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ALGEBRA LINEAL PARA TODOS
José Arturo Barreto G.,M.A
The
University of Texas at Austin
Regresión
Lineal
Preliminares
En el capítulo de vectores en Rn, vimos
que cuando el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b no tiene solución, podemos siempre resolver Ax= b,
El cual siempre tiene
solución ya que b es la
"proyección" de b sobre el
subespacio generado por las columnas de A.
En
ese capítulo solucionamos el problema Ax
= b, en donde A era una matriz de orden 2, con vectores columna (
columnas), linealmente independientes, proyectando a b sobre el subespacio generado por las columnas de A, Gen(A).
Para resolver el problema
procedimos así:
i)
Calculamos una base V1 , V2 , de Gen
(A).
ii)
Calculamos la proyección b , de b en Gen(A).
iii)
Procedimos a resolver Ax = b.
La solución x así obtenida se denominó una solución por mínimos cuadrados de Ax =
b.
En tal capítulo, a título
de ilustración, resolvimos, por mínimos cuadrados, el sistema de ecuaciones
lineales simultáneas:
2 x + y =
1
2 x - y = 2
x + y = 1
La matriz de los
coeficientes del sistema de ecuaciones planteado es .
Sus
vectores columna son:
Como v1
y v2 , son
linealmente independientes, anteriormente construimos a partir de ellos, un
conjunto ortogonal de Gen(A),
formado por:
El proceso de
ortogonalización aplicado, exigía que los dos vectores no fueran colineales,
esto es que fuesen linealmente independientes.
La condición de
independencia lineal de n vectores v1 , v2 , … , vn, es que la ecuación
l1 v1 +
l2 v2 +
… + ln vn =
0,
tenga
como única solución:
l1 = l2 = … = ln
= 0
o sea que la única
solución sea la trivial l
= 0.
Esta condición la satisfacen
plenamente los vectores v1 y
v2.
Por esta razón se pudo
aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Si no, no se podría
aplicar. Aún más v1 y
v2 son una base de
Gen(A), ya que además de ser
linealmente independientes, por la propia definición de Gen(A), lo generan.
La situación se complica
cuando las columnas de A no son
linealmente independientes como veremos en el ejemplo siguiente.
Hallar el conjunto
solución del sistema de ecuaciones lineales:
x +
y + z
= 1 2x + y = 2 - x + 2y + 5z = -3
Utilizando el método de
Gauss, procedemos así:
ş ş ş
x +
y + z
= 1
- y - 2z
= 1 0z = 1
El sistema de ecuaciones
equivalente : (*)
No tiene solución (es
inconsistente).
Procederemos a hallar su
solución por mínimos cuadrados:
Tomemos los vectores
Veamos si estos vectores son
linealmente independientes.
A partir de la ecuación: l 1 A1 + l 2 A2 + l 3 A3 = 0,
1 1 1 l
1 2 +
l 2 1
+ l3 0 =
0 -1 2 5
O equivalentemente:
l
1 + l
2 + l
3 = 0 2l
1 + l
2 = 0 - l
1 + 2l
2 + 5 l
3 = 0
La cual equivale a:
Equivalente a resolver el
sistema homogéneo Al = 0,
asociado al sistema no homogéneo
planteado arriba en (*).
El sistema homogéneo
siempre tiene al menos una solución, la trivial: l = 0. (l 1 = l 2 = l 3 = 0).
l
1 + l
2 + l
3 = 0 2l
1 + l
2 = 0 - l
1 + 2l
2 + 5 l
3 = 0
Si la única solución es la trivial, los vectores
son linealmente independientes. Si hay al menos una solución, l ą 0, los vectores son linealmente dependientes.
Resolvamos por Gauss, el
sistema homogéneo:
Este es exactamente el
sistema homogéneo asociado planteado al iniciar el problema. Su solución por
Gauss, siguiendo los mismos pasos con los cuales se intentó resolver tal
problema por Gauss, pero cambiando el parámetro por el vector 0, llegamos a:
El nuevo sistema a
resolver es por lo tanto:
l
1 + l
2 + l
3 = 0
-l
2 - 2l
3 = 0 0 l
3 = 0
Vemos que l 3 puede
tomar cualquier valor, no necesariamente 0. Si l 3
= 1, concluimos que l 2
= -2 y
l 1
= 1 otros, infinitos, valores de l son válidos.
