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Magnitudes Escalares y vectoriales Adición de magnitudes vectoriales

 

 

 


Magnitudes Escalares y vectoriales

 

Una cantidad escalar es aquella que queda perfectamente especificada al mencionar de ella únicamente su cantidad numérica y la unidad o especie en que se mide como ejemplo tenemos: N$ 10, 35 m, 2.5 litros, 28 días, 4 naranjas, etc. En general entre las magnitudes que son escalares están:  tiempo, masa,  potencia, distancia, longitud, monedas,  superficie, volumen, temperatura,  etc.

Una cantidad vectorial es aquella que requiere, además del numeró y la unidad, mencionar su dirección, sentido y punto de aplicación  para que queden perfectamente definidas. entre las principales cantidades vectoriales tenemos: Fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, cantidad de movimiento, impulso, etc.

Además una cantidad vectorial se estudia y representa por medio de un  vector que es una representación geométrica (generalmente un segmento de recta dirigido, o sea con una flecha en un extremo) que permite operar con este tipo de magnitudes.                                                                         

Los elementos de un vector son los siguientes:

               Magnitud: longitud del vector expresado por el número.

               Dirección: ángulo positivo (medidoa partir de una línea horizontal de referencia y en sentido contrario a las manecillas del reloj).

               Sentido: señalado por la punta de la flecha del vector.

               Punto de aplicación: Indica el punto en donde inicia el vector o bien señala el punto en que se aplica la magnitud representada.


 

Adición de Magnitudes Vectoriales

 

Debido a que las cantidades vectoriales son distintas a las cantidades escalares requieren de métodos especiales para realizar su adición, entre los métodos tenemos los siguientes:

           Métodos Gráficos

Método Gráfico del paralelogramo.-

El método consiste en colocar las fuerzas sobre un mismo punto de aplicación y representarlas gráficamente, al completar el paralelogramo se obtiene el resultado que esta dado por la longitud de la diagonal del mismo. Si se tuvieran más de dos cantidades se procede a trabajar por pares de cantidades vectoriales.

 vector 2                                                                  vector resultante

 

 

                       vector 1     

 

Método gráfico del Polígono.-

El método consiste en ir colocando los vectores uno a continuación del otro respetando la dirección y el sentido, el final de un vector es el punto de aplicación del siguiente, así hasta terminar con los vectores. El resultado de la suma es obtenido al unir el punto de aplicación del primer vector con la flecha del último vector.

 

Repaso Trigonométrico

                                                                                         C

 Considerese el triángulo BAC ,rectángulo en A                           a

ver fig. 1 .                                                                                                                          b

Si se designan los lados con minúsculas que

 correspondan a las mayúsculas de los vértices          B                                           A

opuestos,las funciones trigonométricas del                                        c

ángulo B se pueden expresar como sigue :                                   fig . 1

 

Seno es la razón del cateto opuesto al ángulo, a la hipotenusa:

                                                   sen B = cateto opuesto = b

                                                                       hipotenusa       a 

 Coseno es la razón del cateto adyacente al ángulo, a la hipotenusa:

                                                 cos B = cateto adyacente = c

                                                                           hipotenusa      a

 Tangente es la razón del cateto opuesto al ángulo, al cateto adyacente:

                                                   tan B = cateto opuesto = b

                                                                cateto adyacente   c

 Cotangente es la razón del cateto adyacente, al cateto opuesto:

        cot B = cateto adyacente =a                                                                                                                                                    cateto opuesto   b

Secante  es la razón de la hipotenusa, al cateto adyacente:

                                                    sec =  hipotenusa        a

                                                              cateto adyacente   c

Cosecante  es la razón de la hipotenusa, al cateto opuesto:

                                                     csc =    hipotenusa    =  a

                                                               cateto opuesto     b

TEOREMA DE PITAGORAS  a2b2 + c2


 

Método analítico de suma de vectores.

(COMPONENTES RECTANGULARES) 

En este método analítico se descomponen cada una de los vectores en sus componente horizontales y verticales para adicionarlos por separado y así encontrar el vector resultante del sistema de fuerzas (Vr) y dirección (q).

