DIFERENCIACION IMPLICITA

 x3 + y3 = 4  Se derivan ambos lados de la ecuaciòn

D ( x3 + y3 ) = D ( 4 ) ,

D ( x3 ) + D ( y3 ) = D ( 4 ) ,

3x2 + 3y2 y' = 0 ,

3y2 y' = - 3x2 ,

$ y' = \displaystyle{ - 3x^2 \over 3y^2 } = \displaystyle{ - x^2 \over y^2 } $ .


 (x-y)2 = x + y - 1

D (x-y)2 = D ( x + y - 1 ) ,

D (x-y)2 = D ( x ) + D ( y ) - D ( 1 ) ,

$ 2 (x-y) \ D (x-y) = 1 + y' - 0 $ ,

2 (x-y) (1- y') = 1 + y' ,

2 (x-y) - 2 (x-y) y' = 1 + y' ,

- 2 (x-y) y' - y' = 1 - 2 (x-y) ,

(Factorizar respecto a  y' .)

y' [ - 2 (x-y) - 1 ] = 1 - 2 (x-y) ,

$ y' = \displaystyle{ 1 - 2 (x-y) \over - 2 (x-y) - 1 } = \displaystyle{ 2y - 2x + 1 \over 2y - 2x - 1 } $ .



 $ y = \sin(3x + 4y) $

$ D(y) = D ( \sin(3x + 4y) ) $ ,

$ y' = \cos(3x + 4y) \ D ( 3x + 4y ) $ ,

$ y' = \cos(3x + 4y) ( 3 + 4 y' ) $ ,

$ y' = 3 \cos(3x + 4y) + 4 y' \cos(3x + 4y) $ ,

$ y' - 4 y' \cos(3x + 4y) = 3 \cos(3x + 4y) $ ,

(Factorizando respecto a  y' .)

$ y' [ 1- 4 \cos(3x + 4y) ] = 3 \cos(3x + 4y) $ ,

$ y' = \displaystyle{ 3 \cos(3x + 4y) \over 1- 4 \cos(3x + 4y) } $ .

 y = x2 y3 + x3 y2

D(y) = D ( x2 y3 + x3 y2 ) ,

D(y) = D ( x2 y3 ) + D ( x3 y2 ) ,

(Usando la regla del producto)

$ y' = \{ x^2 D ( y^3 ) + D ( x^2 ) y^3 \} + \{ x^3 D ( y^2 ) + D ( x^3 ) y^2 \} $ ,

$ y' = \{ x^2 ( 3y^2 y' ) + ( 2x ) y^3 \} + \{ x^3 ( 2 y y' ) + ( 3x^2 ) y^2 \} $ ,

y' = 3x2 y2 y' + 2x y3 + 2x3 y y' + 3x2 y2 ,

agrupar los términos que tienen y' en un lado de la ecuación

y' - 3x2 y2 y' - 2x3 y y' = 2x y3 + 3x2 y2 ,

(Factorizar respecto a y' .)

y' [ 1 - 3x2 y2 - 2x3 y ] = 2x y3 + 3x2 y2 ,

$ y' = \displaystyle{ 2x y^3 + 3x^2 y^2 \over 1 - 3x^2 y^2 - 2x^3 y } $ .


 exy = e4x - e5y

D(exy ) = D ( e4x - e5y ) ,

D( exy ) = D ( e4x ) + D ( e5y ) ,

exy D( xy ) = e4x D ( 4x ) + e5y D( 5y ) ,

exy ( xy' + (1) y ) = e4x ( 4 ) + e5y ( 5y' ) ,

xexy y' + y exy = 4 e4x + 5e5y y' ,

xexy y' - 5e5y y' = 4 e4x - y exy ,

y' [ xexy - 5e5y ] = 4 e4x - y exy ,

$ y' = \displaystyle{ 4 e^{4x} - y e^{xy} \over xe^{xy} - 5e^{5y} } $ .


 $ \cos^2 x + \cos^2 y = \cos( 2x + 2y ) $

$ D( \cos^2 x + \cos^2 y ) = D ( \cos( 2x + 2y ) ) $ ,

$ D( \cos^2 x ) + D ( \cos^2 y ) = D ( \cos( 2x + 2y ) ) $ ,

$ (2 \cos x) D ( \cos x ) + (2 \cos y) D ( \cos y ) = - \sin( 2x + 2y ) D ( 2x + 2y ) $ ,

$ 2 \cos x ( - \sin x ) + 2 \cos y ( - \sin y ) ( y' ) = - \sin( 2x + 2y ) ( 2 + 2y' ) $ ,

$ - 2 \cos x \sin x - 2 y' \cos y \sin y = - 2 \sin( 2x + 2y) - 2 y' \sin( 2x + 2y) $ ,

$ 2 y' \sin( 2x + 2y) - 2 y' \cos y \sin y = - 2 \sin( 2x + 2y) + 2 \cos x \sin x $ ,

$ y' [ 2 \sin( 2x + 2y) - 2 \cos y \sin y ] = 2 \cos x \sin x - 2 \sin( 2x + 2y) $ ,

$ y' = \displaystyle{ 2 \cos x \sin x - 2 \sin( 2x + 2y) \over 2 \sin( 2x + 2y) - 2 \cos y \sin y } $ ,

$ y' = \displaystyle{ 2 [ \cos x \sin x - \sin( 2x + 2y) ] \over 2 [ \sin( 2x + 2y) - \cos y \sin y ] } $ ,

$ y' = \displaystyle{ \cos x \sin x - \sin( 2x + 2y) \over \sin( 2x + 2y) - \cos y \sin y } $ .


