ALGEBRA LINEAL PARA TODOS

JOSE ARTURO BARRETO,M.A.

THE UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN

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CAPITULO 5.

Aplicaciones de la descomposición LU.

Al terminar este capítulo el estudiante deberá estar en capacidad de:

a) Descomponer de manera rápida una matriz de orden pequeño n, en la forma LU, o en la forma PLU si es el caso, en donde P es una matriz de permutación obtenida al permutar (o nó) dos o más filas de la matriz idéntica.

b) Resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando la descomposición LU (o PLU).

c) Calcular la matriz inversa de una matriz, si existe, a partir de la descomposición LU.

En este capítulo trabajaremos con matrices cuadradas casi siempre no singulares o invertibles y sistemas con solución única por varias razones:

a) Razones didácticas. Estos casos es más fácil comprender y enseñar los conceptos los cuales podrían extenderse a casos más generales a juicio del instructor.

b) Los sistemas de ecuaciones lineales con infinitas soluciones pueden aparecer en muy diversos contextos que están fuera del alcance de este curso. En el futuro se podrán profundizar estos temas por medio de apéndices producidos por nosotros u otros estudiantes y profesores. Un apéndice sobre el método simplex mostrará casos de sistemas con infinitas soluciones en los cuales debe buscarse una solución óptima en el sentido que allí se aclarará.

c) Siendo éste quizás el único curso de álgebra lineal que tomará un estudiante universitario, el cual puede ser partido en varios lapsos, se deben seleccionar los los tópicos a tratar evitando aquellos, a veces obvios una vez tomado el curso básico pero que alargarían los temas con disquisiciones no justificables a este nivel.

Los métodos aun cuando generales, se explicarán basándose en matrices de orden n=3 pero en los ejercicios se plantea su extensión (obvia) a matrices de orden superior.

Otra mirada a la descomposición LU

En el capítulo 3 se resolvió a título de ejemplo (vease el segundo sistema de ecuaciones resuelto en tal capítulo), el sistema de ecuaciones

x + y - z = 0

x + 2y + z = 5

x + y + z = 4

Utilizando el método de Gauss se halló la solución “única”: x = 1, y=1 , z = 2

Escribiendo el sistema de ecuaciones en la forma

Ax = b

O sea en la forma:

1 1 -1 x₁ = 0

1 2 1 x₂ = 5

1 1 1 x₃ = 4

A x = b

En donde 1 1 -1

A = 1 2 1

1 1 1

es la matriz de los coeficientes

x₁

x = x₂ o vector de las incógnitas ( matriz de dimensión nx1).

x₃

y 0

b = 5 es el vector de los parámetros.

En el proceso de solución descompondremos a la matriz A en la forma

A = LU

Adelantándonos a nuestra solución encontraremos que

1 0 0 1 1 -1

A = 1 1 0 0 1 2

1 0 1 0 0 2

A = L . U

En donde L es una matriz triangular inferior (Lower triangular: con ceros sobre la diagonal principal) y U una matriz triangular superior (upper triangular: con ceros debajo de la diagonal principal).

Con esta descomposición A = LU, resolveremos el problema propuesto así:

Problema: Resolver Ax = b (1)

a)Se transforma en: LUx = b (2)

b)Creamos el nuevo “vector” Ux = y (3)

c) Resolvemos Ly = b (4)

Hallado y, procedemos a resolver Ux = y (5)

Y hallamos nuestro vector incógnita x de la ecuación matricial inicial (1)

Así

(1) A x = b

1 1 -1 x₁ = 0

1 2 1 x₂ = 5

1 1 1 x₃ = 4

(2) L U x = b

1 0 0 1 1 -1 x₁0

1 1 0 0 1 2 x₂ = 5

1 0 1 0 0 2 x₃4

(4) Resolvemos L y = b

Por lo tanto resolvemos

1 0 0 y₁0

1 1 0 y₂ = 5

1 0 1 y₃4

Procedemos por lo tanto a resolver primero el sistema de ecuaciones lineales simultáneas triangular inferior

y₁ = 0

y₁+y₂+ = 5

y₁+y₃ = 4

Por sustitución regresiva hallamos y₁ = 0, y₂ = 5, y₃ = 4,

(El hecho de que y coincida con b en este problema y en el siguiente es puramente accidental y no debe tomarse como una regla).