 Este método implica necesariamente la ubicación de los vectores (V) y sus componentes rectangulares (Vx y Vy) en un plano de ejes coordenados o plano cartesiano.

 Se considera que todos los ángulos que indican la dirección de los vectores se tomaran a partir del eje de +X hacia +Y Formando ángulos hasta de 359.9999º o lo que seria lo mismo "en  sentido contrario de las manecillas del reloj".

 

Pasos para sumar  vectores por el método analítico de descomposición de vectores:

 

1.- Se descompone cada vector en sus componentes rectangulares Vx y Vy conservando su signo ya sea positivo o negativo según el caso utilizando las funciones trigonométricas de seno y coseno :

                                                        Vy = V sen.ø 

 

                                                        Vx = V cos ø

 

2.- Después se sumaran algebraicamente (conservando su signo -+ según sea) todas las componentes rectanngulares verticales Vy y las horizontales Vx

 

                                                         Vxr = Vx1 + Vx2 +.......+ Vxi

                                                        

                                                         Vyr = Vy1 + Vy2 +.......+ Vyi

 

3.-Los resultados de las sumatorias Vxr y Vyr son las componentes rectangulares horizontal y vertical respectivamente del vector resultante, entonces para encontrar este Vr y su dirección se sacaran mediante las formulas siguientes:

                                                        

 

                                                        Vr2 = Vx2 + Vy2        vector resultante

                                                        

ø = arctan(Vy/Vx)  dirección del vector resultante

EJEMPLOS :

 

1.-Encontrar el vector resultante del siguiente sistema de vectores:

     V1 = 135 Kgf , ø =35º

     V2 = 95   kgf , ø = 100º

     V3 = 123 Kgf , ø = 315º

 

Solución :

V1

               Vx1=135 Kgf  x  cos35º =          Kgf

               Vy1=135 Kgf  x  sen35º =          Kgf

V2

               Vx2=95 Kgf  x  cos 100º =             Kgf

               Vy2=95 Kgf  x  sen 100º =               Kgf

V3

               Vx3 = 123 Kgf x cos315º=             Kgf

               Vy3 = 123 Kgf x sen315º=             Kgf

 

Sumas :

 

               Vxr  =  (Kgf)+     (Kgf)+        (Kgf)=                 Kgf

               Vxr  = Kgf

               Vyr  =  (Kgf)+      (Kgf)+        (Kgf)=             Kgf

               Vyr   =               Kgf

 

Vector Resultante :

 

               Vr2 = Vxr2 + Vyr2 =                  Kgf2

                    Vr = raíz(Kgf2)

                    Vr =            Kgf

 

Dirección del vector resultante :

                   

                    ø=arctan(Vyr  / Vx r )

              

               ø = °

 

2.-Encontrar el vector resultante y su dirección del siguiente sistema de Velocidades

 

               V1 = 25 m/s ,   ø = 37.45 º

               V2 = 55 m/s ,   ø = 88.65º

               V3 = 88 m/s ,   ø = 75.6 º

               V4 = 110 m/s , ø = 355º

               V5 = 35 m/s ,   ø = 196º

 

 

               Vr = m/s

               ø  =  º

 

 

3.-Resolver el siguiente sistema de fuerzas encontrando su fuerza resultante y

     su dirección , si una fuerza de 10 N se aplica en una dirección de 79º,otra fuerza se

     aplica a 125º siendo esta de 35 N , y por ultimo una de 34 N a 270º .

 

 

 

 

4.- Una persona jala con una fuerza de 50 Kgf y una dirección de 25º  una cuerda a

     la que esta atada una caja , ademas  ,otra persona también jala con una fuerza

     60 Kgf y una dirección de 115 º y la caja se mueve ,conque dirección se movió esta

      y cual fue la reacción con que se movió esta .

 

 

 

 

 

5.- Resuelva el siguiente sistema de Vectores encontrando su Vr y ø .

     V1 = 245 N    ø = 25º 37´45´´

     V2 = 175,000 d   ø = 351º32´

     V3 = 189.2 N  ø = 290º

     V4 = 278 N  ø = 127.50º