En consecuencia, los
vectores columna de A son
linealmente dependientes y por ello no podemos calcular a partir de ellos, una base ortogonal de Gen(A).
Sin embargo los valores
calculados l 3 = 1,
l 2 =
-2, l 3 = 1,
nos permiten afirmar que:
A1 - 2 A2 + A3 = 0,
Luego: A1 = 2 A2 - A3 , ( o A2 = ˝ A1 + ˝ A3 , etc.),
Como A1 se puede expresar como combinación lineal de A2 y A3 , entonces A1 se puede extraer del conjunto { A1 , A2 , A3 }
de generadores de Gen(A) y el
conjunto restante { A2 , A3 } todavía genera a
Gen(A). Ya que
si x
e Gen(A), entonces x = l1 A1 +
l2 A2 +
l3 A3
, para alguna tripla l1, l2, l3
,
por
definición de Gen(A).
Sustituyendo
a
A1 por 2
A2 - A3
, tenemos que:
x = l1 (2 A2 - A3) + l2 A2 + l3 A3
= (2l1 + l2)
A2 + (l3
-l1) A3
es
una combinación lineal de los vectores columna, restantes A2 , A3
Luego A2 y A3 ,
generan Gen (A).
Será el conjunto { A2 , A3 }
una base de Gen(A)., para así
construir por el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt una base ortogonal
de Gen(A) ?.
La respuesta es sí, ya
que estos dos últimos vectores son linealmente independientes.
Planteemos la ecuación
que nos permite verificar la independencia lineal:
Sea l2 A2 +
l3 A3
= 0,
Entonces:
Lo cual es equivalente a:
Por consiguiente,
En consecuencia A2 y A3 , son linealmente
independientes. Lo son también A1 y A3 , por lo tanto la
escogencia de una base de Gen(A),
tiene muchas alternativas.
A partir de
Construiremos la base
ortogonal de Gen(A), que nos
permitirá proyectar el vector b en b e Gen(A).
Sea u1 = v1=
Luego,
u2 = v2 - ( < v2, u1
> / < u1, u1 > ) u1 =
Ya que < v2,
u1 > = v2T u1 = (1
0 5) = 11
< u1,
u1 > = u1T u1 = (1
1 2) = =
6
Luego,
una base ortogonal de Gen(A)
(compruebe que es ortogonal), es:
La
proyección b de b en Gen(A), está dada
por:
b =
( < b, u1
> / < u1, u1 > ) u1 + ( < b, u2
> / < u2, u2 > ) u2 =
=
Ya que
Procedemos a resolver Ax =
b
En lugar de Ax = b
Hallemos, por lo tanto las soluciones de:
Al observar la variación, diferencia o aproximación
de ,
la cual podría medirse con la "norma"
|b - b|
O distancia de b a b (o de
b a b ),
y
si aceptamos una aproximación a la décima
1,1
» 1, 2,9 » 3, - 3,03 »
-3,
Podremos pensar que la solución por mínimos
cuadrados va a modelar satisfactoriamente a los datos. Esto parece así, pero no
podemos estar seguros hasta que no hagamos los cálculos y consideremos por
diferentes criterios, así sean artesanales, que los datos "aproximan
satisfactoriamente" a los resultados.
Lea en los apéndices temas relacionados con estabilidad de algoritmos y condición
de problemas.
Resolveremos por Gauss, el sistema de ecuaciones
lineales que aproxima al sistema de ecuaciones planteado, por mínimos
cuadrados, así:
Como
puede observarse, las tres primeras columnas de las matrices aumentadas, o sea
la matriz de los coeficientes es precisamente la matriz de los coeficientes del
sistema incompatible planteado en este problema y sólo se ha cambiado el vector
b
por .
Concluimos que el conjunto de las soluciones por
mínimos cuadrados, debe satisfacer
x
+ y
+ z = 8/7 y
+ 2z = -22/35
Todas las soluciones son soluciones por mínimos
cuadrados. Cuál escoger?. Habrán criterios adicionales en el problema real?.
Una solución podría corresponder a z= 0, de donde y
= -22/35, x= 62/35.
