filas 1, columna 2 de A, obtenemos el menor M₁₂= -1 1 = 1x1 – (-1)x4 = 5.

Su cofactor C₁₂= (-1) ¹⁺² M₁₂= (-1)³ 5 = -5.

De forma similar podría calcularse C₁₃= (-1) ¹⁺³ M₁₃= 1⁴ x 3 =3. M₁₃es el determinate de la submatriz de orden 2 que queda al suprimir la 1ra. fila y la 3ra. columna de A.

El cofactor C₂₁puede calcularse como (-1)²⁺¹M₂₁ = - M₂₁. En donde M₂₁es el determinante de la submatriz obtenida de A al eliminar la 2da. fila y la 1ra. columna.

1 3 2

A = 1 1 4

-1 2 1

Luego 3 2

M₂₁ = = 3x1 – 2x2 = -1 . De donde C_{21 =}- M₂₁ = -(-1) = 1.

2 1

De manera sucesiva se calcularán C₂₂= 3, C₃₂= - 2, C₃₃= - 2. La matriz de los cofactores de

1 3 2

A = 1 1 4

-1 2 1

Sería -7 -5 3

1 3 -5

10 -2 -2

Una matriz muy importante es la adjunta de A (adj A), la cual se define como la traspuesta de la matriz de los cofactores. En este ejemplo

-7 1 10

Adj A = -5 3 -2

3 -5 -2

Si efectuamos -16 0 0 1 0 0

A . Adj A = 0 -16 0 = (-16) 0 1 0 = (-16) I.

0 0 -16 0 0 1

Conocidas la matriz de los menores y la matriz de los cofactores, miremos los signos producidos por el término (-1) ^i+j que relaciona el signo de los cofactores respecto a los menores. En la matriz de orden 3, estos factores se distribuyen así:

+ - +

- + -

+ - +

y en la de orden 4, así:

+ - + -

- + - +

+ - + -

Observe que comenzando con un signo positivo en la posición (1,1), los signos se alternan, siempre y cuando nos movamos en un sentido horizontal o vertical.

Para la matriz de orden 3 definiremos:

ïAï= a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃= 1(-7) + 3(-5) + 2(3) = -16.

Curiosamente, un poco mas arriba hemos verificado que A . Adj A = ïAï I. En donde I es la matriz idéntica de orden 3.

Nótese que ïAï pudo haberse definido, utilizando la segunda fila de A, como:

ïAï= a₂₁C₂₁ + a₂₂C₂₂ + a₂₃C₂₃= 1(1) + 1(3) + 4(-5) = -16.

O, utilizando la tercera fila de A, como:

ïAï= a₃₁C₃₁ + a₃₂C₃₂ + a₃₃C₃₃= -1(10) + 2(-2) + 1(-2) = -16.

Concluimos que con este tipo de definición, el determinante puede definirse utilizando cualquier fila de A. Lo mas llamativo es que también puede utilizarce cualquier columna de A, ya que podemos verificar que al desarrollarlo por la primera columna de A:

ïAï= a₁₁C₁₁ + a₂₁C₂₁ + a₃₁C₃₁= 1(-7) + 1(1) + (-1)(10) = -16.

Y por la segunda columna de A:

ïAï= a₁₂C₁₂ + a₂₂C₂₂ + a₂₃C₂₃= 3(-5) + 1(3) + 2(-2) = -16.

Y por la tercera columna de A.

ïAï= a₁₃C₁₃ + a₂₃C₂₃ + a₃₃C₃₃= 2(3) + 4(-5) + 1(-2) = -16.

El determinante de una matriz de orden 3 se puede también calcular por la conocida regla de “sarrus”, así:

1 3 2

A = 1 1 4 = 1(1)(1) + 3(4)(-1)+ 2(2)(1) – (-1)(1)(2) – 2(4)(1) – 1(3)(1) = - 16

-1 2 1

Note que hay flechas que “bajan”, relacionando grupos de 3 factores que “suman” y flechas que “suben” relacionando grupos de 3 factores que “restan”.

A partir de estas definiciones el cálculo del determinante de una matriz de orden 4 es bastante complicado y más lo será si se quiere calcular el determinante de una matriz de orden n, n>4. La complejidad de los cálculos irá creciendo.

