假如人有十二隻手指...

1. 引言

我們現時之所以通行十進制，顯然是因為人有十隻手指。10這個數字具有以下算術特性：除了1及其本身外，只 有2和5這兩個因數。大於1且小於10並與10「互質」(Relatively Prime)(註1)的整數共有三個：3、7和9。至於 其他小於10的整數(即4、6和8)，它們與10的最大公約數都是2，是一個很小的整數。以上這些特性對我們的乘 除法都有很重要的影響(詳見下文)。

筆者忽發奇想，假如人有十二隻手指並使用十二進制的話，我們的四則運算將會是何種面貌？為何要選擇12？ 這是因為12這個數跟10較接近，而且其算術特性似乎較10「有趣」，12的算術特性如下：除了1及其本身外，它 還有2、3、4和6這四個因數。大於1且小於12並與12互質的整數共有三個：5、7和11。至於其他小於12的整數 (即8、9和10)，它們與12的最大公約數分別為4、3和2，不像10那樣「單調」。

在十二進制下，我們有十二個數碼(Digit)，不妨把它們記作：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B，其中0 至9就是我們熟悉的十進制數碼，A和B分別相當於十進制下的10和11。以下筆者將用下標12來標明十二進制下的 數字(十進制下的數字則沒有標記)，以下是十二進制換算為十進制的一個例子：

如果我們不是靠「數手指」來做加減法，那麼十二進制下的加減法應較十進制略為複雜，這是因為十二進制的 「加法表」比十進制多了很多項。雖然筆者不是心理學家，但我相信在學過加減法的人的頭腦中其實有一個(不 完整的)「加法表」，這個「加法表」不是我們刻意死記的，而是經過千百次計算後不自覺地進入我們的永久記 憶中，最明顯的例子就是6 + 7，相信很多人都能不假思索地講出6 + 7的答案。當然有些加法是要經過少許思 考的，例如9 + 7的答案便似乎不是我頭腦中「加法表」的一部分，每次遇到9 + 7時，我都會進行一種「進1減 1」的思考，即先在7之前加個1，變成17，然後減1，得16。但無論如何，6 + 7的例子說明了我們頭腦中的確存 在著「加法表」。由於十二進制的「加法表」比十進制複雜，進入我們永久記憶的項目較多，所以我認為十二 進制下的加減法可能較十進制略為困難。

2. 乘法

跟加法不同，每個人在學習乘法時都要刻意背誦「乘法表」(在中國稱為「九因歌」)，因此「乘法表 」的複雜程度會直接決定我們學習乘法的難度。在本節筆者將比較十進制下的「九因歌」與十二進制下的 「B因歌」。表面上看，「B因歌」共有11 × 11 = 121句歌訣，比「九因歌」的9 × 9 = 81 句歌訣足足多了40句，「B因歌」似乎比「九因歌」難記得多。可是，如果要背誦的東西有高度規律性，即使數 目很大，也不難記憶，因此我們要比較的應是「九因歌」與「B因歌」的規律性。

在「九因歌」中，1、2和5的歌訣最易記，這是因為這三個數字是10的因數；9雖然不是10的因數，但由於有以 下關係：

9的歌訣因而具有某種規律性，可以概括為

例如「九二一十八」、「九三二十七」...。至於4、6和8，它們的歌訣呈現一種循環性，以4的歌訣為例，如果 我們補上一句附加歌訣「四十中四十」：

那麼容易看到下排其實在重覆上排的模式，6和8的歌訣也具有這個特點。這裡其實有一個規律：4、6、8這三個 數字與10的最大公約數都是2，而10 / 2 = 5，所以這三個數字的歌訣每五句出現一個循環。不過，由於這三組 歌訣中的每一組都只出現兩個循環，其規律性不太明顯。上述規律也適用於3和7，由於這兩個數字與10互質， 即與10的最大公約數都是1，而10 / 1 = 10，所以這兩個數字的歌訣只能每十句出現一個循環，即毫無循環可 言。由此可見，3和7的歌訣是最沒有規律的。

我們可以把上述觀察推廣至十二進制的情況。在「B因歌」中，1、2、3、4和6的歌訣也應很易記，因為這些數 字是12的因數；而B的歌訣也應具有規律性，因為如把11和12分別代替(1)中的9和10，(1)仍然成立。由於8、9 、10與12的最大公約數分別為4、3和2，8、9和A的歌訣分別表現為每三句、每四句和每六句出現一個循環。至 於5和7，它們的歌訣應最沒有規律。以下列出「B因歌」的全部歌訣：

