Capítulo VII: Estructuras Algebraicas, anillos, cuerpos.

 

7.1. ESTRUCTURA DE GRUPO

 

            El cocimiento de los conceptos de grupo, anillo y cuerpo, permiten dar una descripción clara de las propiedades algebraicas elementales de los sistemas de números y también mostrar que estas estructuras algebraicas aparecen en muchas ramas de la matemática.

 

Definición. Si  G es un conjunto dotado de una ley de composición interna (operación) *, se dice (G*) es un grupo si se cumplen los siguientes axiomas:

 

            Axioma 1. ("x)( "y)(x*y) Є G. Clausurativa.

            Axioma 2. ("x)( "y)( "z): (x*y)*z =x*(y*z). Asociativa.

            Axioma 3. ($e)(e Є G)("x):e*x = x*e = x. Existencia del elemento neutro.

            Axioma 4. ( "x) ($e!):x*x’ = x’x=e.  Existencia del elemento simétrico.

 

            Se dice que G es un grupo conmutativo o abeliano si la ley * es conmutativa. Se dice que el grupo es finito si el grupo tiene un numero finito de elementos. Él numera n de elementos se llama orden del grupo.

 

 

Comentario. El axioma 2 dice que si dan tres elementos de G no importa el orden en que se realicen los dos productos. El axioma 3 dice que g no es  vació, es decir, contienen por lo menos a e. Si sopera sobre la pareja (x, e) o(e, x), el resultado es x; como no afecta a x, se llama elemento neutro o elemento identidad de G. Si  G={e}è e*e = e, en este caso es fácil ver que({e}, *) es un grupo, que se llama grupo trivial.

            El axioma 4 hace corresponder, a cada x Є G el elemento x’ llamado inverso de x.

 

 

 

 

 

 

7.2. EJEMPLO DE GRUPOS

 

 

CONJUNTO

OPERACIÓN
Z

Suma

Q

Suma

R

Suma

Múltiplos den n Є N

Suma

Q-{0}

Multiplicación

R-{0}

Multiplicación

{-1,1}

Multiplicación

Movimientos de un cuadrado.

Composición

Movimientos de un polígono

Composición

Rotaciones de centro dado.

Composición

El conjunto de vectores del plano o el espacio.

Suma de vectores.

 

 

7.3. Subgrupos

 

Definición. Sucede a veces que una parte H de un grupo G forma ella misma un grupo; se dice entonces que H es un subgrupo de G.

 

 

7.3.1. Ejemplos de grupos y subgrupos                          

 

 

Grupo                                                                        Subgrupo                                                                

(Z,+)                                                                          Grupo aditivo de los enteros pares.

(CQ{0}, · )                                                                  (Q+, · )

(CQ{0}, · )                                                                  ({-1,1}, · )

Grupo del trianguló equilátero                          Grupo de las rotaciones del triangulo equilátero{e,d,f},                   

Subgrupos{e,a},{e,b}y{e,c}.

Para demostrar que un subconjunto S de un grupo G es subgrupo, es necesario verificar que

 

            1. -S es estable con relación a la operación del grupo.

            2. -e pertenece al subconjunto S.

            3. -El inverso de todo elemento de S esta en S.

 

Nota: No se verifica la existencia del compuesto, del elemento neutro y de un inverso para cada elemento. Esa existencia esta asegurada por las propiedades de G. Por el contrario, se verifica la pertenencia de esos elementos a S.

La asociatividad en G asegura la asociatividad en S.

 

 

7.4. GRUPOS ISOMORFOS

 

            Desde el punto de vista conjuntivita, una aplicación f de E en F puede ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Si E esta dotado de una ley (*) y F de una ley (T), puede suceder que la aplicación f de (E,*) en (F,T) tenga la propiedad

 

"(x,y) Є E x F,f( x * y ) =f(x) T f(y)

 

Esta propiedad se llama un homomorfismo, Si f, además de ser un homomorfismo, es biyectiva se dice que f es un isomorfismo. Endomorfismo, si es un homomorfismo de (E,*) en sí mismo. Automorfismo, si es un isomorfismo de (E,*) sobre sí mismo.

Considérese los siguientes grupos: el grupo del rectángulo, el grupo de las cuatro biyecciones e, f, h y ρ(e) dotado de la diferencia simétrica Δ en el caso E={a,b}.

 

Teorema 1. En un isomorfismo, los elementos neutros se corresponden.

            Teorema 2. En un isomorfismo la imagen del inverso de un elemento x es el inverso de la imagen de ese elemento.

            Teorema 3. Un isomorfismo conserva el orden de un elemento.

            Teorema 4. Todos los grupos cíclicos de orden son isomorfos al grupo aditivo de las clases residuales (mod. n).

            Teorema 5. Todos los grupos cíclicos de orden infinito son isomorfos a Z dotado de la adición.

 

7.5. GRUPOS CÍCLICOS

 

 

Definición 1.si (G,*) es un grupo, n un entero mayor a 0, e el elemento neutro de (G,*)y a Є G, entonces el producto de n y a se define de la siguiente manera:

 

            1. n.a = e para n=0, es decir, 0.a=e.

            2. n.a = a para n=1, es decir, 1.a = a.

            3. (n+1).a = (n.a) *a para n ≥ 1.

            Se llama los productos de 0 y a,1 y a, y de (n+1) y a, respectivamente.

 

Definición 2. Si(G,*) es un grupo, a Є G, a’ el simétrico de a y n un entero positivo, entonces –n .a = n.a’.