 $ x = \sqrt{ x^2 + y^2 } $

$ D( x ) = D ( \sqrt{ x^2 + y^2 } ) $ ,

1 = (1/2)( x2 + y2 )-1/2 D ( x2 + y2 ) ,

1 = (1/2)( x2 + y2 )-1/2 ( 2x + 2y y' ) ,

$ 1 = \displaystyle{ (1/2) (2) ( x + y y' ) \over \sqrt{x^2 + y^2} } $ ,

$ 1 = \displaystyle{ x + y y' \over \sqrt{x^2 + y^2} } $ ,

$ \sqrt{x^2 + y^2} = x + y y' $ ,

$ \sqrt{x^2 + y^2} - x = y y' $ ,

$ y' = \displaystyle{ \sqrt{x^2 + y^2} - x \over y } $ .



 $ \displaystyle{ x - y^3 \over y + x^2 } = x + 2 $ . multiplicando ambos lados  por  y + x2

$ \displaystyle{ x - y^3 \over y + x^2 } (y + x^2 ) = (x + 2) (y + x^2 ) $ ,

x - y3 = xy + 2y + x3 + 2x2 .

D ( x - y3 ) = D ( xy + 2y + x3 + 2x2 ) ,

D ( x ) - D (y3 ) = D ( xy ) + D ( 2y ) + D ( x3 ) + D ( 2x2 ) ,

1 - 3 y2 y' = ( xy' + (1)y ) + 2 y' + 3x2 + 4x ,

1 - y - 3x2 - 4x = 3 y2 y' + xy' + 2 y' ,

1 - y - 3x2 - 4x = (3y2 + x + 2) y' ,

$ y' = \displaystyle{ 1 - y - 3x^2 - 4x \over 3y^2 + x + 2 } $ .



 $ \displaystyle{ { y \over x^3 } + { x \over y^3 } } = x^2y^4 $ multiplicando ambos lados  por x3 y3

$ \Big\{ \displaystyle{ { y \over x^3 } + { x \over y^3 } } \Big\} ( x^3 y^3 ) = x^2 y^4 ( x^3 y^3 ) $ ,

$ \displaystyle{ { y x^3 y^3 \over x^3 } + { x x^3 y^3 \over y^3 } } = x^2 x^3y^4 y^3 $ ,

y4 + x4 = x5 y7 .

D ( y4 + x4 ) = D ( x5 y7 ) ,

D ( y4 ) + D ( x4 ) = x5 D (y7 ) + D ( x5 ) y7 ,

4 y3 y' + 4 x3 = x5 (7 y6 y' ) + ( 5 x4 ) y7 ,

4 y3 y' - 7 x5 y6 y' = 5 x4 y7 - 4 x3 ,

y' [ 4 y3 - 7 x5 y6 ] = 5 x4 y7 - 4 x3 ,

$ y' = \displaystyle{ 5 x^4 y^7 - 4 x^3 \over 4 y^3 - 7 x^5 y^6 } $ .



 (x2+y2)3 = 8x2y2

D (x2+y2)3 = D ( 8x2y2 ) ,

3 (x2+y2)2 D (x2+y2) = 8x2 D (y2 ) + D ( 8x2 ) y2 ,

3 (x2+y2)2 ( 2x + 2 y y' ) = 8x2 (2 y y' ) + ( 16 x ) y2 ,

6x (x2+y2)2 + 6 y (x2+y2)2 y' = 16 x2 y y' + 16 x y2 ,

6 y (x2+y2)2 y' - 16 x2 y y' = 16 x y2 - 6x (x2+y2)2 ,

y' [ 6 y (x2+y2)2 - 16 x2 y ] = 16 x y2 - 6x (x2+y2)2 ,

$ y' = \displaystyle{ 16 x y^2 - 6x (x^2+y^2)^2 \over 6 y (x^2+y^2)^2 - 16 x^2 y } $ .



 x2y + y4 = 4 + 2x

D ( x2 y + y4 ) = D ( 4 + 2x ) ,

D ( x2 y ) + D (y4 ) = D ( 4 ) + D ( 2x ) ,

( x2 y' + (2x) y ) + 4 y3 y' = 0 + 2 ,

x2 y' + 4 y3 y' = 2 - 2x y ,

y' [ x2 + 4 y3 ] = 2 - 2x y ,

$ y' = \displaystyle{ 2 - 2x y \over x^2 + 4 y^3 } $ .