Otra podría ser (escogiendo valores por simple
comodidad para los cálculos) y = 0, de donde z= -11/35, x= 51/35. Las
posibilidades de solución son infinitas.
Todas cumplen por supuesto con la condición Ax = b. Por lo tanto, todas minimizan
la distancia a Gen(A).
Es de esperar que al
tener mas ecuaciones que incógnitas, la matriz de los coeficientes de Ax =
b, el sistema original, sea de rango completo y no defectuoso, es
decir, que sus columnas sean linealmente independientes. En este caso la solución
es única puesto que la expresión
lineal Ax = b será del tipo,
x1 A1 +
x2 A2 + … + xn An = b
la cual es única ya que { A1 , A2 , … , An
}
sería una base de Gen(A).
Solución por mínimos cuadrados utilizando la
ecuación normal
Como b - b
es ortogonal a Gen(A) = Gen { A1 , A2 , … , An
}
, donde las Ai son las columnas de A, entonces:
<
A1 , b - b > = < A2 , b - b > = … = < An , b - b
> = 0
En consecuencia, los productos matriciales
siguientes son válidos:
Pero estos productos son precisamente las filas
de A T ( b
- b ) , de donde
concluimos que:
A T
( b - b ) = 0
Y
en consecuencia
A
T b - A T b = 0,
Lo cual es equivalente a:
(*) A T b =
A T b
Sabemos que
Ax = b
no tiene solución
Mas sin embargo, si
pre-multiplicamos al sistema consistente Ax
= b por AT, obtenemos el sistema consistente (con solución. Por
qué?):
AT
Ax = AT b,
El
cual es equivalente por (*) a:
AT Ax =
AT b,
Que
por la misma razón anterior (Cuál?), siempre tiene solución. Además toda
solución de
(**) AT Ax = AT
b,
Es una solución de (***) Ax =
b,
Aceptando que estos dos sistemas ( (**) y (***) son equivalentes (Lo
son?), en lugar de resolver la ecuación
Ax = b,
Resolvemos
la ecuación normal
AT Ax =
AT b,
Simplificando así nuestro
método de solución por mínimos cuadrados.
Si además AT A es una matriz no-singular (inversible),
la ecuación normal tendrá solución única. Este caso corresponde a matrices A de
rango completo ( no defectuosas en rango), con columnas linealmente independientes. Para una mayor comprensión del tema
revise los apéndices correspondientes del proyecto "Algebra Lineal para
Todos" en www.oocities.org/laboticaxx1
Una breve mirada a las
aplicaciones
Utilizando la ecuación
normal, resolveremos por mínimos cuadrados un sistema de ecuaciones que
resolvimos en el capítulo de vectores en Rn utilizando el proceso de
ortogonalización de Gram-Schmidt.
Los resultados se podrán
comparar ya que la matriz AT A es, en este ejemplo, de rango
completo y por lo tanto, obtendremos una solución única que debe coincidir con
la hallada en tal capítulo. No tendremos que pasar por lo tanto por el
complicado proceso de ortogalización.
Resolveremos por mínimos
cuadrados el sistema inconsistente:
2
x + y = 1 2
x - y = 2 x + y = 1
Solución:
A =
AT A = = AT b = =
La ecuación normal
,
Es por lo tanto: AT Ax = ATb,
O sea,
=
cuya solución única es x = 21/26, y = -7/26
Esta solución es exactamente la obtenida por el
proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Al reemplazar los valores así hallados en el
sistema original
2 x + y =
1
2 x - y = 2
x
+ y = 1,
no obtendremos, por
supuesto, el vector b =
sino a su proyección b, en el subespacio
generado por las columnas de A.
Sustituyendo, encontramos que
b =
Coincidiendo con los resultados hallados
anteriormente.
Ejemplo:
Por dicha razón, no es posible hallar una recta que pase por P(1, ˝), Q(2,1) y R(3,2), ya que la recta que pasa por P y Q es la citada anteriormente y el único punto de dicha recta de abscisa 3 es R(3,3/2 ) y nó R(3,2).
