Capitulo
II: Conjuntos, Operaciones entre conjuntos.
En este capitulo se
introducen los conceptos más simples de la teoría de conjuntos, puesto que
permiten, de una parte, clarificar y simplificar el lenguaje matemático y, por
otra, aclarar las maneras de razonar que se emplean, ya que el lenguaje
matemático debe ser claro y preciso.
Los signos que se introdujeron en el capítulo anterior son
de naturaleza puramente lógica:
su función es «formalizar» las maneras de razonar.
Ahora se van a introducir los símbolos fundamentales (=, E) que permiten construir relaciones
y objetos con significado matemático. El signo = se utiliza para formar
relaciones, como se indica a continuación:
Si a y b son objetos matemáticos (o conjuntos) se obtiene la relación a = b. Si la relación es verdadera,
significa que los objetos son idénticos.
El siguiente enunciado resume las «reglas de juego» que se
deben tener en cuenta para emplear correctamente el signo de igualdad.
a) La relación x = x es verdadera para todo x.
b) Las relaciones x = y y y = x son equivalentes para todo x y y.
c) Las relaciones x = y y y = z implican la relación x = z para todo x, y y z.
d) Si u y v
son objetos
matemáticos tales que u = v y R(x)
una relación
que contiene la letra x, entonces las relaciones R(v) y R(u), que se deducen de R remplazando x por u y v, respectivamente, son
equivalentes.
En la práctica se utiliza constantemente este axioma sin
hacer referencia a él en forma explicita.
2.1.1.
La relación de pertenencia y el concepto de conjunto
La idea de conjunto es una idea primitiva y, por tanto, no
es susceptible de definición. Pro-viene de las nociones corrientes que se
tienen de conjunto, colección, agrupación de objetos cualesquiera. La teoría de
conjuntos es una teoría de la relación de pertenencia. Las ideas primitivas
son: elemento, conjunto y relación de pertenencia.
Un conjunto E está compuesto de objetos, llamados elementos de E a es elemento de E
Se simboliza por a Î E y se lee «a pertenece a E».
La negación de a E Î E se simboliza por a Ï E y se lee «a no pertenece a E».
Los elementos de un conjunto se representan por diagramas
de Venn cuando los detalles descriptivos de sus elementos no se tienen en
cuenta.
Se utilizan letras mayúsculas para representar los
conjuntos y minúsculas para designar sus elementos, y sus elementos se escriben
entre dos llaves.
Los conjuntos más usados en este texto son:
N = {0, 1, 2, 3, ......}Los números naturales.
N+ = {l, 2,3,4,.....}.
Z = {..., -2, -1,0,1,2, 3,....}
Los números enteros.
Z+ = {l,
2,3,...}.
Z- = {-l, -2, -3,...}.
Q = {0, +½ , +¼
,2,...,} Los números racionales.
R = {. . . , ±2, 1, 1/2, Ö5,...} Los
reales.
C = {a + bi, con a y b reales}. Los números complejos.
2.1.2.
Determinación de un conjunto
Un conjunto se puede definir de dos maneras:
Primera. Cuando se dan en forma explícita sus elementos, se
dice que el conjunto se definió por extensión. En este caso se escriben sus elementos entre dos llaves.
Por ejemplo, E = {0, 3, 7, 9, 1l}.
El conjunto formado por un solo elemento se escribe {a}. Se tiene a E
{a}.
Segunda. Cuando se da un criterio de pertenencia que
permita decidir si un elemento pertenece o no al conjunto considerado. En este
caso se dice que el conjunto se definió por comprensión.
Se escribe E = { x : p(x)} y se lee «el conjunto E está formado por los elementos x que verifican la propiedad (p)».
Por ejemplo, E es el conjunto de los números primos.
Nota. La definición de igualdad de conjuntos
que se dará más
adelante se toma como el axioma que rige el empleo del símbolo E.
Ejemplo 2-1. p(x) representa la fórmula «x es un entero
positivo menor que 5».
Si remplazamos por x los enteros positivos, se encuentra que el conjunto {l, 2, 3, 4} hace que la proposición
considerada sea verdadera y falsa para los demás valores. Este conjunto, que hace a la fórmula verdadera, se llama conjunto solución.
2.1.3.
Igualdad de dos conjuntos
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos
E = Fó[(xÎE)ó(xÎF)]
Este concepto corresponde a la noción común de identidad.
Sean A y B dos conjuntos definidos por comprensión: A el conjunto de los elementos
que
satisfacen la propiedad
(p); B el conjunto de los
elementos que satisfacen la propiedad (q).
A = {X :
p(x)}, B = {y : q(y)}
La igualdad A = B traduce la equivalencia lógica (p) ó (q).
Suponga que A = B y sea x tal que p(x). Si x pertenece a A, entonces x pertenece a B: por tanto, q(x); por consiguiente, (p) =, (q). De la misma manera se muestra que (q)= (p).
