Si consideri nel piano verticale Oxy l'asta omogenea OC di lunghezza l e peso p, fissata a cerniera in O e collegata a cerniera con l'asta AB di lunghezza 3l e peso 3p, nel punto C (con CB = l). Il punto D dell'asta AB (con AD = l), è scorrevole lungo l'asse y verticale. Negli estremi A e B dell'asta sono fissate due masse puntiformi di peso p, ed il punto B è attratto da O mediante una forza elastica f = -k2(B-0). Considerando solo le posizoioni del sistema nel semipiano x>0 e trascurando gli attriti:
1. trovare la configurazione di equilibrio relativo del sistema studiarne la stabilità;
2. studiarne la stabilità;
3. scrivere l'espresssione della T del sistema durante il moto.
1.
U = -8pl senq - 2k2l2 cos2q
dU/dq = - 8pl cosq + 4k2l2senqcosq = 0 per q = ±p/2; arcsen(2p/k2l)
d2U/dq2 = 8pl sinq + 4k2l2(1 + 2sen2q)
Primo caso se 2p >= k2l esistono solo le due configurazioni di equilibrio ±p/2
Secondo caso se 2p < k2l esistono le tre configurazioni di equilibrio q = ±p/2; arcsen(2p/k2l)
2.
Primo caso se 2p > k2l d2U/dq2 > 0 equilibrio instabile (p/2)
Primo caso se 2p > k2l d2U/dq2 < 0 equilibrio stabile (-p/2)
Primo caso se 2p = k2l d2U/dq2= 0, U'''' >0 equilibrio instabile (p/2)
Primo caso se 2p = k2l d2U/dq2 < 0 equilibrio stabile (-p/2)
Secondo caso 2p < k2l d2U/dq2 < 0 equilibrio stabile (p/2)
Secondo caso 2p < k2l d2U/dq2 < 0 equilibrio stabile (-p/2)
Secondo caso 2p < k2l d2U/dq2 > 0 equilibrio instabile (arcsen(2p/k2l))
3.
T = T1(OC) + T2(AB) + T3(A) + T4(b)
T1 = (1/6) ml2q'2
T2 = (3/2) ml2q'2 + 3ml2cos2qq'2
T3 = (1/2) ml2(1+8cos2q)q'2
T4 = 2 ml2sin2qq'2
T = (1/6) ml2q'2 + (3/2) ml2q'2 + 3ml2cos2qq'2 + (1/2) ml2(1+8cos2q)q'2 + 2 ml2sin2qq'2
