Capitulo III. Relaciones entre conjuntos,
relaciones binarias, producto cartesiano.
La finalidad de este capítulo es «poner en correspondencia»
o en «relación» los elementos de un conjunto consigo mismo o con los de otro conjunto. Después se
estudiarán las propiedades de la «correspondencia» que se llama relación
binaria.
Los signos = y Î
sirven para
construir relaciones.
3.1.1.
Pareja
Definición. Una pareja ordenada es un objeto matemático que se
simboliza por (x, y) y se define como u = (x, y) = {X, {{x.}y}}. La operación de
formar parejas está sujeta a la siguiente regla de empleo:
Para que se cumpla que (x, y) = (u, v) x
= u y y
= v. En particular (x, y) = (y, x) si x = y.
Nota. Algunos autores emplean la regla anterior como definición de
pareja.
El elemento x es el origen o primera proyección o primera
coordenada de la pareja y se escribe
x = pr1 u.
El elemento y es el extremo o segunda proyección o segunda
coordenada de la pareja y se escribe y = pr2 u.
La igualdad entre parejas verifica los axiomas impuestos al
concepto de (=) y, por tanto, son objetos matemáticos que pueden ser elementos
de un conjunto.
El concepto de pareja se amplía de la siguiente manera:
Dados tres objetos matemáticos x, y y z, y se define:
(x, y, z)
= ((x, y), z)
Y se dice que (x, y, z) es una terna ordenada.
Para que las parejas((x,y),z) y ((x',y'), z') sean iguales es necesario
y suficiente que x = x’, y = y’, z = z’; porque ((x’, y ),z') = ((x, y), z) ó (x, y) = (x', y') y z =
z’ x = x’, y = y’, z = z’.
En general, se define un k-ple ordenado (x1, x2, . . . ,
Comúnmente, la manera en que tales conjuntos de parejas ordenadas se
presentan es como subconjuntos de un universo formado de todas las posibles
parejas de elementos tomadas de un conjunto A ¹
f fijo. El caso más simple es cuando A
= {a}; la única pareja ordenada que
se puede formar a partir de A es (a, a). Es decir, el conjunto de las posibles parejas
que se pueden formar a partir de A son {(a, a)}.
El otro extremo es cuando A son los reales; entonces el conjunto de todas las parejas
cuyas coordenadas son elementos de A es el conjunto de todas las parejas de números reales.
3.1.2.
Producto cartesiano de dos conjuntos
Definición. El producto cartesiano (o conjunto producto) de un conjunto E
por el conjunto F es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales
que xÎE y yÎF.
E
x F = {(x,y) : xÎE Ù
yÎF}
Ejemplo 3-1. Si E = {l, 2, 3} y F = {a, b}, entonces E x F = {(l, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
Nota. Si E = F, se obtiene el producto cartesiano de un conjunto por si
mismo y se simboliza por E2.
Se llama diagonal de E
x E al conjunto de las parejas (x, x).
Un producto cartesiano E x F es vacío cuando por lo menos uno de los dos conjuntos
es vació
El producto E x F es distinto de F x E cuando E ¹ F.
Si se escoge un sistema de coordenadas para el plano de la geometría
elemental, con ejes coordenados OX y OY y unidades de longitud sobre dichos ejes, entonces se puede
definir la abscisa y ordenada de todo punto P del plano. Si x y y son sus coordenadas, se escribe
P(x,y).
Las Figuras 3-1 a 3-4 ilustran este concepto: en el caso de que los
conjuntos son puntos, puntos de rectas, segmentos de rectas o sucesiones de
puntos separados.
Al fijar un sistema de coordenadas para el plano por ejemplo, las
coordenadas cartesianas), esto permite asimilar el plano al conjunto R
x R - R2 o espacio euclidiano de dos dimensiones.
El conjunto de todos las k-plas cuyas coordenadas son números reales se
designa por R x R x
... x R = Rk, o espacio euclidiano de k dimensiones.
3.1.3.