Por
supuesto, que al colocar valores a las variables x e y, en una ecuación de
la forma y = mx + b, a partir de la tabla:
Llegaremos al sistema inconsistente
x = |
o
de forma equivalente:
=
tal sistema tiene solución única m = ľ ,
b= -1/3
La ecuación de la recta sería: (*) y = ľ
x - 1/3
Sustituyamos valores para ver que tan lejos pasa de
los puntos o que tan bien los ajusta
Sustituyendo los valores de x, primera columna de la tabla, a partir de (*), obtenemos la tercera columnaa valores aproximados de b ( o y) por simple sustitución.
Dibujemos la recta obtenida y observemos qué
indican las desviaciones o componentes del
vector
2 0,08 1 - 0,17 0.08 0 1 2 3 b
– b.
Hemos
representado las desviaciones r1
= 0,08, r2 =
- 0,17, r3 =
0,08
Una
medida global de la desviación es la norma | b – b | = Ö (r12
+ r22
+ r32
) ≈ Ö
0,0417 »
0.204.
El
método de los mínimos cuadrados minimiza la suma de los cuadrados de dichas
desviaciones.
La
recta calculada es la que mejor aproxima los datos siguiendo el método de los
mínimos cuadrados. Haremos una comparación gráfica con la recta en tono gris,
que pasa por los primeros dos puntos P(1, ˝) y Q(2,1).
Las
dos primeras desviaciones para la recta gris son r1
= r2 = 0, ya
que la recta gris pasa por los dos primeros puntos. La única desviación
diferente de 0 es , en este caso, r3
= 2 – 1.5 = 0,5. (recuerde que la ecuación de la recta gris
es: y = ˝ x. En este caso Ö (r12
+ r22
+ r32
) = Ö 0,25 = 0,5.
En
cualquier caso, pese a que la recta y =
˝ X, PASA EXACTAMENTE POR DOS DE LOS TRES PUNTOS, su desviación en el tercer
punto es tal que por supuesto no minimiza la suma total de los cuadrados de las
desviaciones. Esto se puede verificar estudiando otras rectas como la que pasa
exactamente por P(1, 1/2) y R(3,2), o
la que pasa por P(2,1) y R(3,2).
En
consecuencia reafirmamos que la solución que optimiza la aproximación por
mínimos cuadrados se halla resolviendo la ecuación normal.
El
método de los mínimos cuadrados se puede aplicar tambien en el caso en que se
desee ajustar una serie de datos por una función dada que es combinación lineal de otras funciones,
siempre y cuando el problema pueda reducirse a una solución por mínimos cuadrados
de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas.
Ejemplo:
Halle
el polinomio de segundo grado p(x) = c
+ dx + ex2 , que mejor ajusta, en el
sentido de lkos mínimos cuadrados, los datos:
Sustituyendo x
e y en p(x) = c + dx + ex2 , obtenemos:
La
solución por mínimos cuadrados del sistema de ecuaciones anterior, es una
solución de la ecuación
c - d + e
= 2 c =
1 c + d + e =
6,01 c +2d+4e =16,99
O
sea de AT Ax = AT b,
Donde
A =
La
solución es :
En
consecuencia, el polinomio de segundo grado buscado es
p(x) = 1,006 + 2,003x + 2,995x2 ,
La
proyección b, de b, sobre el subespacio de las columnas
de A es: b = Como b=
r1 = 2 -1,998 = 0,002 r2 = 1 - 1,006 = -0,006 r3 = 6,01 - 6,004 = 0,006 r4
= 16,99 -16,992 = -0,002
Las
desviaciones ri son:
La
solución en este caso parece bastante aceptable.
Una
medida de cuanto ajusta la solución por mínimos cuadrados a los m datos, podría ser
S = (r12 + r22
+ … + rm2)
/ m
En
este caso sería s = 0,00008 / 4 = 2 x 10-5.
Otra
medida podría ser | r |
/ m , donde r es el vector cuyas
componentes son las desviaciones ri.
Los mismos datos ajustados
por una recta deben proporcionar resukltados menos halagadores.
Por
supuesto que la medida de la "bondad" de los ajustes depende también
del tamańo de los datos ya que una desviación "pequeńa" para datos
"pequeńos" puede no ser suficientemente halagadora, como lo sería una
desviación razonable para datos de "gran tamańo". Existen por lo
tanto diferentes propuestas de fórmulas que "miden" la bondad del
ajuste.