 

7.6. PRODUCTO DE GRUPOS

 

 

Definición. Si (G,*) y (H, º ) son dos grupos finitos conmutativos, el producto cartesiano de los conjuntos G y H se define como

 

G x H ={(g,h), g Є G y h Є  H}

 

 

7.7. ANILLOS

 

            A continuación se van a estudiar conjuntos en los cuales se definen dos leyes de composición.

Definición 1. Sea un grupo aditivo abeliano A; si además A se dota de una segunda ley, llamada multiplicación, decimos que A es un anillo si se verifican los siguientes axiomas:

 

            Grupo abeliano aditivo Sean x, y, z Є A.

            Axioma 1, "x, "y:  x + y Є A                 Clausurativa.

            Axioma 2, "x, "y, "z: ( x+y)+z =x+(y+z)               Asociativa.

            Axioma 3. $ O Є A, "x: 0 + x=x+0=x                    Existencia del elemento neutro.

            Axioma 4. "x, $ (-x) (-x)+x = x+(-x)=0                  Existencia del elemento inverso aditivo

            Axioma 5. "x, "y: x + y = y + x                              Conmutativa.

            Axioma 6. "x, "y:  x  y Є A                             Clausurativa.

            Axioma 7, "x, "y, "z: : x(yz) = (xy)z           Asociativa.

            Axioma 8, "x, "y, "z: : (y+z)z = yx + zx                 Distributiva a izquierda.

            Axioma 9. "x, "y, "z: : (y+z)x = yx +zx                  Distributiva a derecha.

 

Definición 2. Un anillo A se llama con unidad si la multiplicación tiene unidad. El anillo se llama conmutativa si la multiplicación es conmutativa.

Definición 3. Un elemento u de A se llama inversible si A tiene  inverso multiplicativo en A

Definición 4. Un anillo se llama anillo de división si los elementos distintos de cero forman un grupo multiplicativo para ala multiplicación. 0, lo que es lo mismo, si todo elemento de A distinto de cero es una unidad.

 

 

7.8. IDEALES

 

 

Definición. Sea(A,+, · ) Un anillo y B un conjunto no vació de A. Entonces decimos que el sistema (B,+ , ·)es una idea de    (A, + , ·)si, es un ideal de (A,+, ·)si, y solamente si ,para cada a,b Є B y cada s Є A.

 

 

1.                  la diferencia a- b Є B.

2.                  El producto S · a Є B.

3.                  El producto a · s Є B.

 

Obsérvese que la diferencia que existe entre un ideal y un subanillo es que en el caso de un ideal la propiedad clausurativa de la multiplicación, entre elementos de b y de A, da elementos de B, mientras que en el caso de un subanillo la multiplicación es clausurativa únicamente entre elementos de B.

 

 

7.8. HOMORFISMO

 

 

            El homorfismo tiene como objeto estudiar las funciones que hacen corresponder a más de un elemento del codominio y que además conservan las operaciones de las dos estructuras.

 

Definición Sean (A,+,  ·) y (B,U,Q)Dos anillos y f una función de A en B se dice que f es un homomorfismo de A en B si, y solamente si, para t1,t2 Є a: 1, f(t1,t2) = f(t1) Uf(t2);f(t1 · t2)= f(t1 ) Q f(t2).

 

7.9. CUERPOS

 

 

Definición Se llama cuerpo todo anillo en el cual los elementos no nulos forman un grupo respecto de la multiplicación. Si el grupo es abeliano, el cuerpo se llama conmutativo. Es decir, se cumplen los siguientes axiomas:

 

I.                                Grupo abeliano aditivo.

 

1.  Existe una ley representada por +,"x, "y:  Є(x+y) c

2. "x, "y:  x + y = y+x           

3. "x, "y, "z: : (y+z)+z = y + (x+z)

4.$ O Є c, "x : 0 + x = x + 0 = x

5. "x, $ (-x) (-x)+x = x+(-x)=0

 

II         Grupo abeliano conmutativo

6. Existe una ley( · ) "x, "y:  x y Є c           

7. "x, "y, "z: : x(yz) = (xy)z              

8. $ O Є c, "x : e x = x e= x

9. "x, x<>0, $ x’: x’x=e

 

III        Distributiva

10. "x, "y, "z: : (y+z)x = yx +zx

 

Reglas del calculo. Como un cuerpo es un anillo especial se cumplen las propiedades enunciadas para los anillos la existencia del grupo multiplicativo hace que la ley de simplificación sea valida para los elementos no nulos.

 

 

7.10. ESPACIO VECTORIAL

 

 

            Sea(F,+, ·) un cuerpo conmutativo con elemento unidad e y V el conjunto de los elementos Ữ,ΰ,.......,en los cuales se define una ley de composición interna simbolizada +, y una ley de composición externa, aplicación F x V en V, simbolizada (·).

 

Definición. Se dice que el conjunto V tiene una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo F sí:

            1. (V,+) es un grupo conmutativo(el elemento neutro se escribe Ǒ)

            2.La aplicación(α,u)à α u verifica lo siguientes axiomas:

 

Axioma a) "α Є F·"( Ữ,ΰ) Є v2: α(Ữ,ΰ)= α · Ữ + α  · ΰ                     Distributiva

Axioma b) "(α,β) Є F2·" Ữ Є v: (α+β) Ữ = α · Ữ + β  · Ữ                Asociatividad mixta

Axioma c) "(α,β) Є F2·" Ữ Є v: α(β · Ữ )= (α · β) · Ữ                      Asociatividad mixta

Axioma d) "Ữ Є V:  e Ữ = Ữ                                                Elemento neutro

 

Los elementos de V se llaman vectores; los de F, escalares u operadores. La ley + se llama la adición vectorial y (·) la multiplicación de un vector por un escalar.