No passo do bêbado e no embalo da matemática

O Triângulo de Pascal

Não existe hora nem lugar para se aprender algo, mesmo que seja matemática e mesmo que seja numa mesa de bar, conversando com amigos. Naquele blablablá sobre futebol, política e invariavelmente sobre mulheres, bonitas é claro, regado a cerveja e tira-gosto, era até possível, ao passar dos minutos, medir o grau de bebedeira de uns (exceto o autor, convicto no guaraná champagne depois do terceiro copo), quando um jogador passa de perneta a craque de bola, um deputado torna-se herói por rejeitar o 13o. dele e pela descoberta de que não existe mulher feia, o que existe é pouca gente de porre.

Unânimes em querer aproveitar até o último minuto aquela felicidade, chega a hora derradeira de socializar a conta, pois nem tudo que é bom é de graça. Este não é, porém, o pior momento. O pior, o implacável, é levantar-se, encontrar o eixo nas pernas bambas. No afã de ser o primeiro, o mais bêbado e experiente (diga-se de passagem), o sr. Waldomiro dos Santos Guimarães, o Vadinho, ilustre fiscal de praças e parques, põe-se de pé, equilibrando-se no tempo e espaço, pois leva-se tempo e precisa-se de muito espaço para tanto. Finalmente acontece (é mister a prática) e após a ovação pelo ato vem o temível, o tão esperado passo. Mas para onde? E quantos daria? Súbito, diante de tal cena, surgiu ao modesto e minguado prof. de matemáticas aqui uma pitoresca interpretação do conhecido Triângulo Enigmático, ou de Pascal.

Oh! Mas que coisa de maluco essa de pensar em matemáica num momento destes. Chega a ser um absurdo. Imagine! Contudo, não se deve culpar o prof. por ato tão esquisito em face à situação, e sim ao inconsiente dele, preocupado em como bem ensinar aos alunos o tal triângulo. Refeito da indignação, voltemos ao porre do Vadinho. Em sua louvável tentativa de deslocar-se na rua que liga o bar à sua bendita casa, se lhe fosse permitido dar apenas 1 passo, quantas possibilidades haveriam?

Estabelecendo as direções de direita e esquerda, convém concordar que apenas duas situações são possíveis: 1 passo para direita ou 1 passo para esquerda. Em matemática podemos escrever com auxílio duma notação especial o ocorrido: D+E, onde substituimos as palavras "direita" por "D", "esquerda" por "E" e o sinal "+" substituindo o "ou" dito (esta última idéia genuína é devida ao célebre matemático inglês George Boole, de quem falaremos numa outra oportunidade). Infelizmente a notação escolhida não indica o número de passos. Pode-se dar um jeito nisso aplicando um parêntesis e um expoente, escrevendo então a sentença: (D+E)1= D+E. O expoente é um número e indica quantas vezes o conteúdo entre parêntesis é multiplicado por si mesmo. No caso o 1 é o expoente e também indica o número de passos.

Dando agora 2 passos, quantas possibilidades, ou combinações, de direita e esquerda, haveriam? Bom, se são 2 passos o expoente passa a ser 2, e então teremos de fazer a conta de (D+E)2. Mas é fácil fazer de "cabeça": são dois passos para a direita, ou um para a direita e um para a esquerda, ou um para esquerda e um para direita, ou dois passos para a esquerda. Representado a conta acima com os símbolos, obtemos DD+DE+ED+EE. Como DD pode ser escrito em forma de potência, substituimos-o por D2; e como a ordem dos fatores não altera o produto, tanto faz escrever DE como ED, pois são iguais. Logo temos o resultado 1D2 + 2DE +1E2 , e onde agora o "e" tem o significado do sinal de "vezes" da multiplicação, assim como o "ou" tem o seu. O que podemos entender deste último resultado é que é possível dar apenas dois passos para direita ou passos combinando direita-esquerda (os únicos possíveis são direita "e" esquerda "ou" esquerda "e" direita, relembrando apenas para quem têm memória curta) ou dois passos somente para a esquerda.

Igualmente, para 3 passos as possibilidades são fáceis de encontrar, é só fazer as contas: 1D3 +3D2E +3DE2 +1E3. Só para ilustrar, a parcela 3D2E significa que temos 3 combinações de direita-direita-esquerda. As 3 combinações possíveis são: DDE, DED ou EDD. Da mesma forma 3DE2 significa 3 combinações de direita-esquerda-esquerda, ou seja: DEE, EDE ou EED, nenhuma mais.

E para 4, 5 ou mais passos? Parece difícil ou muito cansativo? Mas não é! Existe uma certa lógica nos triângulos ilustrados em a) e b), triângulos estes feitos de números extraídos deste mesmo artigo. Em a) é importante reparar na ordem dos expoentes (os números acima e a direita de cada D e E). Enquanto o expoente em D decresce de coluna em coluna o E cresce na mesma proporção. E no triângulo de Pascal propriamente dito, em b), todo número a partir da segunda coluna é proveniente do número imediatamente acima deste somado com o da esquerda. Assim o 2 é a soma do 1 marcado com o 1 a esquerda deste, e o 4 é a soma do 3 e do 1 marcados.

Para quem se perdeu em tantas direitas e esquerdas (ou vice-versa) é conveniente lembrar que estamos estudando todos os passos possíveis dum bebum, o que já não é uma tarefa muito simples, embora não deixe de ser interesante e até divertido. Quem não entendeu mesmo é bom reler o texto ou ainda ler algum livro de matemática sobre o assunto. Aos interessados do fim da narrativa, Vadinho chegou em casa, sim. Mas se sobreviveu à D. Flor, que o esperava de chinelo na mão, esta é uma outra estória.

(D+E)1 = 1D1 + 1E1

(D+E)2 = 1D2 + 2D1E1 + 1E2

(D+E)3 = 1D3 + 3D2E1 + 3D1E2 + 1E3

...

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...

RESUMO: o expoente em (D+E) indica o número de passos que o bêbado pode dar, o "ou" do nosso português é substituido pelo sinal "+", o "e" pelo sinal de vezes e os números ao lado das letras D e E indicam as combinações possíveis de direita-esquerda, números estes que fomam o Triângulo de Pascal.

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