Grafo
Definición. Dados dos conjuntos A y B y su producto cartesiano A x B. Se llama grafo G un subconjunto del producto A
x B. Es decir, es un conjunto de
parejas ordenadas (x, y) de A x B.
Ejemplo 3-2. Si A = {a, b, c} y B = {1, 2}, G = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (c, 2)} es un grafo G Ì
A x B.
Si la pareja (x, y) pertenece a un grafo G, se dice que y corresponde a x según G.
3.1.4.
Proyección de un grafo
Definición. Se llama primera proyección del grafo G al conjunto de los
elementos x de A tales
que la pareja (x, y) pertenece a G:
pr1G= {x: (x,y)<ÎG}
De la misma manera se define la segunda proyección del grafo G como el
conjunto de los elementos y de B tales que la pareja (x, y) pertenece a G.
pr2G= {y: (x,y)ÎG}
3.1.5.
Corte de un grafo
Definición. Sea xo un
elemento de A. Se
llama corte del grafo G, según el elemento xo,
al conjunto de las parejas (x0, y)
que pertenecen a G.
C(xo) =
{(xo, y): (xo, y) Î G}
Es evidente que C(xo)
¹ f si xo Î A* y C(xo) = f Si xo Î CA(A*).
3.2. RELACIONES BINARIAS
Definición. Sean E y F dos conjuntos. Toda proposición
que sea verdadera para algunas parejas (x, y) de E x F se llama una relación binaria de E a F.
En otras palabras: una relación binaria es un subconjunto
de E x E. Si la proposición es
verdadera para la pareja (x, y), se escribe x r y, se lee «x está en relación r con
y» o «x, r,
y>).
Definición. El conjunto de las parejas (x,
y), tales que x r y, es un subconjunto de E x F se llama grafo de la relación, y se
simboliza por Gr. Recíprocamente, sean E y F dos conjuntos dados y G su grafo
(subconjunto de E x E). El grafo G determina la relación r de E a F, definida por x r y si, y solamente si, (x,
y) pertenece a G.
x r y ó (x, y) Î Gr
Así el concepto de grafo es equivalente al concepto lógico
de relación binaria. El conjunto E se llama conjunto de partida y E conjunto de llegada. Si la relación r se
verifica para toda pareja (x, y), es decir, Gr = E x E, la relación se llama trivial.
Una relación se expresa en el lenguaje común, remplazando
el símbolo (r por un verbo o expresión verbal. Por
ejemplo, x es menor que y.
Las relaciones binarias de mayor uso en las matemáticas son
|
= igual a |
|
£ menor o igual que |
|
# diferente de |
|
/ divide a |
|
ó equivale a |
|
// es paralelo a |
|
Î pertenece a |
|
^ es perpendicular a |
|
Ì está contenido en |
3.3. COMPOSICIÓN DE RELACIONES
Sea E el conjunto de los
hijos de F y F el conjunto de
los hijos de G. ( r es la relación «hijo de.... » de E a F: d es la relación «hijo de ... .»
de F a G.
Definición.
Sea r una relación binaria
definida de un conjunto E a un conjunto F, y S la relación definida de Fa G. La compuesta de r y d es la relación binaria f de E a G, definida por
x f y ó x Î E, y Î G, $z Î F
: x r z, y, z d y
Es decir, existe un en F tal que
(x , z) Î r Ù (z, y) Î d
La relación f se escribe f = d · r y se lee
«d compuesta r». Si d = r, se escribe r2
Nota.
Observe que el orden en que se
componen las relaciones es inverso del orden en que se dan.
3.4. RELACIONES BINARIAS EN UN CONJUNTO
En esta parte se van a estudiar relaciones bien definidas
en un conjunto E, es
decir, los grafos de E x E.
3.4.1.
Relaciones reflexivas
Definición. Una relación binaria, definida en
un conjunto, es reflexiva si cualquiera que sea el elemento x del conjunto, 1a pareja (x, x) verifica la relación.
Entonces en E: r es reflexiva
" x Î E, x r x.
3.4.2.