為節省空間，上列歌訣全用阿拉伯數字，且沒有加下標12，但都應理解為十二進制下的數字，例如「26得10」 中的「10」便應理解為10₁₂，即等於十進制下的12。

可以看到，跟「九因歌」一樣，在「B因歌」中有兩個數字(5和7)的歌訣最沒有規律，但1、2、3、4、6和B的歌 訣卻很有規律，其餘的8、9和A的歌訣也有較明顯的循環性。總括而言，雖然「B因歌」比「九因歌」多出40句 歌訣，但其規律性似乎足以抵消它相對於「九因歌」的缺點。

3. 除法

本來除法作為乘法的逆運算，沒有單獨討論的必要，不過由於中國傳統的珠算有一種特別的除法歌訣(稱為 「九歸歌」)(註2)，拿十進制下的「九歸歌」與十二進制下的「B歸歌」比較一下也是饒有趣味 的事。以下先列出「九歸歌」的全部歌訣：

請注意上面對傳統的「九歸歌」作了一些修改。首先，傳統的「九歸歌」凡是「逢X進X」都沒有講清楚當前的 「除數」(Divisor)是甚麼；為清晰起見，我在這些歌訣的首位加上「除數」，例如「1逢1進1」、「2逢2進1」 等。其次，傳統的「九歸歌」是使用「三一三十一」而非上面的「313餘1」；但由於前者容易與乘法歌訣混淆 ，所以我寧可採用後者。第三，傳統的「九歸歌」是使用「九一下加一」而非上面的「911餘1」；但為了使歌 訣的形式更加劃一，我寧可採用後者。

跟「九因歌」一樣，在「九歸歌」中，1、2和5的歌訣最易記。此外，由於

9的歌訣也很有規律性，可以概括為

此外，4、6和8的歌訣也有循環性，但不很明顯。3和7的歌訣按理是最沒有規律的，不過由於3是一個較小的整 數，它的歌訣只有五句，所以影響不大。

以下簡單解釋一下這些歌訣的意義，每一句歌訣的第一個數字代表「除數」，第二個數字(如歌訣不是「X逢X進 X」的形式則須乘大10倍)代表「被除數」(Dividend)，第三個數字代表「商數」(Quotient)，第四個數字(如有 的話)則代表「餘數」(Remainder)。因此，「21添作5」的意思就是，10 / 2 = 5；「326餘2」的意思就是，20 / 3得商6餘2；「2逢6進3」的意思則是，6 / 2 = 3。

請注意上述「九歸歌」除了第1和第9行外，其他行是不完整的，例如第2行便缺少了「23XXX」，這是因為我們 可以綜合運用「九歸歌」中「X逢X進X」與其他形式的歌訣來做某些除法。以下就讓我們計算74 / 3以示範這些 歌訣的運用(註3)，為簡單起見，我們使用以下的俄羅斯式算盤，這種算盤的每檔有10粒珠：

首先把「被除數」74置於算盤最右端，如下圖所示：

上圖中紅色箭頭指著的一檔就是我們當前要處理的一檔(以下簡稱「當前檔」)。由於「除數」是3，我們要運用 3的歌訣。應用「3逢6進2」，先從「當前檔」撥走6粒珠，然後在其左面的一檔(「進」就是指當前左面的一檔) 撥上2粒珠。由於「當前檔」尚餘1粒珠未處理，紅色箭頭仍留在「當前檔」中：

接著應用「313餘1」，把「當前檔」中的1改為3，並在其右面的一檔(「餘」就是指當前右面的一檔)撥上1粒珠 ，紅色箭頭也移至該檔(由此可見，雖然「九歸歌」中沒有「37XXX」的歌訣，但我們可以綜合運用「3逢6進2」 和「313餘1」來做70 / 3)：