Cálculo del determinante de una matriz de orden 4.

Sea A = (a_ij)_nxn es una matriz cuadrada de orden n. Definimos

ïAï= a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃+ ... + a_1nC_1n

donde los a_1j, J=1,...,n , son los elementos de la primera fila de A y los C_{1j ,}sus cofactores.

Definiendo el determinante por cualquier fila o cualquier columna, como

ïAï= a_k1C_k1 + a_k2C_k2 + a_k3C_k3+ ... + a_knC_kn.(Desarrollo por la k-ésima fila de A) y

ïAï= a_1kC_1k + a_2kC_2k + a_3kC_3k+ ... + a_nkC_nk(Desarrollo por la k-ésima columna de A),

de tal manera que el determinante se pueda calcular por cualquier fila o columna, calcularemos ïAï, para una matriz de orden 4.

Calcular 5 1 0 3

1 0 0 2

0 1 1 1

0 0 0 1

a) Utilizando la primera fila

i) Los signos de los cofactores son

+ - + -

- + - +

+ - + -

- + - +

ii) Los menores de la primera fila son:

0 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0

M₁₁= 1 1 1 M₁₂ = 0 1 1 M₁₃ = 0 1 M₁₄ = 0 1 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

Por la regla de Sarrus, M₁₁= 0, M₁₂ = 1, M₁₃ = 1, M₁₄ = 0.

Teniendo en cuenta los signos de los cofactores, respecto de los menores, observando, en este caso, la primera fila

+ - +

- + -

+ - +

obtenemos que C₁₁ = + M₁₁ = 0, C₁₂ = - M₁₂ = -1, C₁₃ = + M₁₃ = 0,

obteniendo que

ïAï= a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃+ a₁₄C₁₄= 5(0) + 1(-1) + 0 (1) + 3 (-0) = -1.

Como el determinante se puede calcular por cualquier fila o columna, calcularemos de nuevo

5 1 0 3

1 0 0 2

0 1 1 1

0 0 0 1

utilizando la 4ta. Fila ya que la presencia de ceros nos favorece.

Tenemos que 5 1 0

M₄₄ =1 0 0 = -1. Luego C₄₄ = M₄₄ = -1.

0 1 1

Por lo tanto ïAï= a₄₄ C₄₄ = 1(-1) = -1.

Lo cual coincide con nuestro calculo previo.

Sin ninguna justificación aceptamos, lo cual es verificable y demostrable, que

ïAï= ïA^Tï

Es decir, que el determinante de A es el mismo que el de A^T .

“Antiguamente”, la teoría de determinantes y en particular la “regla de Kramer” que no se cubrirá en este curso, eran ampliamente utilizadas en solución de problemas.

Con el advenimiento de los computadores digitales su importancia decayó ya que la exagerada utilización de cálculos que conlleva, utilizando estos algoritmos de cálculo también “clásicos” propagan y amplían los errores por redondeo o truncamiento propios de la computadora.

Sin embargo dado que existen múltiples algoritmos para manejar operaciones por filas y/o columnas de una matriz, ejemplificaremos la utilización de estas operaciones en el cálculo del determinante.

El determinante es una función multilineal de los vectores fila o columna. Esto expresado por columnas quiere decir que si los A_i son vectores columna de dimensión n (nx1), tenemos que:

i) det ( A₁ A_{2 …} A_k + A^‘_k… A_n ) = det ( A₁ A_{2 …} A_k … A_n ) + ( A₁ A_{2 …} A^‘_k… A_n )

ii) det ( A₁ A_{2 …} cA_k … A_n ) = c det ( A₁ A_{2 …} A_k … A_n ), donde c es un número.

De esta multilinealidad se puede concluir y no es nuestra intención demostrarlo que:

a) Al multiplicar una fila o una columna de una matriz por un número c, su determinante queda multiplicado por el mismo número c.

b) Al sumar o restar una fila o múltiplo de ella a otra fila, o una columna o un múltiplo de ella a otra columna, el determinante no cambia de valor.

c) Al intercambiar dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo.