Planteamos
a continuación el siguiente "curioso" ejemplo:
Asuma
que se quiere medir la temperatura en un lugar tomando "n" pruebas,
así:
Prueba i Temperatura Ti
No
es de esperar que todas las temperaturas sean iguales auncuando hayan sido tomadas
a la mosma hora por diferentes razones: inexactituid del instrumento de medida,
errores "menores" del operario, factores climáticos u otras razones.
Nuestra
temperatura resultante t , debe satisfacer el sistema de ecuaciones
simultáneas:
t = T1
t
= T2
...
t
= Tm
Si
las temperaturas Ti
no
son todas iguales, este sistema será inconsistente.
Como
su forma matricial es A t = T,
1 T1
1 T2
En
donde A = ... ,t = (t) y
T = ...
1 Tm
1 T1
1 T2
AT A t = ( 1 1
1 … 1 ) … ( t ) = (m t ) y ATT = (1 1
1 … 1) …
… m 1's 1 m 1's Tm
= T1 +
T2 +T3
+ …+ Tm
Tenemos que :
m t = T1 + T2 +T3 + …+ Tm
Concluimos
que la solución por mínimos cuadrados es:
t = (T1
+ T2
+T3
+ …+ Tm
) / m
Conclusión:
La respuesta que optimiza estas mediciones en el sentido de los mínimos
cuadrados es el promedio o media aritmética.
Ejemplos
tomados de otras fuentes
Dos
ejemplos aplicados a aerolíneas
Los
datos de los siguientes dos ejemplos son tomados del libro "Estaděstica
Aplicada a los negocios y a la
Economía". Autor: Webster. Ed.
McGraw Hill.
La
compańía HOP SCOCHT AIRLANES desea hallar una relaciňn lineal entre sus gastos
de publicidad en cada uno de 15 meses y el número de pasajeros que movilizó
mensualmente. A partir de la siguiente tabla se efectuaron los cŕlculos de regresión.
Asumiendo
que la relación funcional entre las variables
P
: Número de pasajeros movilizados
G : gastos en publicidad,
es
del tipo lineal. P = mG + b
y
reemplazando en la ecuaciňn anterior los datos recibidos, trataremos de
calcular por regresión lineal, los coeficientes m y b, obteniendo el siguiente sistema de
ecuaciones simultáneas en las incognitas m
y b.
10m + b
= 15 12m + b
= 17 8m + b = 13 17m + b
= 23 10m + b
= 16 15m + b
= 21 10m + b
= 14 14m + b
= 20 19m + b
= 24 10m + b
= 17 11m + b
= 16 13m + b
= 18 16m + b
= 23 10m + b
= 15 12m
+ b = 16 (*) (**)
Obtenemos
el sistema de 15 ecuaciones simultáneas con dos incógnitas:
(*) Gastos Publicidad (**) Pasajeros movilizados
El
sistema anterior es a todas luces inconsistente.
Planteemos
el sistema matricial Ax = b
En
donde
A = b =
Pasajeros En
1.000s
Revisando
cuidadosamente las filas y las columnas que intervienen en los productos,
concluimos que:
AT A =
=
= AT b = = ,
Debemos
resolver el sistema de ecuaciones simultáneas:
2469 m +
187 b = 3490 187m
+ 15 b = 268
Cuya
soluciňn aproximada estŕ dada por m =
1,08 y b= 4,39.
Por
lo tanto: P
= 1.08 G + 4,39
es
la ecuaciňn que relaciona por regresiňn lineal, al número de pasajeros
transportados mensualmente, con los gastos mensuales en publicidad.
Esto
nos permitirěa predecir "aproximadamente", el número de pasajeros que
se podrían transportar a partir de los gastos mensuales en publicidad.
Este
método fue utilizado por el astrónomo Matemático Carl Gauss para predecir la
posición del desaparecido asteroide "Ceres" en 1801.
