La conjunción.- En la conjunción se denota por el símbolo ^ por ejemplo P ^ Q para sacar la tabla de verdad  P ^ Q deben de ser ambas verdaderas  para que el resultado sea verdadero, si una de las dos es falsa entonces el resultado será  falso

Por ejemplo:

 

     

P

Q

P  ^ Q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

 

 

 

Ejercicios:

  1.  ~ (p^q) ^ (p^q)

P          q

(P^Q)

~(P^Q)

P^Q

~(P^Q)^(P^Q)

V           V

V

F

V

F

V           F

F

V

F

F

F           V

F

V

F

F

F            F

F

V

F

F

 

 

 

 

 

 

 

2.-    ~((P^Q)^((P^R)

P

Q

R

P^Q

P^R

(P^Q)^(P^R)

~((P^Q)^(P^R))

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

V

 

 

 

 

 

 

Una proposición o sentencia: es una notación o frase que se puede comprobar se es falsa o verdadera

Por ejemplo:

En una suma, resta, división, o multiplicación que son ejemplos de operaciones básicas

6+7=8  esta operación es falsa

5*8=40 esta operación es verdadera

 

También decimos que una operación es equivalente si presenta el mismo resultado

 

6+6=12

6*2=12

24/2=12

 

Una proposición  negativa escribe ~x  y se lee “no p” y para sustraer su valor podemos utilizar la tabla de verdad de negación.

 

Por ejemplo

 

 

 

p

q

Pvq

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

f

 

 

 

 

La disyunción.-En la disyunción se usa el símbolo v por ejemplo pvq y se lee p o q para saber la tabla de verdad p o q serán verdaderos si alguna de las dos es verdadera solamente será falso cuando las dos sean falso como se muestra en la siguiente tabla

 

Ejercicio:

 

(pvq) v (~pvq)

p

q

pvq

pvq

~(pvq)

(pvq)v(~pvq)

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

F

V

F

V

V

V

F

V

f

F

F

F

V

V

 

 

 

 

 En el siguiente ejercicio combinaremos la disyunción, conjunción y negación:

 

 ((p^q)^ (~pvr)) v (qvr) v (pvq)

 

p

q

r

P^q

pvr

(~pvr)

(P^q)^(~pvr))

(qvr)

(pvq)

(qvr)v(pvq)

((p^q)^(~pvr))v(qvr)v(pvq)

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

 

 

 

 

 

La condicional.- En la condicional se utiliza el símbolo          .p          q para saber la tabla de verdad se debe de cumplir con las condiciones que se presenten, se lee p entonces q

Ejercicio

Si utilizamos la siguiente tabla de verdad escribir el enunciado correspondiente de acuerdo al enunciado establecido.

 

“Si el ing. explica su clase entonces yo estudio”

 

 

p

q

p           q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

F

 

 

 

  

SOLUCION:

 

 

P= Se le llama hipótesis, condición o antecedente.

Q= Se le llama conclusión o consecuente

 

La contrapuesta: La contrapuesta de p         Q  es (~p )        (  ~q) esto quiere decir que p entonces q  es igual a x  y    q      p  y  q  entonces tiene el mismo valor que  p entonces q se dice que es contrapuesta pero para lograr esto tenemos que negar q y p como se muestra a continuación.

 

 

P     Q (~Q)      (~P)

 

P

Q                

P       Q  

~Q

~P

~Q     ~P

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

V

 

 

Para representar que es una contrapuesta se usa el símbolo           que es la bicondicional y se lee p si y solo si q

 

~ (P V Q) ~    ~(P Λ Q)

 

 

Ejercicio:

P

Q

P   v   Q

~ (p v q)

~p

~q

~(pΛq)

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

 

 

 

 

 

 

Tautológia.- se dice que una proposición es una tautología si siempre es verdadera o cuando son equivalentes se escribe con el signo                   .          que se lee o puede ser definido como pyq son equivalentes y p          q   P bicondicional Q es una tautología.

 

 La contradicción es una proposición que siempre será falsa

 

Ejercicio:

 (P^q)^ (~Pvq)

 

p

q

P^q

pvq

 ~pvq

(p^q) ^ (~pvq)

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

F

F

F

F

F

V

F

 

 

 

 

Frase abierta o función proposicional: Es una proposición que contiene una variable y comillas (“) .

 

Por ejemplo”y2 +3y +16=0”

 

La colección de objetos pueden ser sustituidos por una variable en frase abierta y se llama  Conjunto de significado de esa variable.

El conjunto de verdad la frase abierta es una proposición verdadera en el conjunto de verdad ya no se escribe la frase con (““).

