Nel piano verticale Oxy due palline A e B, di eguale peso p, sono collegate da una molla e si attraggono proporzionalmente alla loro distanza (k2 coefficiente di proporzionalità). La pallina A è scorrevole senza attrito sull'asse y verticale, la pallina B scorre, pure essa senza attrito, sulla bisettrice degli assi cartesiani. Il piano Oxy ruota uniformemente con velkocità angolare w attorno all'asse y verticale.
1. trovare la configurazione di equilibrio relativo del sistema studiarne la stabilità;
2.studiarne la stabilità al variare del parametro w.
1.
U (x,y) = p(x + y) + mw2x2/2 - ( k2/2 )( 2x2-2yx +y2)
dU/dy = p - k2( -x +y) = 0 y = ((3k2-mw2)p)/k2(k2-mw2)
dU/dx = p + mw2x - k2( 2x -y )=0 x = 2p/(k2-mw2)
2.
d2U/dx2 = mw2 - 2k2
d2U/dy2 = - k2
d2U/dxdy = k2
H(x,y) = k2(k2- mw2)
se w2< k2/m la posizione è di equilibrio stabile
se w2 = k2/m non esiste equilibrio perchè il sistema è incompatibile
se w2> k2/m non si può affermare nulla sulla natura dell'equilibrio.