Por lo tanto y = 5

(5) Procederemos ahora a resolver Ux = y, o sea el sistema triangular superior

1 1 -1 x₁0

0 1 2 x₂ = 5

0 0 2 x₃4

Por lo tanto resolveremos

x₁+x₂- x₃ = 0

x₂+ 2 x₃= 5

2 x₃= 4

De donde x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 2

La cual es la solución hallada en el capítulo 3.

Cómo se logra la descomposición LU?

Siguiendo las ideas presentadas en el capítulo 2, cuando se habló por primera vez de la descomposición LU, cada operación elemental por filas tiene su operación inversa así:

a) La operación inversa del intercambio de filas es el mismo intercambio de filas. Esto se estableció cuando se dijo que :

(E_pq ) ^-1 = E_pq.

b) La operación inversa de la multiplicación de una fila por un número c¹0, es la división de la fila por el mismo o sea su multiplicación por 1/c. Esto se estableció cuando se dijo que :

(E_{( c ) p} ) ^-1 = ( E_{( 1/c ) p}), c ¹ 0, c Î R

c) La operación inversa de sumar un múltiplo de una fila a otra, es restar el mismo múltiplo de esa fila (de la que sumó), a la fila resultante. Esto se estableció cuando se dijo que :

(E_{p + ( c ) q} ) ^-1 = ( E_{p - ( c ) q}) c ¹ 0, c Î R

Estas propiedades se derivan del hecho de que al efectuar en una matriz una operación elemental por filas y posteriormente la operación elemental inversa, obtenemos de nuevo la matriz original.

Esto se puede apreciar al efectuar cambios elementales en una matriz.

Veamos algunos ejemplos:

Si en la matriz

1 2 3

A = 2 4 1 , intercambiamos las filas 1ra y 3ra. obtenemos

3 2 -1

A’ = 1 2 1

1 2 3

Si de nuevo intercambiamos las mismas filas (1ra. Y 3ra.), obtenemos la matriz A original.

En consecuencia: el intercambio de (las mismas) filas es la operación elemental inversa del intercambio de filas que es lo que se señala en a) mirando el asunto de una manera más práctica.

La igualdad algebraica expresada en B se refleja a nivel de filas ya que si una fila se multiplica por un número c¹0 y luego se divide por el mismo número (se multiplica por 1/c) esta termina inalterada. O sea que estas operaciones elementales son inversas, lo cual fue expresado en b).

Examinemos con un ejemplo lo que sucede cuando a una fila se sustituye por su suma con múltiplo de otra y luego a la fila resultante se le resta de nuevo el mismo múltiplo de la fila que se sumó. Por supuesto que obtenemos la fila original.

Si a partir de

1 2 3

A = 2 4 1 , sumamos a la 1ra fila el doble de la segunda. obtenemos 3 2 -1

5 10 5

A = 2 4 1 . Si ahora restamos a la 1ra. Fila el doble de la segunda, 3 2 -1 o sea premultiplicamos por E _{1 +-(2) 2}

Retornamos a la matriz original.

Esto que es claro cuando se trata de filas puede probarse algebraicamente ya que

5 10 5 1 2 0 1 2 3

A = 2 4 1 = E _{1 + (2) 2} A = 0 1 0 2 4 1

3 2 -1 0 0 1 3 2 -1

Recuerde que la matriz E _{1 + (2) 2} se obtiene a partir de la matriz idéntica utilizando la misma operación elemental (sumandole a la primera fila (1 0 0) el doble de la segunda 2(0 1 0)). Lo supremamente llamativo es que la premultiplicación de una matriz por estas matrices elementales construidas con operaciones elementales del tipo a) , b) o c), generan en la matriz el mismo cambio elemental que las definió.

