Capítulo VI: Relaciones de orden en un conjunto.

1.0.1. Relaciones de orden en un conjunto

El concepto de orden generaliza la noción de prioridad, anterioridad, superioridad, etc.

Definición. Se dice que una relación definida en E x E es una «relación de preorden en E» si goza de las propiedades reflexiva y transitiva.

Ejemplo. La relación cuyo grafo está dado por la Figura es una relación de preorden.

Ejemplo. Cualquier relación de equivalencia es una relación de preorden.

Definición. Un conjunto en el cual se ha definido una relación de preorden se llama «pre-ordenado» por dicha relación.

Definición. Se dice que un grafo G es antisimétrico en sentido amplio cuando para todo par (x, y} del grafo la siguiente relación es verdadera:

[(x,y)e G] y [(y,x)eG)]à(x=y)

Una relación es antisimétrica (en sentido amplio) cuando su grafo es antisimétrico (en sentido amplio).

1.1. FUNCIÓN CRECIENTE, FUNCIÓN DECRECIENTE

1.1.1. Aplicaciones de un conjunto ordenado A en un conjunto ordenado B

Sea < la relación de orden en los dos conjuntos,

Definición. Se dice que una aplicación f de A en B es creciente si la relación x1 < x2 implica que f (x1) < f(x2); se dice que f es decreciente si la relación x1< x2 implica que f(x1) > f(x2). Se dice que f es monótona si f es creciente o si f es decreciente.

Cuando se verifica la desigualdad anterior en forma estricta, decimos que f es estrictamente creciente o decreciente y que f es estrictamente monótona.

6.2. ELEMENTOS NOTABLES

6.2.1. Elementos mínima!, maximal

Sea E un conjunto ordenado de grafo G.

Definición. Un elemento a de E es un elemento minimal si la relación x< a implica que x = a. Se

Ejemplo. El conjunto de los enteros superiores a 1 puede ordenarse por la relación «x divide a y». Los elementos minimales son los números primos.

Elementos máximo, mínimo

Sea E un conjunto ordenado por la relación <.

Definición. Se dice que un elemento a e E es el elemento mínimo de E si para todo xeE se tiene que a < x. Se dice que el elemento b de E es el elemento máximo si para todo x de E se tiene que x < b.

También se denominan «primer elemento» y «último elemento», respectivamente.

Teorema. Si E admite un elemento máximo b, ese elemento es único.

Demostración. Sean b y b' dos elementos máximos de E; b, b' e E.

En forma análoga se demuestra que el elemento mínimo es único.

Ejemplo. Sea N el conjunto de los naturales, O e N es el elemento mínimo de N. N no tiene máximo.

Teorema. Si un conjunto ordenado E tiene un elemento mínimo a (respectivamente un elemento máximo b), tiene solamente un solo elemento i minimal que es a (respectivamente un solo elemento maximal que es b).

Demostración. En efecto, si a es el elemento mínimo de E, todo elemento x de E es tal que a < x; ningún elemento distinto de a verifica la definición de elemento minimal, porque para Un elemento a' distinto de a se tendría a < a' sin que a' = a.

6.1.2. Mayorantes, minorantes

Definición. Sea E un conjunto ordenado y B una parte de E. Se llama minorante de B a todo elemento a e E tal que para todo b e B se tiene que a< b. En forma análoga se llama «ma-yorante» de B a todo elemento a de E tal que b e B se tenga b < a. Si B es a la vez mayorado y minorado se dice que es acotado.

Extremo superior, extremo inferior

Sea E un conjunto ordenado por la relación -< y X un subconjunto de E.

Definición. 1. Se dice que un elemento de E es el extremo inferior de X en E si es el elemento máximo del conjunto de los minorantes de X. Se designa por infp X.

2. Se dice que un elemento de E es el extremo superior de X en E si es e! elemento mínimo del conjunto de los mayorantes de X. Se designa por sup¿ X.

Teorema. Si X tiene un elemento máximo g, entonces g es extremo superior de X.

Conjuntos filtrantes

Definición. Sea E un conjunto en el cual se ha definido una relación de orden representada por -<. Se dice que «E es filtrante para la relación -<» cuando toda parte de E compuesta por dos elementos está mayorada. Se dice también, en este caso, que E es «filtrante a la derecha». Se dice que «E es filtrante para la relación >» cuando toda parte compuesta por dos elementos de E está minorada. En este caso se dice que E es filtrante a izquierda.

Ejemplo. El conjunto E de los cien primeros números naturales 1,2,..., 100 no es filtrante para la relación «x divide a y». Tomemos, en efecto, dos elementos, por ejemplo, el 1 y el 13; este subconjunto {11, 13} no está mayorado por ningún elemento de E ya que no ha ningún número entero inferior a 101 que sea múltiplo de 11 y 13.

Ejemplo. El conjunto N* = {1, 2, 3, . . .} de los números naturales es filtrante paral relación «x divide a y»; en efecto, si tomamos dos números a y b que pertenezcan a N sien pre se encontrarán en N múltiplos comunes a a y b, que mayoran a {a, b}.

Teorema, En un conjunto filtrante E a derecha, un elemento maximal a es el elemento ny ximo de E .

Nota. Un conjunto totalmente ordenado es filtrante a la derecha y a la izquierda.

Intervalos

La mayoría de los lectores conoce ya la definición de intervalo. A continuación los vamos < definir para una relación de orden cualquiera.

Sea E un conjunto en el que se ha definido una relación de orden. Sean a y b dos elementos de E, de modo que a -< b.

Ejemplo 6-32. En el conjunto N ordenado por la relación «x divide a y» el intervalo abierto ]2, 48[ es el conjunto {4, 6, 8, 12, 16, 24}. En efecto, para cualesquiera de ellos, «2 divide a y x divide a 48». Así, por ejemplo, 2 divide a 12 y 12 divide a 48.

Ejemplo 6-33. Considere el conjunto A = {a, b, c, d}; en el conjunto P(A) ordenado por inclusión, el intervalo cerrado [{a}, {a, b, c, d}] es el siguiente subconjunto A de P{A):

A = {{a}, {a, b},{[a, c}, {a, a}, {a, b, c}, {a, h, a}, {a, c, a}, {a, b, c, d}}

Intervalos ilimitados

Intervalo cerrado ilimitado a la izquierda y de extremo a;

]ß, a] = {x : x < a}

Intervalo cerrado ilimitado a la derecha y de origen a:

[a, à[ = {x : x > a}

Intervalo abierto ilimitado a la izquierda y de extremo a:

]ß, a[ = {x : x -< a, x ¬= a}<

Intervalo abierto ilimitado a la derecha y de origen a:

]a,à[ = {x : x>- a, x ¬= a}

Nota. El conjunto E es un intervalo que se representa por ]ß.à[.

Nota. La parte vacía de E es un intervalo.