接著應用「3逢3進1」，先從「當前檔」撥走3粒珠，然後在其左面的一檔撥上1粒珠：

至此我們已完成計算，根據上圖，我們知道74 / 3的結果為24餘2 (註4)。

在十二進制下，我們同樣可以進行珠算，除了要使用每檔12粒珠的算盤外，還要用到以下的「B歸歌」：

可以看到，在「B歸歌」中，1、2、3、4、6和B的歌訣最易記，這是因為1、2、3、4和6都是12的因數，而把11 和12分別代替(2)中的9和10，(2)仍然成立。至於8、9和A，它們的歌訣也展現出循環性。最有趣的是，5和7雖 然與12互質，但它們的歌訣卻也似乎具有某種規律性。

據我所知，很多學過珠算的人都只懂加、減和乘法，不懂「歸除法」。我揣測這可能是因為「九歸歌」難記(至 今我還是記不牢6、7、8的歌訣)，「B歸歌」的較高規律性或許會令有十二隻手指的人較易學會「歸除法」。

4. 整除性

「整除性」(Divisibility)問題就是有關某一整數能被甚麼整數整除的問題，我們說整數n能被非零 整數m整除(這裡n和m可以是負數)當且僅當存在一個整數k使得n = mk，在「數論」(Number Theory)中，一般把 「m可被n整除」記作

我們在小學時曾學過一些「整除性判定規則」，以下列出首13個正整數的判定規則(請注意由於7和13 的規則較難應用，所以以下提供兩種規則)：

以下是上述規則的一些應用例子。首先看「規則12」的例子，這是「規則3」和「規則4」的結合。由於1728的 末二位數字28可被4整除，並且其各位數字之和1 + 7 + 2 + 8 = 18可被3整除，因此1728可同時被3和4整除， 由此知12 | 1728。其次看「規則11」的例子，由於14641的奇位數字之和是1 + 6 + 1 = 8，偶位數字之和是4 + 4 = 8，這兩者之差8 − 8 = 0可被11整除，因此11 | 14641。接著看7的規則，我們交替使用以上提供 的兩種規則求6049382661能否被7整除。根據「規則7a」，我們先把這個數分為4節：第1節 = 661，第2節 = 382，第3節 = 49，第4節 = 6，然後求661 − 382 + 49 − 6 = 322。接著應用「規則7b」，先把 322的個位數2截去，得32，然後從32減去2的2倍，得28。由於28能被7整除，所以7 | 322，也就是7 | 6049382661。

可是，以上的規則(除了「規則1」外)究竟有何理據？首先考慮「規則8」，給定任何整數n並且其最末三位數字 為m，那麼我們可以把n寫成1000k + m (k可以為0)。若8 | m，則我們可以把m寫成8j。由此有

由於125k + j是整數，所以8 | n。由此證得「規則8」成立，請注意上述證明的關鍵是利用了8是1000的因數這 個事實。利用類似原理，我們也可證明「規則2、4、5和10」也成立。

接著考慮「規則6」，這條規則要用到數論中的以下定理(證明從略)：

定理1：設p為整數，若兩整數m與n互質，並且m | p並且n | p，則mn | p。

由於2與3互質，根據「定理1」，可知若某整數p可同時被2和3整除，則p可被6整除，「規則12」也是基於類似 的理據。

接著考慮「規則7b」，給定任何整數n，我們可以把n寫成10a + b (0 ≤ b ≤ 9)，其中b就是n的個位數。 把n的個位數截去，再從餘下的數中，減去被截個位數的2倍，我們便可得到a − 2b。若這個數可被7整除 ，則我們有a − 2b = 7k，亦即a = 7k + 2b。由此有

由於10k + 3b是整數，所以7 | n。由此證得「規則7b」成立，請注意上述證明的關鍵是利用2 × 10 + 1 可被7整除這個事實。類似地，利用(−4) × 10 + 1可被13整除這個事實，我們可以證明「規則13b 」也成立。

對於其餘的規則，我們要用到「數論」中的「同餘」(Congruence)概念。設n為正整數，我們說兩個 整數p與q是「模n同餘」的(Congruent Modulo n)，記作

當且僅當以n除p和以n除q所得餘數相等。舉例說，我們有6 ≡ 9 (mod 3)，因為這兩個數都可被3整除(即 以3除這兩個數所得餘數均為0)。請注意我們亦可以把「同餘」定義為(證明從略)：

舉例說，由於2 − (−1) = 3可被3整除，因此根據(3)，我們有2 ≡ −1 (mod 3)。根 據「同餘」的定義，我們可以推出以下定理(證明從略)：

定理2：設有多項式P(x) = c_mx^m + c_m−1x^m−1 + ... + c₁x + c₀，若a ≡ b (mod n)，則P(a) ≡ P(b) (mod n)。