Es claro que E _{1 - (2) 2} . E _{1 + (2) 2} = I. O sea que E^-1 _{1 + (2) 2} = E _{1
- (2) 2.}

Revisemos una vez más estas operaciones por filas.

1 2 3 F₁+ 2F₂5 10 5 F₁- 2F₂ 1 2 3

A = 2 4 1 2 4 1 2 4 1 = A

3 2 -1 3 2 -1 3 2 -1

Estos razonamientos nos permiten justificar el siguiente prosedimiento para descomponer una matriz en la forma A = LU. Inversa (sobre I) operación(directa)(sobre A) F₂+ F₁ F₂- F₁

1 1 -1 1 0 0 1 1 -1 1 0 0 1 1 -1

A = 1 2 1 = IA = 0 1 0 1 2 1 1 1 0 0 1 2

1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

(operación inversa sobre L)

(inversa) L U

(+1) 1 0 0 1 1 -1 Operación directa (sobre A)

1 1 0 0 1 2 (-1)

F_{3 +} F₁ 1 0 1 0 0 2 F_{3 -} F₁

operación inversa

He aquí la descomposición LU de A.

La matriz U es similar a la queda cuando se aplica a A el proceso de Gauss.. Debemos anotar los siguientes pubntos claves con el fin de automatizar la producción de la matriz triangular inferior L.

a) La matriz L es triangular inferior con 1s en la diagonal

b) En todos los pasos de la producción de L los elementos sobre la diagonal son 0s.

c) Los números que van apareciendo en L, a medida que avanza el proceso, corresponden al inverso de la operación realizada en las filas de A, en la búsqueda de la matriz U.

Así: la primera operación sobre las filas de A fue F_{2 -} F_1.La operación inversa F_{2 +} F₁ genera la matriz

1 0 0

L = 1 1 0 El 1 es el coeficiente de F₁en la operación inversa

0 0 1

donde el elemento enmarcado proviene de la operación inversa realizada en la matriz idéntica I

La siguiente operación en búsqueda de la matriz triangular superior U, fue F_{3 -} F₁, la operación inversa es F_{3 +} F₁. Generándose el nuevo número (en este caso 1 de + F₁ , en la fila 3ra. De la 1ra. Columna).

La nueva matriz L es

1 0 0

L = 1 1 0

1 0 1

Estos pasos pueden consignarse en una sóla matriz lo cual nos permite consignar las modificaciones producidas a medida que se construye la matriz U y utilizar los espacios de los 0s en la parte inferior de U para ir consignando los elementos de la matriz triangular inferior L. La diagonal de L no es necesario calcularla pues sabemos que está formada por puros 1s. Los elementos de la diagonal que se consignarán serán los de U. Llamaremos a este método, cálculo de LU con sobreescritura.

Así:

1 1 -1

Descompongamos de nuevo la matriz A = 1 2 1 en su forma LU utilizando el método de sobreescritura.. 1 1 1

Operación directa sobre A

Para obtener 0 en la posición señalada de U

F_2
- F₁ F_{3 -} F₁

1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1

A = 1 2 1 F_{2 +} F₁ 1 1 2 1 1 2

1 1 1 1 1 1 F_{3 +} F₁ 1 0 2

Operación inversa en L

El proceso termina ya que ya apareció un O en la 3ra. Fila, 2da. columna y “milagrosamente” ya apareció la matriz U.

Luego:

1 0 0 1 1 -1

A = 1 1 0 0 1 2

1 0 1 0 0 2

L U

Que fue la descomposición hallada antes.

