Capítulo IV: Funciones y aplicaciones.

Considere el grato G del conjunto de parejas {(O, 1), (O, 3), (O, 5), (1, 3), (4, 1), (1, 1), (4, 4)}. Las segundas componentes, 1, 3, 5 están relacionadas con el elemento O de pr1 G.

Se dice que el conjunto (G(0) = {1, 3, 5} es la imagen directa del grafo según el elemento 0. Los conjuntos {1, 3} y {4, 1} son las imágenes directas del grafo G según los elementos 1 y 4.

El conjunto de parejas {(O, 1), (O, 3), (O, 5)} se llama sección o corte directo del grafo G según el elemento 0. Inversamente, sea 3 perteneciente a pr2 G. Este elemento está relacionado con O y 1 de pr1 G. Se dice que el conjunto {O, 1}, escrito G~^l(3), es la imagen recíproca del grafo G según el elemento 3.

Recordemos dos definiciones dadas en el capítulo anterior.

Definición. Dado el grafo Gg, de una relación g, de un conjunto E a un conjunto F, el corte directo del grafo según el elemento a de E es el conjunto, simbolizado por g(a), de todas las parejas (a, y) de elementos de Gg.

Definición. Una relación binaria Gg de un conjunto E a un conjunto F, se dice funcional, si para todo x de E la imagen G (x) (o corte del grafo G) contiene a lo más un elemento. Esto quiere decir que en E pueden quedar elementos de los cuales no sale flecha.

Definición. Si para todo x de E existe a lo más un y de F tal que xgy, esta relación se llama función definida en E y con valores en F. Observe que esta definición crea la posibilidad de que en E pueden existir elementos de los cuales no sale flecha. A partir del concepto de correspondencia, la definición de función es la siguiente:

Sea f una correspondencia entre el conjunto A y el conjunto B.

f: x e Aàf(x)C B; f= (G,A,B)

Se dice que f es una función si f(.x) contiene a lo más un elemento. Cuando A* = A, se dice que la función f es una aplicación. También se dice que el conjunto E es el conjunto de partida (o conjunto fuente) y F el conjunto de llegada o codominio. En otras palabras, una función es un conjunto de parejas ordenadas, en el cual no existen dos parejas con las primeras componentes iguales.

4.1.2. Aplicaciones

Definición. Si f(x) existe para todo x del conjunto E, la función f se llama aplicación de E en F. Es decir, una aplicación es una función que cumple con dos condiciones:

1. Toda sección directa g(x) del grafo Gg, según el elemento x de E, contiene un elemento único.

2. E = pr1 G, es decir, todo elemento de E, es origen de una pareja. En otras palabras, en el conjunto E no pueden existir elementos de los cuales no salga ninguna flecha.

Una función de E en F, cuyo dominio de definición E' está contenido en E, es una aplicación de E' en F.

Si A es una parte cualquiera de E, la aplicación de A en E, que a todo x de A le hace corresponder x considerado como elemento de E, se llama aplicación canónica de A en E (canónica quiere decir la más elemental de construir).

En la práctica, es más cómodo decir «sea f una aplicación de A en B», que decir «sea f una función definida en A y con valores en B».

Como toda función es una relación binaria particular, es posible representarla de diversas maneras. Las representaciones son de cuatro tipos:

1. Tabla de doble entrada. Por ejemplo, el conjunto de partida se representa en la primera fila y el de llegada en la primera columna. En este caso, lo que caracteriza una función es que existe a lo más una cruz en cada columna.

2. Diagrama cartesiano. Se trata de un reticulado donde cada recta representa un elemento de los conjuntos considerados. Las rectas verticales corresponden al conjunto de partida. Para las funciones existe un punto único sobre cada vertical.

3. Los elementos de los conjuntos se representan por punios alineados verticalmente. Se une por una flecha cada punto del conjunto de partida con su imagen. Esta representación se llama dual de la anterior.

4. Diagrama de Euler o Venn. Los puntos del conjunto de partida y de llegada se representan por diagramas de Venn. Se une cada punto con su imagen por una flecha.

4.1. FUNCIONES ESPECIALES

4.1.1. Invectivas

Definición. Sea f: Eà F una aplicación. Si cada elemento yef(E) es imagen de un solo elemento x e E, se dice que la aplicación f es una inyección o aplicación inyectiva.

En una inyección la igualdad de las imágenes en el conjunto F de llegada implica la igualad de los elementos en el conjunto de partida E. La equivalencia inducida por una inyección i la igualdad.

F(x1)= f(x2)=>x1=x2

4.1.2. Sobreyectivas

Definición. Se llama sobreyección o aplicación sobreyectiva una aplicación de un conjunto E sobre un conjunto F cuando todo elemento de F es imagen de por lo menos un elemento de E. Es decir, cuando el conjunto de imágenes es F.

La aplicación f es sobreyectiva del conjunto de los reales no nulos sobre F= {1, —1}. La aplicación f f induce en E dos clases de equivalencia, R⁺ y R~.

4.1.3. Biyectivas

Recuerde: El conjunto de llegada F permite distinguir los distintos tipos de funciones.

Definición. Se dice que una aplicación f: Eà F es biyectiva o una hiyección si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Si f es una biyección de E en F, cada elemento y de F es la imagen de un elemento único x de E.

En la literatura matemática son frecuentes los términos sinónimos: correspondencia

biunivoca. función 1—1. sobre, etc.

4.2. IMAGEN DIRECTA. IMAGEN RECIPROCA

Definición de imagen directa. Sea f una función de un conjunto E en F; dada una parte A de E, se llama imagen de A por f el conjunto de los y e F que posean la propiedad 3.v e A tal que y = f(x}.

Definición de imagen recíproca de B por f. Se llama imagen reciproca de B por f el conjunto de los x e E tales que f(x) e B. Sea B un subconjunto de F y f : E -> F.

Sea f una función que aplica el conjunto E en (sobre) el conjunto F. Todo elemento x de E tiene una imagen, un elemento determinado de F : f(x).