Por ejemplo:

Y2+3y+16=0

 

En una frase universalmente cuantificada se dice que para todo x del conjunto p que significa p (x) y se lee  p de x es verdadera

Se usa el símbolo "

Por ejemplo "  x p (x)

 

No es una frase abierta por que se puede determinar si es falsa o verdadera

 

Frase cuantificada existencialmente: Existe un x en el conjunto de significados para el cual p de x , p(x)  es verdadera esto quiere decir que al sustituir un valor de x, p(x)  sea verdadera. Se usa el símbolo   $      se lee existe un x

Por ejemplo    

   $  X p(x)

 

 

Un contraejemplo: En la proposición      "  xp(x) ya habíamos dicho que es verdadera pero si le pone el elemento t,  p(t) esta será falsa.

 

 

Conjuntos: Es una colección de objetos llamados elementos del conjunto.

Por ejemplo

 

A es un conjunto

A es un elemento de A

Y se escribe

aÎA

Se lee “a es un elemento de A”

En caso contrario

bÏA

Se lee “b no es un elemento de A”

En el conjunto no importa el orden

 

 


 

               A                                                                      B

 

 

 

Los conjuntos A y B son iguales ya que tienen los mismos elementos A{a.b,c} B{c,b,a} no importa el orden.

 

Esto se escribe A=B

Cuando los conjuntos no son iguales se escribe A≠B

Y se lee A desigual B.

Subconjuntos: Como ya vimos A Y B son conjuntos y los elementos de A son iguales a los elementos de B.

 Se escribe AÍ B

Se lee A subconjunto de B

En caso contrario

A={1,2,3}

B={0,1,2,3,4,5}

B no es subconjunto de A

Y se escribe

BË A

Porque los elementos no son los mismos de A Y B

 

 

Vacío o Nulo: El conjunto vació nulo no tiene elementos, este podría ser subconjunto de todos los conjuntos

 

Se escribe: ×ÍA  para  A

×Í B   Para B

 

Conjunto potencia.- Lo definimos como conjunto potencia de A= conjunto  B tal que B sea conjunto de A, esto se representa de la sig. Manera

 

2a= {B   BÍ A}

Operaciones en conjuntos:

 

La unión: La unión de conjuntos A Y B se denota por AÈ B

Se lee A unión B

Ejemplo: AÈB={XçX Î A  o X ÎB}

Se lee A unión B es igual a conjunto de x tal que A o x tal que B

 

 Ejemplo:

A{0,1,2,3,4,5} Y B{2,3,5,9} entonces AÈB ={0,1,2,3,4,5,9}

Se ponen todos los valores que aparezcan en A Y B ( no es necesario repetir los valores)

En la intersección A Y B  Se dice que es el conjunto AÇB={XçXÎA Y XÎB}

Se lee A inserción  de B= conjunto de x de y tal que A  y tal que B

 

E JEMPLO

 

A={0,1,2,3,4,5} Y B { 2,3,5,9}

AÇB={2,3,5 }en este caso los valores que se toman como resultado  deben aparecer en ambos conjuntos.

 

El complemento de B con respecto A también es llamado complemento relativo

A-B={XçX ÎA Y XÏB}

 

EJEMPLO:

A={0,2,4,6,8,10} Y B{0,1,2,3,4}

 

Para saber los valores de A-B son los valores de A que no aparecen en B {6, 8,10} Y  B-A Son los valores que están en B y no aparecen en A {1,3}

 

En el producto cartesiano: Dado 2 conjuntos A Y B el producto cartesiano es A*B es decir se conjugan los valores dados en A Y B en orden

 

Por ejemplo:A{1,2,3,} Y b{5,6}

 

Solución : AX{(1,5),(2,5),(3,5),(1,6),(2,6),(3,6)}

Relaciones: En las relaciones se relacionan el dominio y el contra dominio 

 

Ejem.

 

dominio

Contra dominio

estudiante

Curso

Pedro

Progre

Juan

Mate

Maria

Estr de datos

carmen

Leng. Y aut.

 

 

 

 

Cuando se relaciona con un solo contra dominio se dice que tiene “relación” pero cuando tiene relación con dos elementos se llama “relación binaria”.

dominio

contra dominio

Pedro

Progra

Pedro

Juan

Mate

Maria

Carmen

Est de datos

Juan

 

carmen

Leng. Y aut.

 

 

 

 

 

 

 

 

 Solución:

 Pedro® progra, mate

Juan® mate, leng. Y aut.

María® est. De datos

Carmen®est. De datos, leng. Y aut

 

El diagrafo de una relación reflexiva tiene un lazo en cada vértice.

  

 

 

 


 

 

R={{1,1}{1,2}{1,3}{1,4}{2,2}{2,3}{2,4}{3,3}{3,4}{4,4}}

 

 

En simetría el diagrafo tiene relación asimétrica R= (b,c),(c,b) son simétricos.

 

3

 

1

 
 

 

 

 

 

 

 

Una relación es antisimetrica cuando un solo arco es dirigido.

 

 

 

 


 

 

Una relación se denomina de orden parcial si es reflexiva, antisimetrica y transitiva

 

Y de orden parcial estricto si no es reflexiva, antisimetrica y transitiva.