Ejemplo

Utilizando la descomposición LU resolveremos el sistema de ecuaciones ´lineales simultáneas planteado en el ejemplo de la red eléctrica. del capítulo 3

i₁-i₂+i₃ = 0

5 i₁+ 20 i₃ = 50

10 i₂- 20 i₃= 30

En este caso la matriz de los coeficientes es y el vector de los parámetros

1 -1 1 0

A = 5 0 20 .. 50

0 10 - 20 30

(1) Descomponemos A en la forma A = LU así,

buscando 0 para U que será sobrescrito por L

operación directa U U

1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1

A = 5 0 20 F₂- 5F₁ 5 5 15 F₃- 2F₂ 5 5 15

0 10 -20 0 10 -20 L 0 2 -50

aquí se consigna la operación L aquí se consigna

la operación inversa F₃+ 2F₂

inversa F₂+ 5F₁(+5)

éste no cambia ya que

había 0 conveniente para U

Luego, la descomposición LU de A es

Recuerde los 1s en la diagonal

1 -1 1 1 0 0 1 -1 1

5 0 20 = 5 1 0 0 5 15

0 10 -20 0 2 1 0 0 -50

A L U

(2) Resolvemos Ly = b

1 0 0 y₁0

5 1 0 y₂ = 50

0 2 1 y₃ 30

Por lo tanto

y₁ = 0

5y_{1 +}y₂ = 50

2y_{2 +}y₃= 30

Por sustitución regresiva hallamos y₁ = 0, y₂ = 50, y₃ = -70,

(3) Procederemos ahora a resolver Ux = y, o sea el sistema triangular superior

1 -1 1 x₁0

0 5 15 x₂ = 50

0 0 -50 x₃4

Por lo tanto resolveremos

x_{1 -}x_{2
-}x₃ = 0

5x₂+ 15 x₃= 50

-50 x₃= -70

De donde x₁ = 22/ 5 , x₂ = 29/ 5 , x₃ = 7/ 5

Por lo tanto la intensidad de las corrientes en el problema de las redes eléctricas del capítulo 3 serán:

i₁ = 4,4 amperios , i₂ = 5,8 amperios , i₃ = 1,4 amperios

Ejemplo.

A veces aparece involucrada una matriz de permutación (intercambio de filas)

Resolver

2x + y + 2z = 1

x + y + 3z = 2

x + 3y + z = 1

En forma matricial sería

2 1 2 x = 1

1 1 3 y = 2

1 3 1 z = 1

La matriz

2 1 2

A = 1 1 3

1 3 1

corresponde a una matriz cuya inversa fue calculada en el capítulo 3 como:

8 -5 -1

A^-1 = (1/10) -2 0 4

-2 5 -1

La solución del sistema propuesto, utilizando la matriz inversa sería:

8 -5 -1 1 -3 -3/10

x = A^-1 b = (1/10) -2 0 4 2 = (1/10) 2 = 2/10

-2 5 -1 1 7 7/10

De donde concluimos que x₁ = -3/10, x₂ = 2/10, x₃ = 7/10

Utilizaremos ahora la descomposición LU para recalcular estos valores, así

Por comodidad permutamos Las operaciones F_{2 -} 2F₁

La 1ra. Y 2da. filas y F_{3 -} F₁La operación F_3
+ 2 F₂en U

2 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3

A = 1 1 3 2 1 2 2 -1 -4 2 -1 -4

1 3 1 1 3 1 1 2 -2 1 -2 10

generan los números genera el número -2

+2 y +1 (inversa) (inversa)

Como en el proceso intercambiamos la 1ra. Y 2da. filas, verifique que:

1 0 0 1 1 3 1 1 3

LU = 2 1 0 0 -1 -4 = 2 1 2

1 -2 1 0 0 -10 1 3 1

Esta matriz es, por supuesto, A con la 1ra. y 2da. filas intercambiadas o sea que para resolver el sistema de ecuaciones adecuadamente debemos recordar que los coeficientes de las dos primeras filas del sistema de ecuaciones han sido intercambiados y por lo tanto debemos intercambiar las posiciones de los parámetros correspondientes

Por lo tanto, el vector de los parámetros para la descomposición LU es

2 1

1 en lugar de 2

1 1

Procedamos.

Resolvemos primero Ly = 1

o sea

y₁ = 2

2y₁+y₂ = 1

y₁- 2 y₂+ y₃ = 1

De donde y₁= 2, y₂ = -3, y₃= -7

Resolvemos ahora

Ux = -3

-7

o lo que es equivalente,

x₁+x₂+3 x₃ = 2

- x₂- 4 x₃= -3

-10 x₃= -7

Por lo tanto: x₁ = - 3 / 10 , x₂ = 2/ 10 , x₃ = 7/ 10

Respuesta que coincide con la hallada anteriormente por medio de la matriz inversa.

