Funciones logarítmicas

 

 

Recuerde que el logaritmo de un número b en base a se define de la siguiente manera:

loga b = c si y solo si ac = b.

Siempre se considera que la base a es un número positivo diferente de 1 (a > 0, a 1). De esta manera entonces también b tiene que ser un número positivo.


Ejemplo 1. Aplicación de la definición

De acuerdo con la definición tenemos que:

  1. log2 8 = 3, pues 23 = 8.

2. log10 Ö 10 = 1/2 pues 101/2 = Ö 10

3. pues

Propiedades de los logaritmos

A partir de la definición de logaritmo podemos ver que las conocidas propiedades de las potencias pueden ser traducidas a los logaritmos. Por ejemplo, sabemos que a1 = a para cualquier a, esto se escribe en términos de logaritmos como loga a = 1. A continuación proporcionamos una tabla con las propiedades más importantes de los logaritmos.

Propiedades de los logaritmos

loga 1 = 0

loga a = 1

loga bc = loga b + loga c logaritmo del producto

 logaritmo del cociente

loga bn = n loga b logaritmo de la potencia

 logaritmo de la raíz

 logaritmo del recíproco

 cambio de base

En todos estos casos se supone que las expresiones involucradas tienen sentido.

 

Las propiedades anteriores son muy importantes porque permiten a través de los logaritmos convertir productos y cocientes en sumas y restas. Esto será muy útil en algunos aspectos del Cálculo según veremos posteriormente.

 


Ejemplo 2. Aplicación de las propiedades de los logaritmos.

Escribir la siguiente expresión en forma de sumas y restas de logaritmos:

Solución: Utilizamos las propiedades anteriores de la siguiente manera:

(logaritmo del cociente)

(logaritmo del producto aplicado dos veces)

(logaritmo de la raíz)

 

Logaritmos naturales

La propiedad del cambio de base expresa que todos los logaritmos pueden ponerse en términos de uno solo. Los más usuales son los logaritmos comunes que son los de base 10 y se denotan por log "a secas" y los logaritmos de base e que se llaman logaritmos naturales o neperianos y se denotan por ln. Es decir,

log x es lo mismo que log10 x,

y

ln x es lo mismo que loge x.

De hecho usted puede ver que las calculadoras solamente traen estos dos tipos de logaritmos.

Gran cantidad de las aplicaciones del Cálculo tiene que ver con los logaritmos naturales. Por eso más adelante haremos énfasis en este tipo de logaritmos; incluso definiremos el número e en términos de un límite especial.

 

Gráfica de la función logaritmo

Los logaritmos en una base dada se pueden ver como una función cuyo dominio es la parte positiva de los números reales, es decir, el intervalo ]0,+ [ y que consiste en asignar a cada número real positivo su correspondiente logaritmo.

Tomemos por ejemplo

f(x) = log2 x.

La siguiente tabla nos da algunas imágenes y, con base en ella, podemos bosquejar la gráfica de esta función (figura 7.1).

 

En realidad las gráficas de las funciones logarítmicas son parecidas a la anterior siempre que la base sea mayor que 1. Si la base es menor que 1 se invierte con respecto al eje x.

 

Funciones Exponenciales

 

La función f(x) = loga x es una función biyectiva de ]0, [ en los reales. Por esta razón tiene una función inversa que va de los reales en ]0, [ que se llama la función exponencial de base a se denota por ax.

Esto es, la inversa de f(x) = loga x es

f -1: R ® ]0,+[

x ® ax

Al ser mútuamente inversas se deducen dos relaciones muy importantes:

loga ax = x,

además de las propiedades de las potencias que usted ya conoce y que dieron origen a las propiedades de los logaritmos que vimos anteriormente.

Función exponencial natural

Por otra parte, la inversa de la función logaritmo natural ln x, se llama la exponencial natural y se denota por ex. Las propiedades anteriores producen como caso particular una fórmula que puede resultar útil en algunas circunstancias:

ax = ex ln x

A continuación se presenta los gráficos de las funciones exponenciales cuando la base es mayor que 1 y cuando está entre 0 y 1.