Sacando provecho de estos principios recalcularemos el determinante

5 1 0 3

1 0 0 2

0 1 1 1

0 0 0 1

así:

5 1 0 3 inter 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 2

1 0 0 2 cambiando 5 1 0 3 F₂ – 5F₁ 0 1 0 -7 0 1 0 -7

0 1 1 1 = - 0 1 1 1 = - 0 1 1 1 F₃ – F₂= - 0 0 1 8

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Desarrollando el determinante por la primera fila:

1 0 0

= - (1) 0 1 0 = - 1.

0 0 1

Resultado que coincide con nuestro calculo previo.

Si es necesario calcular un determinante, vale la pena realizar operaciones por filas y/o columnas, siguiendo las reglas a), b), c) anteriores.

Un resultado importante de la teoría de determinantes es:

Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ïABï= ïAïïBï

De aquí se concluye un resultado teóricamente importante:

Una matriz cuadrada A es no-singular o invertible , si existe una matriz, denominada A^-1, la inversa de A, tal que

A A^-1= I, donde I es la matriz idéntica.

Puede verificarse que ïIï = 1., cualquiera sea el orden de I.

Como A A^-1= I, concluimos que ïA A^-1ï= ïAïï A^-1ï = ïIï = 1.

De donde se concluye que si A es no-singular o invertible, entonces, ïAï¹ 0 y ï A^-1ï = 1/ïA ï.

Cuando en este capítulo dimos el primer ejemplo del cálculo del determinante de una matriz de orden 3, verificamos que

A . Adj A = ïAï I.

Aceptaremos este resultado sin ninguna demostración analítica..

Luego, si ïAï ¹ 0, entonces A . ( Adj A / ïAï) = I.. En consecuencia A es no singular o invertible. Además, en este caso,

A^-1 = Adj A / ïAï

En consecuencia, del primer ejemplo de orden 3:

1 3 2

A = 1 1 4

-1 2 1

Entonces, como ïAï= -16,

-7 1 10

A^-1 = Adj A / ïAï = (-1/16) -5 3 -2

3 -5 -2

No hemos prestado especial atención a la teoría de los determinantes. Sólo hemos esbozado algunos de sus resultados fundamentales. Esperamos que las críticas respecto a nuestra posición “pedagógica” sean constructivas. Si alguno de nuestros lectores puede añadirle sabor a este capítulo, anexaremos sus artículos en un apéndice con los créditos respectivos y sin modificaciones. Esta es nuestra posición por ahora. Pero recuerda: nunca digas nunca jamás.

Para aquellos que deseen calcular áreas de triángulos a partir de las coordenadas de los vértices, les regalamos la siguiente fórmula.

El área del triángulo de vértices A₁(x₁, y₁) , A₂(x₂, y₂) , A₃(x₃, y₃), está dada por

x₁ x₂x₂ x₃x₃ x₁

(1/2) _{+ +}

y₁ y₂y₂ y₃y₃ y₁

Si escribimos las coordenadas como vectores columna:

x₁ x₂ x₃

A₁= y₁ A₂= y₂ A₃= y₃

Expresaríamos el área del triángulo así:

(1/2) ïA₁ A₂ï+ ïA₂A₃ï+ ïA₃A₁ï

Esta fórmula no es muy difícil de recordar ya que las “coordenadas” A_1,A_2,A_3,aparecen por parejas en un orden que simula la siguiente rotación contra reloj :

A ₃

A₁ A ₁A ₂

La rotación o recorrido podría hacerse al revés ( en dirección a las manecillas del reloj)

A ₃

A₁ A ₁A ₂

En cuyo caso la fórmula podría escribirse como:

(1/2) ïA₁ A₃ï+ ïA₃A₂ï+ ïA₂A₁ï

(1/2) ïA₃ A₂ï+ ïA₂A₁ï+ ïA₁A₃ï

No importa donde se inicie la rotación, ni el sentido (reloj o contra reloj) de la rotación. Salvo que en un caso el área será positiva y en otros negativa, esta área es por lo tanto “orientada”. Por ello después de calcular el “área orientada”, es necesario tomar el valor absoluto de la misma.

Ejemplo. Para calcular el área del triángulo

Y A ₃( ½, 4)