Si
a los datos anteriores les anexamos la columna de ingreso nacional mensual (en
billones de dólares) así:
Al
plantear la relación lineal entre las variables
P:
Pasajeros, G: Gastos
publicidad/mes, I: Ingreso
Nacional/mes
Y
al plantear tambien, la relación funcional lineal:
P = m1 G + m2 I + b
Y
al sustituir los datos, llegamos al sistema de 15 ecuaciones lineales con tres
incognitas
Planteando
la ecuación normal tenemos que:
=
=
:
Los
cálculos se efectuaron a partir de valores tomados de las tablas siguientes
Y
AT P donde P es la matriz
de los pasajeros transportados/mes, es:
= = = =
La
solución a este problema según Webster es:
P = 0,84 P + 1.44 I + 3,53
Note
como un problema con tantos, que involucraba matrices de 15 filas, se ha
reducido por la ecuación normal a un problema con matriz de coeficientes,
cuadrada de orden 3, el número de columnas de la matriz original.
Ejercicios
a) Halle la suma de las desviaciones al cuadrado.
b) Calcular | b -
b
|
c) c)
Calcule | b -
b
|
/ | b |
(medida de error relativo
d) Compare las medidas S r i 2 y
(Ö ( r i 2 )) / | b |, de las desviaciones de los datos
respecto a los diferentes problemas y elabore una conclusión sobre la mejor
respuesta, por mínimos cuadrados, comparándolas en cada caso con estas medidas,
respecto a la respuesta dada por la solución de la ecuación normal .
i ) La recta que pasa por P(1,1),
Q(4,2).
(R. / Ecuación de dicha recta, la cual debe ser calculada: y = 2x - 1).
ii) La recta que pasa por P(1,1),
R(2,3).
iii)La
recta solución por mínimos cuadrados hallada anteriormente.
2) Halle
la ecuación de la recta y = cx + d que mejor ajusta los puntos P(1,2), Q(3,5),
R(4,8) en el sentido de los mínimos cuadrados. Calcule medidas de desviación
similares a las del problema 1d). R)
y = 27/14 x - 1/7.
3) Demuestre
que en el cálculo de la ecuación normal, para calcular la recta,
que
mejor ajusta los datos
por
la técnica de los mínimos cuadrados, participan las matrices:
4) Determinar
una ecuación de la forma P = c + d E,
que relacione por la técnica de los mínimos cuadrados, la edad promedio E de un
grupo de personas con su presión sanguínea P, teniendo en cuenta los siguientes
datos
Desviaciones » r i
R/ P = 65,1 + 1,38 E .
5) En
cada uno de los problemas a), b), c),
d), halle las rectas que mejor ajustan los datos en cada una de las
tablas, en el sentido de los mínimos cuadrados. Calcule las desviaciones r
i .
a) b) c) d)
6) Las
siguientes son mediciones de alturas de plantas de frijol de soya de un campo,
efectuando una selección al azar cada semana.
Calcule
la ecuación de la recta A = dE + c que mejor ajusta las variables, utilizando
la técnica de los
mínimos
cuadrados. Calcule las desviaciones r i
. R/ 6,143 E - 0,572
7) La siguiente tabla relaciona los diámetros (x)
con los pesos (y) de bulbos de cebollas.
Halle
utilizando la técnica de los mínimos cuadrados, los valores de c
y d, en la relación
y
= c x d
utilizando
la ecuación equivalente: log y = log c
+ d log x.
Calcule
las desviaciones.
8) La
siguiente tabla relaciona los censos de población ( y ) de una ciudad, con el tiempo
transcurrido en décadas, a partir de 1860
Halle
por el método de los mínimos cuadrados los valores de c y d, que relacionan a las variables en la
ecuación y
= c d x ,
utilizando la ecuación equivalente Log
y = log c + (log d) x
Calcule
las desviaciones r i a
partir de y = c d x .
9) La
siguiente tabla relaciona el peso en gramos (y) de fríjoles verdes recogidos en
un campo a medida que el tiempo (x) en días, transcurre a partir de 0.
a)
Halle utilizando la técnica de los mínimos cuadrados los valores de c
y d que relacionan a las variables en la ecuación y = cx + d. R/ y = -0,0609 x + 38,81
Calcule
las desviaciones r i
.
d) Calcule
utilizando la técnica de los mínimos cuadrados los valores de e
, f , g que relacionan a las variables en la
ecuación:
y
= e + f x + g x 2. Calcule
las desviaciones r i .
Cual
de las dos relaciones encontradas, ajusta con mejor exactitud los datos de la tabla, según su criterio ?
R/ y =
26,3327 + 4,7828 x - 0,2690 x 2.