Relaciones simétricas
Definición: Una relación binaria, definida en
un conjunto E,
es simétrica si cualquiera que sea la
pareja (x, y)
que verifica
la relación, entonces la pareja (y, x) también la verifica.
En general, si la pareja (x, y) pertenece al grafo de la
relación, la pareja transpuesta (y, x) también pertenece al grafo.
Si Gr es el grafo de la relación r
r es simétrica ó [(x, y) Î Gr ó (y, x) Î Gr]
3.4.3.
Relaciones transitivas
Definición.
Una
relación binaria, definida en un conjunto, es transitiva si, cualesquiera que sean las
parejas (x, y) y (y, z) que
verifican la relación, entonces la pareja (x, z) también la verifica.
La siguiente precaución es útil. En la definición anterior
nos referimos a las parejas (X, y) y (y, Z)
como las
parejas de prueba y llamamos a (x, z) la pareja resultante. Entonces, para mostrar que una
relación r es transitiva, primero se deben examinar todas las posibles parejas
de prueba que pertenecen a r y verificar si la pareja resultante pertenece o no
a r.
No es suficiente hallar que para algunas parejas de prueba
la resultante está en r, pues toda posible elección de parejas de prueba se
debe examinar. Por otra parte, una vez que se halle un caso en que las parejas
de prueba no den una pareja resultante en r, esto muestra que r no es
transitiva.
3.4.4.
Relaciones antisimétricas
Definición.
Una
relación binaria, definida en un conjunto, es antisimétrica si toda pareja (x, y) y su transpuesta (y, x) verifican
simultáneamente la relación; entonces x es igual a y.
Luego r es antisimétrica ó [(x r y Ù y r x) à x = y], "x, "y.
La igualdad es una relación simétrica y antisimétrica. ¿Cómo se
interpreta en un grafo?
3.4.5.
Relaciones de equivalencia
Definición.
Una
relación binaria, definida en un conjunto E ¹ f, es una relación de equivalencia,
si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Si r es una relación de
equivalencia, para traducir que una pareja (x, y) verifica la relación r se remplaza la notación general x r
y por
x = y (mod r); que se lee
«x es equivalente a y módulo r»
Entonces si x, y y z son elementos
cualesquiera de un conjunto E, y si r es una relación de
equivalencia en E,
" x Î E,
x = x (mod
r)
x = y (mod r) à y = x (mod r)
x = y (mod r) Ù
y = z (mod r) à x = z (mod r)
Ejemplo
Si E es el conjunto de los alumnos de un liceo, formado por clases
de alumnos dos
a dos disjuntas y la unión de todas las clases es el conjunto de los alumnos
del liceo. Cada clase tiene alumnos,
esto es, no es vacía.
En este conjunto, la relación binaria «está en la misma
clase que» es reflexiva, simétrica y transitiva. Por tanto, es una relación de
equivalencia.
3.4.6.
Clases de equivalencia
Sea r una relación de equivalencia
definida en un conjunto E ¹ f y a Î E.
Definición.
La
clase de a,
módulo r, es el conjunto de los elementos x Î E, equivalentes a a, módulo r. Se escribe Cl(a) o â.
CI(a) = a = {x :a r x}
La clase de a es la
segunda proyección de la sección del grafo Gr por el elemento a.
Teorema.
Si a' pertenece a la clase de a, entonces la clase de a' y la de a son idénticas.
En efecto, sea área, si xÎa', si (a r a' Ù a r x)à a r x.
Entonces, "x Î a'; x Î a', de donde a' Ì a.
De la misma manera se muestra que a Ì a' \ a = a’
Nota.
Este teorema muestra que una
clase de equivalencia queda determinada por uno cualquiera de sus elementos,
llamado representante de la clase.
Teorema.
Las clases de equivalencia con
respecto a una relación de equivalencia en un conjunto producen una partición de
ese conjunto.
Recuerde: Una partición de un conjunto E es una familia de subconjuntos no vacía, dos a dos disjuntos, y tal que la unión de esos subconjuntos es
igual a E.