Este método de descomposición LU para resolver sistemas de ecuaciones u obviar el cálculo de la inversa presenta grandes ventajas además de su sencillez, que se pueden apreciar consultando el apéndice sobre Algoritmos, condición y estabilidad

Utilización de la descomposición LU para calcular la matriz inversa

El siguiente método lo presentamos como una alternativa cuando se requiere calcular la matriz inversa, una vez se ha calculado la descomposición LU.

En el ejemplo anterior descompusimos a la matriz

2 1 2

A = 1 1 3

1 3 1

en la forma

A = PLU,

donde P es una matriz de permutación, debido a que intercambiamos la 1ra. y 2da. filas de A, lo cual no era indispensable mas nos permitió utilizar el 1, primer elemento de la segunda fila como pivote para lograr ceros en la primera columna de A, lo cual nos pareció conveniente. Si hubiesemos utilizado una calculadora, a riesgo de perder precisión por la presencia de error por redondeo o truncamiento, propio de computadoras y calculadoras, no hubieramos intercambiado filas y tendríamos la descomposición LU de A. Como

1 0 0 1 1 3 1 1 3

LU = 2 1 0 0 -1 -4 = 2 1 2

1 -2 1 0 0 -10 1 3 1

Utilizaremos esta descomposición para calcular la matriz inversa A^-1 de

2 1 2

A = 1 1 3

1 3 1

Solución: Para calcular la matriz inversa de A, debemos resolver la ecuación matricial

AX = I, I es la matriz idéntica

En caso de que esta ecuación tenga solución, la matriz X será la inversa de A.

Restringiéndonos a matrices de orden 3, lo cual no invalida el método que en cualquier caso es similar, consideremos a X como una matriz particionada en sus columnas, luego

X = ( X_1,X_2,X₃ )

Por lo tanto AX = I es equivalente a A ( X_1,X_2,X₃ ) = ( AX_1,AX_2,AX₃ ) = ( e_1,e_2,e₃ ), donde

1 0 0

e₁= 0 e₂= 1 e₃= 0

0 0 1

son los vectores columna de la matriz idéntica.

Basta por lo tanto resolver por separado las ecuaciones matriciales

AX₁ = e_1,AX₂ = e_2,AX₃ = e₃

Resolveremos cada una de estas ecuaciones matriciales utilizando la descomposición LU de A.

Sabemos que salvo el intercambio de la 1ra. y 2da. filas, la descomposición LU de A está dada por

Filas de A

1 0 0 1 1 3 1 1 3 intercambiadas

LU = 2 1 0 0 -1 -4 = 2 1 2

1 -2 1 0 0 -10 1 3 1

Al resolver AX₁ = e₁, debemos por lo tanto resolver

0 intercambio de las “filas” 1ra. y 2da. de e₁

LU X₁ = 1

Del mismo modo, en lugar de

0 1 intercambio de las

LU X₂ = 1 , resolveremos LU X₂ = 0 “filas” 1ra. y 2da. de e₂

0 0

El sistema 0

LU X₃ = 0

no sufrirá cambios ya que el intercambio no afectó a la tercera fila.

Solución de

LU X₁ = 1

Resolveremos primero

Ly = 1

así

y₁ = 0

2y₁+y₂= 1

y₁- 2 y₂+y₃ = 1

Por sustitución regresiva: y₁ = 0, y₂ = 1, y₃ = 2,

Ahora resolveremos

Ux = 1 o sea:

x₁+x₂+3 x₃ = 0

- x₂ - 4 x₃= 1

-10 x₃= 2

Por lo tanto: x₁ = 8 / 10 , x₂ = -2/ 10 , x₃ = -2/ 10

Luego, la primera columna de la matriz inversa es

8 / 10

-2 / 10

En consecuencia nuestra matriz inversa comienza así:

8/10 × ×

A ^-1 = -2/10 × ×

-2/10 × ×

Esta columna coincide con la primera columna de A ^-1 ya calculada.

