數學專題
本網頁提供的連結為本人對某些數學專題的學習筆記或研究心得。
數學軟件及遊戲
電腦的發明為數學學習及研究提供了廣闊的應用前景。以下是筆者以往學習過及研究過的數學專題，筆者曾就
這些專題編寫電腦程式，現透過互聯網公諸於世，與廣大瀏覽者分享交流。
點算的奧秘
點算(Counting)是每個人在孩提時代便開始學習的技巧，有誰不懂得數1、2、3 ...？但我們有否想過，點算其
實可以發展為一門學問，甚至成為「組合數學」(Combinatorics)的一個重要分支－「點算組合學」
(Enumerative Combinatorics，亦作「計數組合學」)。一個個的去數固然是再容易不過的事，但也是最沒有效
率的點算方法，它只能解決數目不大的問題。對於涉及較大數目的問題，我們就不能再這樣列出具體的事物然
後一個個的去數，而必須訴諸抽象的數學推理，這就是「點算組合學」的價值所在。
「點算組合學」是本人喜愛的數學分支之一，本專題將以循序漸進，由淺入深的方式介紹「點算組合學」的基
本知識和解題技巧。由於本人學識有限，本專題只擬介紹該學科最基礎的知識，包括「排列和組合」、「容斥
原理」、「母函數」、「遞歸關係」等題目。
本專題旨在介紹筆者所認識的「點算組合學」的有趣知識，因此著重對該學科最基礎定理的直觀理解，而無意
包羅該學科的所有定理，亦無意進行嚴謹的數學推導。讀者如欲對該學科有更深入的認識，可參閱相關的教科
書。以下是本專題的目錄。
- 乘法原理和加法原理
- 排列和組合基本公式
- 無限重覆的排列組合問題
- 有限重覆的排列組合問題
- 二項式定理和多項式定理
- 容斥原理基本公式
- 帶上、下限的排列組合問題
- 廣義容斥原理
- 含不動點或繼續點的排列問題
- 集合劃分問題
- 分配問題
- 普通母函數
- 指數母函數
- 列舉型母函數
- 整數分割問題
- 費雷爾斯圖
- 二元母函數
- 集合劃分問題的母函數
- 帶複雜條件的集合劃分問題
- 著色問題的基礎知識
- 伯恩賽德-波利亞定理
- 著色方案的母函數
- 對稱群的循環式
- 著色問題的推廣應用
- 點算問題的遞歸關係
- 齊次遞歸關係的解
- 非齊次遞歸關係的解
- 含複數解的遞歸關係
- 遞歸關係的母函數解題法
參考資料
- C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, 2002
- R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Upper Saddle River: Prentice-Hall, Inc., 2001
- G.E. Martin, Counting: the Art of Enumerative Combinatorics, New York: Springer-Verlag
New York, Inc. 2001
- 夏宗匯，《組合數學中的生成函數》，《數學傳播》第一卷第三期
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