Suponga que (p) (q)
y sea x elemento de A. Entonces p(x); esto implica que x
es elemento
de B. De la misma manera se demuestra que todo
elemento de B es elemento de A.
Las propiedades (p) y (q) se llaman propiedades
características de los conjuntos A (o B).
Ejemplo 2-2. Sea A = {0, 2, 4, 6, 8,...} y B el conjunto de los naturales divisibles
por 2. Entonces
A = B.
2.1.3.
Conjunto de conjuntos
La igualdad entre conjuntos cumple las reglas impuestas al
concepto de igualdad (=). Los conjuntos son objetos matemáticos y pueden a su
vez ser elementos de un conjunto.
Un conjunto F cuyos elementos son conjuntos se llama familia
o clase.
2.1.4.
Antinomias
Los matemáticos se han visto obligados a excluir algunos
conceptos, en particular el conjunto de todos los conjuntos que conduce a
contradicciones o antinomias. La siguiente paradoja se debe a Russell:
Si el conjunto de todos
los conjuntos existe, sea E.
Entonces, cualquiera sea
el conjunto X, Xe E y en particular EE E.
Para los conjuntos Y.
considere la siguiente propiedad (p):
[X,
(p)]ó(XÏX)
Sea E(p)=K= {X, XÏX}, es decir, que E(p) es
el conjunto de los conjuntos que no son elementos de si mismos.
¿Se debe escribir K Î K o K Ï K?
Si K Î K, entonces por
definición de K. K Ï K.
Si K Î K, entonces por
definición de K, K Ï K.
En los dos casos hay contradicción. Se evita eliminando el
concepto de conjunto de todos los conjuntos, lo mismo que la relación Xc Y: un
objeto matemático no puede ser a la vez un conjunto y a la vez elemento de ese
conjunto.
En contraste con las parejas ordenadas (a, b), en las que se
tiene en cuenta el orden, {a, a} = {a} porque a = a y un conjunto está
determinado por sus elementos. La distinción que se hace entre {a} y a es
fundamental, porque de lo contrario violaría la norma que en la vida corriente
se hace cuando decimos: «si en la universidad hay un estudiante que estudia
"ruso", es necesario distinguir entre ese alumno y la clase de
"ruso" que contiene a ese único alumno».
Es conveniente considerar el conjunto que no contiene
elementos; se llama conjunto vacío y se simboliza por f o { }.
Además {{ }} = { f } ¹ f.
Cualquiera que sea a, a Ï f es verdadera y a Î f es falsa.
El conjunto {X : x es entero y 2x = 5} = f.
2.1.5.
Inclusión
A partir del signo Î se introduce la
abreviación que se nota por Ì y se llama signo de inclusión.
Definición. Se dice
que un conjunto F está incluido en un conjunto E cuando todo elemento de F
pertenece a E.
F Í E ó (si XÎFà XÎE)
Las diferentes maneras de leer la fórmula son: «F está incluido en
E» o «F es un subconjunto de E».
Si F Í E y E ¹ F se dice que la inclusión es estricta y que F es un subconjunto
propio de E.
Cuando existe un elemento de F que no pertenece a E se dice que no está
incluido en E y se escribe FË E.
Ejemplo 2-3. Si E es el conjunto de los enteros y
F el de los pares, se tiene que F Ì E.
2.1.6.
Inclusión de conjuntos e implicación lógica
Si E y F son dos conjuntos definidos por comprensión por las propiedades
(p) y (q), E={x:p(x)},
F= {y:p(y)}.
La implicación E = F dice que si x verifica la propiedad (p), es decir, x es elemento de
E, entonces x es elemento de F, y x posee la propiedad (q). Por consiguiente, E
C implica que:
(p)à(q)
La implicación (p)à(q) dice que si x es
elemento de E, es decir, si x verifica la propiedad (p), entonces x tiene la
propiedad (q), y x es elemento de F.
Por consiguiente, (p)à(q) implica la inclusión EÌF. La inclusión EÌF equivale a la implicación (p)à(q).
Ejemplo 2-4. Sea E el conjunto de los enteros múltiplos de 6 y F el conjunto de los
enteros múltiplos de 3.
La inclusión E Ì F equivale a:
(ser
múltiplo de 6) (ser múltiplo de
3)
Nota. 1. Para
mostrar la inclusión E Ì F, es suficiente mostrar
que todo elemento de E es elemento de F.
Nota 2. Para
demostrar la negación E Ë F es suficiente probar la
existencia de por lo menos un elemento de E que no pertenece a F.
Nota 3. La igualdad
de dos conjuntos es la conjunción de las dos inclusiones E Ì F y F Ì E.
Para demostrarla, se deben mostrar las dos inclusiones. Se empieza con un X en
E y se muestra que XÎF; esto muestra que E Ì F. Si se toma un elemento
arbitrario y e F y se muestra que y EÎF, entonces F Ì E. De los resultados E Ì F y F Ì E
se concluye que E = F.