De manera semejante debemos ahora calcular

LU X₂ = 0

Resolveremos primero

Ly = 0

así

y₁ = 1

2y₁+y₂ = 0

y₁-2 y_{2
+}y₃ = 0

Por sustitución regresiva: y₁ = 1, y₂ = -2, y₃ = -5,

Ahora resolveremos

Ux = -2 o sea:

-5

x₁+x₂+3 x₃ = 1

- x₂ - 4 x₃= -2

-10 x₃= -5

Por lo tanto: x₁ = -5 / 10 , x₂ = 0 , x₃ = 5 / 10

En consecuencia ya tenemos dos columnas de nuestra matriz inversa, así:

8/10 -5/10 ×

A ^-1 = -2/10 0 ×

-2/10 5/10 ×

Estas columnas coinciden con las dos primeras columnas de A ^-1 ya calculadas.

De manera semejante debemos ahora calcular

LU X₃ = 0

Resolveremos primero

Ly = 0

así

y₁ = 0

2y₁+y₂= 0

y₁- 2 y₂+y₃ = 1

Por sustitución regresiva: y₁ = 0, y₂ = 0, y₃ = 1,

Ahora resolveremos

Ux = 0 o sea:

x₁+x₂+3 x₃ = 0

- x₂ - 4 x₃= 0

-10 x₃= 1

Por lo tanto: x₁ = -1 / 10 , x₂ = 4 / 10 , x₃ = -1 / 10

En consecuencia ya tenemos nuestra matriz inversa, así:

8/10 -5/10 -1/10

A ^-1 = -2/10 0 4/10

-2/10 5/10 -1/10

Resultado que coincide en su totalidad con el valor de A ^-1 calculado en el capítulo 2. Además puede verificarse por simple multiplicación que AA ^-1 = I .

Problemas propuestos

1) Descomponga la matriz

1 2 1

A = 2 6 3 en su forma LU o PLU.

3 8 5

Ayuda:

El resultado final de la descomposición LU, salvo intercambios de filas que usted efectúe es:

1 2 1

2 2 1 . En consecuencia

3 1 1

1 0 0 1 2 1

L = 2 1 0 U = 0 2 1

3 1 1 0 0 1

2) A partir de la descomposición LU de A, anterior, calcule A ^–1

3) Descomponga las siguientes matrices en su forma LU o PLU. La matriz P se puede describir explícitamente por intercambio de filas en la matriz idéntica o señale en palabras cuáles filas se han intercambiado en la posición LU.

2 3 1 0 1 0 1 3 6 -1 2 0 2 1 1

a) 1 3 3 b) 2 2 1 c) 4 2 3 d) 0 0 1 e) 4 1 2

3 3 1 3 3 1 0 2 4 1 1 0 2 -1 2

6 2 1 1 2 3 1 1 -1 1 -1

f) 3 1 1 g) -1 1 1 1 h) 0 1 2 3

2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1

0 0 1 1 -3 0 1 2

Respuestas parciales

Descomposición LU.

a) La descomposición sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

1 3 3

2 -3 5 donde las filas 1ra. y 2da. han sido intercambiadas

3 2 2

0 1 0 1 0 0 1 3 3

En tal caso la descomposición PLU = 1 0 0 2 1 0 0 -3 -5

PLU sería: 0 0 1 3 2 1 0 0 2

E₁₂ , en lugar de I

P L U

b) La descomposición sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

1 3 3

2 -3 5 donde las filas 1ra. y 2da. han sido intercambiadas

3 2 2

Salvo este intercambio, la correspondiente descomposición LU sería:

1 0 0 1 3 3

LU = 2 1 0 0 -3 5 3 2 1 0 0 2

c) La descomposición LU sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

1 3 6

4 -10 -21

0 -2/10 -2/10

d) La descomposición LU sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

-1 2 0

1 -1 0

0 0 1

e) La descomposición LU sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

2 1 1

2 -1 0

1 2 1

f) La descomposición LU sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

6 2 1 salvo que las filas 2da. y 3ra. han sido intercambiadas.