我們可以利用「定理2」來證明「規則11」。設n為任意整數，那麼在十進制下，n可以表達為n = P(10) = c_m10^m + c_m−110^m−1 + ... + c₁10 + c₀，其中c₀、c₁...都是介乎0與9之間的整數，分別為n的個位數、十位 數...。由於10 − (−1) = 11可被11整除，根據(3)，我們有10 ≡ −1 (mod 11)。因 此根據「定理2」，我們有P(10) ≡ P(−1) (mod 11)，即n = P(10)可被11整除當且僅當 P(−1)可被11整除。但

上式正是n的奇位數字之和與偶位數字之和的差，「規則11」至此得證。請注意上述證明的關鍵是利用10 ≡ −1 (mod 11)，類似地，我們亦可利用10 ≡ 1 (mod 3)和10 ≡ 1 (mod 9)來證明「 規則3」和「規則9」。

把以上證明略加修改，便可證明「規則7a」。設n為任意整數，那麼n可以表達為n = P(1000) = c_m1000^m + c_m−11000^m−1 + ... + c₁1000 + c₀，其中c₀、c₁...為介乎0與999之間的整數，分 別為把n從右到左每3個位分成一節後所得的第1節數字、第2節數字...。由於1000 − (−1) = 1001 可被7整除，根據(3)，我們有1000 ≡ −1 (mod 7)。因此根據「定理2」，我們有P(1000) ≡ P(−1) (mod 7)，即n = P(1000)可被7整除當且僅當P(−1)可被7整除。但

「規則7a」至此得證。類似地，我們亦可利用1000 ≡ −1 (mod 13)來證明「規則13a」。

我們可以把上述原理推廣至十二進制，從而得到十二進制下首13個正整數的「整除性判定規則」如下：

可以看到，由於2、3、4、6和12都是12的因數，上表中的「規則2₁₂、3₁₂、 4₁₂、6₁₂和10₁₂」都很簡單，只須看n₁₂的最末一位數字。此 外，由於8和9都是144的因數而144 = 100₁₂，「規則8₁₂和9₁₂」也很簡單 ，不過它們要看n₁₂的最末兩位數字。「規則B₁₂和11₁₂」則可分別應用12 ≡ 1 (mod 11)和12 ≡ −1 (mod 13)以及「定理2」來證明。至於「規則A₁₂」， 則可以用2與5互質這個事實以及「定理1」來證明。

「規則7₁₂a」跟十進制下的「規則7a」相同，這是因為我們有1728 ≡ −1 (mod 7)， 而1728 = 1000₁₂。此外，由於144 ≡ −1 (mod 5)，「規則5₁₂a」跟「規 則7₁₂a」很相似，所不同者是前者把n₁₂從右到左每2個位(而非每3個位)分成一節。

「規則7₁₂b」的原理跟十進制下的「規則7b」相同，即給定任何整數n₁₂，我們可以把 n₁₂寫成10₁₂a₁₂ + b₁₂ (0₁₂ ≤ b₁₂ ≤ B₁₂)，其中b₁₂就是n₁₂的最右一位數。把 b₁₂截去，再在餘下的數中，加上b₁₂的3₁₂倍，便可得到a₁₂ + 3₁₂b₁₂。若這個數可被7₁₂整除，則我們有a₁₂ + 3₁₂b₁₂ = 7₁₂k₁₂，亦即a₁₂ = 7₁₂k₁₂ − 3₁₂b₁₂。由此有(註5)

由此證得7₁₂ | n₁₂，即「規則7₁₂b」成立。利用相同原理，也可證明「 規則5₁₂b」成立。

總括而言，在十進制下，有兩條規則(「規則6和12」)乃由其他規則定義，兩條規則(「規則7a和13a」)涉及三 位數加減運算。而在十二進制下，有一條規則(「規則A₁₂」)乃由其他規則定義，一條規則(「規則 5₁₂a」)涉及兩位數加減運算，一條規則(「規則7₁₂a」)涉及三位數加減運算。至於其 餘的規則，兩者的難度不相上下。因此從整體而言，在十二進制下判定首13個正整數的整除性似乎較十進制略 為容易。

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