Zusammenhänge zwischen Steigung, Schwerpunktlage und Reibung bei Heck- und
Frontantrieb
Die Frage nach der Eignung eines
Flevobike für heimische Gefilde, wo Steigungen über 10% keine Seltenheit sind,
inspirierte mich zur Herleitung folgender Formeln. Die Formeln gelten jedoch
auch für andere front- bzw. heckangetriebene Fahrzeuge wie Trikes, Motorräder,
Autos etc.
Inhaltsverzeichnis
1 Frontantrieb
Das Kräftegleichgewicht in vertikaler, horizontaler Richtung und das
Momentengleichgewicht der Kräfte gemäß folgender Skizze
ergibt die drei Gleichungen:
- m g cos(a) + H + VN
- m g sin(a) + VT = 0
- m g cos(a) (l - s) + m g sin(a) (h + r) - H l .
Zusammen mit der Reibungsbedingung
VT = m VN
ergibt das 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten
VT,VN, H, a. Demnach gilt für den
maximal möglichen Steigwinkel:
tan(a) = s /(l/m + h +
r)
Mit den exemplarischen Annahmen s = l/2, h = 2 r, l = 3 r ergibt
sich für den Winkel
tan(a) = 1 /(2/m + 2)
.
Für die beiden Extremfälle (gemäß Dubbel) trockene Straße mit
m = 0.8
tan(a) = 1 /(2/0.8 + 2) =
0.219
ergibt sich eine Steigung von
S = 25%
und schneebedeckte Straße m = 0.2 ergibt sich
tan(a) = 1 /(2/0.2 + 2) = 0.0831. was
einer Steigung von
S = 9.5%
entspricht. Unter normalen Bedingungen (m = 0.8)
stellt eine Steigung von S=25% die Obergrenze dar, die nur mit einem konstanten
Drehmoment an der Tretkurbel (also einem ideal runden Tritt) zu erreichen ist. Der
unrunde Tritt bewirkt, dass kurzfristig eine Vortriebskraft benötigt wird,
die größer ist als die Hangabtriebskraft. Zusätzlich kann sich durch Einfedern die
Normalkraft kurzfristig verringern, was zu einer verringerten Vortriebskraft führt.
2 Heckantrieb
Das Kräftegleichgewicht in vertikaler, horizontaler Richtung und das
Momentengleichgewicht der Kräfte gemäß folgender Skizze
- m g cos(a) + V + HN
- m g sin(a) + HT = 0
V l - m g cos(a) s + m g sin(a) (h + r) = 0 .
Zusammen mit der Reibungsbedingung
HT = m HN
ergibt die drei Gleichungen für das vier Unbekannten HT,HN, V, a.
Daraus folgt für den Winkel:
tan(a) = (1 -s/l) /(1/m - (r+h)/s) .
Zusätzlich ist noch zu berücksichtigen, daß das Vorderrad nicht abheben darf:
V > 0 => tan(a) < s/(h+r)
Mit den exemplarischen Annahmen s = l/2,
h = 2 r, l = 3 r ergibt sich für den Winkel
tan(a) = 0.5/(1/m - 2)
Für die beiden Extremfälle (gemäß Dubbel) trockene Straße mit
m = 0.8
tan(a) = 0.5 /(1/0.8 - 2) < 0
ergibt sich eine Steigung von
S = 53.2%
und schneebedeckte Straße m = 0.2 ergibt sich
tan(a) = 0.5 /(1/0.2 - 2) = 0.16. was
einer Steigung von
S = 19%
entspricht. Im Falle m = 0.8 greift die Abhebebedingung, was
bedeutet daß das Fahrzeug eher kippt als daß es rutscht.
3 Formelzeichen
- g
- Erdbeschleunigung
- r
- Radius des Rades
- l
- Radabstand
- s
- horizontale Schwerpunktlage
- h
- vertikale Schwerpunktlage
- a
- Fahrbahnneigung
- m
- Kraftschlußbeiwert
- H
- Kraft am Hinterrad
- V
- Kraft am Vorderrad
- HN
- Normalkraft am Hinterrad
- VN
- Normalraft am Vorderrad
- HT
- Tangentialkraft am Hinterrad
- VT
- Tangentialkraft am Vorderrad
- m
- Masse
- S
- Steigung in % (S = 100% entspricht einem a = 45°
)