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Subject: Re: Seu Site (Document
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Olá, Jorge --
[ . . . ]
Não tenho mexido com polígonos
canônicos há algum tempo. Existem algumas
observações, feitas por
meu amigo (e ex-colega de colégio e faculdade) Waldir
Quandt, do Instituto de Matemática
da UFSC, que ainda não cheguei a digerir (e
muito menos incorporar ao site), mas que
vão mais ou menos na mesma direção que
as suas. Claro que é verdadeira
a afirmativa de que _nem_todos_ os PCs são
construtíveis recursivamente. Até
mesmo eu já estou concordando com isso!... ;^)
Ademais, o Waldir fez-me ver -- e também
isto tem de ir para o site -- que minha
lista dos eneágonos está
incompleta. Watch this space! (O que me falta é tempo)
Uma observaçãozinha: no seu
segundo conjunto de coordenadas (abaixo), definindo
uma seqüência de vértices,
suponho que em vez do _segundo_ (5,1) você tenha
querido dizer (5,2), não é?!
[ . . . ]
Por enquanto, fica um abraço do
Ronald
8^)
Obrigado pelos seus comentários
sobre minhas páginas, e desculpe a
demora em responder.
Por enquanto só pude dar uma uma
olhada rápida. Gostei das suas
inversões! (Por coincidência,
o Scott Kim foi meu colega de doutorado
por um ano, antes dele descobrir que artista
se diverte muito mais que
cientista. 8-).
Mas fiquei especialmente interessado nas
suas investigações sobre os
polígonos canônicos e "polinemas".
(Como você talvez tenha descoberto
nas minhas páginas, meu doutorado
foi em geometria computacional. Já
faz algum tempo que não trabalho
mais com isso, mas ainda tenho
interesse no assunto.)
Ainda não tive tempo de ler suas
páginas com todo cuidado e pensar
muito no assunto. Por enquanto, só
tenho algumas observações:
* Vejo que sua definição
de polígono canônico exclui vértices com
ângulos de 180
graus. Entendo que esta restrição torna os
polígonos mais
interessantes (veja-se por exemplo seu teorema que
só existem 8
PC's convexos, que não existiria sem ela). Mas, por
outro lado, essa restrição
vai dificultar bastante o enunciado e
prova de resultados
gerais (por exemplo, a construção recursiva
de PCs).
Este é um dilema
comum em matemática. Por exemplo, exigir que as
soluções
de uma equação sejam inteiros (racionais, calculáveis
com
radicais, etc.) torna
o problema mais interessante mas também
muito mais penoso...
* Um PC pode não ter dual
por dois motivos: a seqüência de seus
lados, dualizada, pode
não ser fechada; ou ela pode se
auto-interceptar. O
primeiro caso parece ser fácil de verificar a
partir do número
de lados de cada tipo. Você tem algum método
eficiente de testar
o segundo, sem construir o dual e verificar se
ele se auto-intercepta?
* Se vale a restrição
contra ângulos de 180 graus, acho que tenho
um contra-exemplo para
o teorema da construção recursiva. Os
vértices são
(1,0) (2,1) (3,1) (2,2) (2,3) (1,2) (0,2) (1,1)
Salvo engano, se qualquer
ds 4 triângulos elementares adjacentes
ao perímetro
for retirado, o polígono que sobra tem um ângulo de
180 graus (ou seja
um lado de comprimento 2).
Acho que este exemplo
pode ser usado para gerar muitos outros.
Por exemplo, substitua
o lado (3,1)-(2,2) pela seqüência
(3,1) (4,2) (5,1) (6,2) (6,3) (5,1) (4,3) (3,2) (2,2)
e cole este PC à
sua imagem refletida na linha vertical x=6.
Salvo engano, o resultado
também é "inconstrutível" ---
os únicos triângulos
elementares que podem ser retirados
sem auto-interesecção
são os que têm vértices (1,0),
(0,1), ou (2,3), e
seus reflexos; mas eles criam ângulos
de 180 graus.
Acho que o teorema *é*
válido para PCs mais "liberais", onde
são permitidos
ângulos de 180. Existe um teorema vagamente
parecido para polígonos
simples ordinários, e acho que a idéia
da demonstração
do mesmo pode ser aproveitada. (O truque é provar
um teorema um pouco
mais forte: para qualquer PC e qualquer
aresta x do mesmo,
existe um triângulo que pode ser removido
e que não é
adjacente a x.)
Um abraço,
--stolfi