2.1.7.
Propiedades de la inclusión
1. Cualquiera que sea el conjunto E: f Í E.
2. E Í E, para cualquier conjunto E. Reflexiva.
3. (E Í F y F Í E)
à E = F. Antisimétrica.
4. (E Í E y F Í G) à E Ì G. Transitiva.
2.1.8.
Complementario y negación lógica
En un referencial E, ser elemento de una parte A de E es
poseer la propiedad (p); ser elemento del complemento CA significa no poseer la propiedad (p), es decir, tiene la
propiedad p).
A = {X : p(x)}ó CEA = {y: -p(y)}
Para toda parte A de E
Si x Î A à x Ï CEA,
entonces x Î CE(CEA)
Si x Î CE(CEA)
à x Î CEA, entonces x Î A
Por tanto, CE(CEA)
= A que equivale a [-(-p)à(p)]. Se dice que A y CEA
son complementarios.
2.1.9.
Conjunto de partes de un conjunto
Se admite el siguiente axioma: Si se consideran todos los
subconjuntos de un conjunto E, ellos dan origen a un nuevo conjunto, que se
llama conjunto de partes de E.
P(E) = {A : A Í E}
2.1.10.
Diagrama en bandera
El diagrama en bandera de un conjunto permite representar
los conjuntos de partes de un conjunto E.
Se representa por medio de un cuadrado que contiene 2"
cuadrados iguales, en el que n es el número de subconjuntos del conjunto considerado E. Todo subconjunto y su complemento
deben formar una partición del cuadrado E y todas las particiones deben ser
distintas. De esta manera se obtienen tantas banderas como subconjuntos tenga E.
Por ejemplo, si E está descompuesto en dos
subconjuntos E1 y E2, el conjunto E
se puede
descomponer.
2.1.11.
Los Cuantificadores
Sea E un conjunto universal y (p) una propiedad. Sea E(p) el
subconjunto de E cuyos elementos
cumplen la propiedad (p)
E(p)= {x : x Î
E Ù p(x)}
Si E(p) = E, se escribe "x Î E, (p) y se lee «para
todo x de E la propiedad p es
verdadera».
El símbolo " es el cuantificador
universal.
Si E(p) ¹ f, se escribe $x Î E, (p) y se lee «existe por lo menos un x de E que cumple la
propiedad (p)».
El símbolo $ se llama cuantificador
existencial.
Definición. Una
variable que en una proposición figura cuantificada se llama variable ligada;
de lo contrario, variable libre.
En el caso de las variables libres, se considera la
proposición como verdadera para cualquier elemento.
Recordemos que la negación de Vx e E, (p) es lx e E, (p)
En efecto, ["x Î E, (p)] equivale a E(p) = E, que equivale a
CE(p) = f
2.2. CONSTRUCCIÓN DE CONJUNTOS A PARTIR DE CONJUNTOS DADOS
2.2.1.
Intersección
Definición. La
intersección de los conjuntos E y F es
el conjunto de los elementos comunes a E y F.
E Ç F = {x : x Î E Ú x Î F}
Si E Ç F = f, los conjuntos E y F no tienen elementos comunes, en este caso se dice que
los
dos conjuntos son disjuntos. Si la intersección no es vacía,
es decir, E Ç F ¹ f, se dice que los conjuntos se intersecan.
2.2.2.
Propiedades de la intersección
Cualesquiera que sean los conjuntos A, B y C se tiene que
1. A Ç f = f
2. A Ç A = A. Idempotencia.
3. A Ç B = B Ç A. Conmutativa.
4. A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C. Asociativa.
2.2.3.
Unión
La unión de los conjuntos E y F es el conjunto de los
elementos que pertenecen a uno por lo menos de los conjuntos E y F.
E È F = {x : x Î E Ú x Î F}
E È F es el conjunto más
pequeño que contiene a la vez a E y F.
Ejemplo 2-8. Si E= {1, 2} y F= {a, b, c) entonces EÈF= {1, 2, a, b, c}.
Nota 1. El conjunto E È F tiene por elementos:
Todos los elementos que pertenecen a E y no a F.
Todos los elementos que pertenecen a F y no a E.
Todos los elementos comunes a E y F.
Nota 2. Sí las propiedades (p) y (q) definen por
comprensión 105 conjuntos E y F, respectivamente, E = {x : p(x)} y F = {y: q(y)},
entonces E y
F = {x : p(x)
Ú q(x)}. Por consiguiente, ser elemento de E U
F es tener por lo menos una de las propiedades (p), (q).
El concepto de unión equivale al concepto de la disyunción
no exclusiva.
Propiedades de la unión
Cualesquiera que sean los conjuntos A, B y C se demuestra que
1. AUf=A.
2. A U A
= A. Idempotencia.
3. A U B = B U A. Conmutativa.
4. (A U B) U C = A U (B U C). Asociativa.