1/3 1/3 2/3

1/2 0 1/2

g) La descomposición LU sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

1 2 3 1

-1 3 4 2

2 -1 -2 1

0 0 -½ 3/2

h) La descomposición LU sobrescrita podría ser (efectúe el proceso)

1 -1 1 -1

0 1 2 3

1 3 -6 -7

-3 -3 -10/6 1

4) Con los datos de la matriz A del problema 1 y a partir de la descomposición LU, resuelva el sistema de ecuaciones

Ax = b, donde b = 2

5) Con la ayuda de la descomposición LU o PLU de las matrices A del problema 3 resuelva los sistemas de ecuaciones para los valores del vector b.

Para a), b), c), d), e), f), tome b = -1

Para g), y h), tome b = 2

6) Utilizando las descomposiciones LU o PLU de las matrices A del problema 3, halle las matrices inversas cuando existan.

7) Utilizando las descomposiciones LU o PLU de las matrices A de los problemas 1 y 3, calcule sus determinantes.

Ayuda: Como det(AB) = det(A) . det(B), entonces det(LU) = det (L) . det (U),

det(PLU) = det(P) . det(L) . det(U)

Los determinantes de las matrices de permutación P, si se utilizan tienen la siguiente propiedad

det (P) = 1 ó det(P) = -1

Ademas como las matrices L y U son triangulares , su determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

Tomemos como ejemplo el caso de la matriz A de 3) a).

2 3 1

A = 1 3 3 = PLU, tenemos que

3 3 1

1 0 0 1 3 3

det (L) = 2 1 0 = 1 × 1 × 1 = 1 det (U) = 0 -3 -5 = 1×(-3)×2 = -6

3 2 1 0 0 2

Como las filas 1ra. y 2da. fueron intercambiadas, entonces el determinante de A es – (-6) = 6, puesto que al intercambiar dos filas el determinante cambia de signo. Otra razón del cambio de signo es que la matriz P se obtiene de la matriz idéntica al intercambiar las filas 1ra. y 2da., por lo tanto det(P)=-det(I) = -1, ya que det(I) = 1.

Luego det(A) = det(PLU) = det(P).det(L).det(U) = -1×1×(-6) = 6

8) Escriba un ensayo presentando un método para determinar en cuáles casos el determinante de una matriz de permutación P es 1 y en cuáles es –1.

Sugerencia: Las matrices de permutación son del tipo E_ij(obtenida al intercambiar dos filas de la matriz idéntica I) o son producto de matrices de tal tipo.

Cada matriz E_ij con i ¹ j tiene la propiedad det(E_ij)= -1.

Luego si en el proceso de ha realizado un solo intercambio, concluimos que | P | = -1, si dos, P |= (-1)×(-1) = 1, si tres | P | =(-1)×(-1)×(-1) = -1, etc.

9) Escriba un ensayo comparando la conveniencia o nó de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales en comparación con otros métodos como el de Gauss o el del cálculo de la matriz inversa. Compárelos a la luz del número de multiplicaciones (y/o divisiones) requeridas. Puede consultar algunos de los apéndices para su elaboración.

10) Escriba un ensayo describiendo otras aplicaciones de la descomposición LU. Puede consultar algunos de los apéndices para su elaboración.

11)

a) A partir de la matriz idéntica I₃ de orden 3, produzca todas las matrices de permutación de orden 3. Cuántas son?.

1 0 0 0 1 0 1 0 0

Ayuda: P₁ = 0 1 0 P₂ = 1 0 0 P₃ = 0 0 1 , etc.

0 0 1 0 0 1 0 1 0

b) Compruebe con 4 ejemplos las siguientes proposiciones:

i) El producto de dos matrices de permutación es una matriz de permutación

ii) Si P es una matriz de permutación de orden n, entonces P^k = I, para alguna potencia k de P, k £ n ! (leáse: n factorial = 1×2×3×...×n).