1

1      1

1      2      1

1      3      3      1

1      4      6      4      1

1      5    10    10      5     1

1      6    15    20    15     6     1

Figure-1: Convolution triangle of base length 2.

1

1    1    1

1    2    3    2    1

1     3     6    7     6     3    1

1    4    10   16   19   16   10   4    1

1     5    15   30   45   51   45   30   15    5     1

1     6   21   50   90  126  141  126  90   50  21   6    1

Figure-2: Convolution triangle of base-length 3.

1

1      1       1      1

1      2     3      4      3      2      1

1      3      6    10    12    12    10     6      3      1

1     4     10    20    31    40    44     40    31    20    10    4     1

1    5    15   35   65   101  135  155   155   135  101   65   35   15    5     1

1    6    21   56   120  216  336  456  546  580  546  456  336  216  120   56   21    6    1

Figure-3: Convolution triangle of base length 4.


Find the n-th term of the series and their sum

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . upto n terms

    1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + . . . upto n terms

    1 + 6 + 19 + 45 + 90 + 161 + . . . upto n terms

    1 + 5 + 15 + 35 + 70 + 126 + . . . upto n terms

    2 + 7 + 16 + 30 + 50 + 77 + . . . upto n terms

    1 + 10 + 45 + 141 + 357 + 784 + . . . upto n terms

    2 + 12 + 40 + 101 + 216 + 413 + . . . upto n terms

    3 + 16 + 51 + 126 + 266 + 504 + . . . upto n terms

    3 + 12 + 31 + 65 + 120 + 203 + . . . upto n terms

    3 + 31 + 155 + 546 + 1554 + 3823 + . . . upto n terms

    3 + 19 + 68 + 185 + 426 + 875 + . . . upto n terms

    2 + 18 + 80 + 255 + 666 + 1520 + . . . upto n terms

    2 + 33 + 224 + 1015 + 3612 + 10906 + . . . upto n terms

    3 + 36 + 206 + 826 + 2667 + 7420 + . . . upto n terms