Nel piano verticale Oxy un'asta rigida omogenea OA, di peso p e lunghezza 2a, è girevole attorno all'estremo fisso O e si appoggia ad una lamina omogenea quadrata, di peso q e lato a, che che può scorrere sulla guida x orizzontale, ed è soggetta alla forza f = -(21/2p/4a)(M-N) essendo M il punto medio di AB ed N il punto sull'asse y distante a/2 da O.
Trascurando tutti gli attriti ed adottando quale parametro lagrangiano l'angolo indoicato in figura; con la limitazione
p/6<q<p/2;
Determinare:
1. la configurazione di equilibrio relativo del sistema studiarne la stabilità;
2. la forza FA sull'asta esercitata dall'appoggio in A;
3. le reazioni vincolari esterne.
1.
U = -apsenq - (21/2p/8a) a2cotg2q
dU/dq = -apcosq - (21/2p/4) a cotgq/sen2q = 0 per p/6< q < p/2 ,
sen3q = 21/2/4; senq = 21/2/2 ossia q = p/4
d2U/dq2 = apsenq - (21/2pa/4) (1+2cos2q)/sen4q
per la stabilità controllo il segno della derivata seconda in q = p/4 :
d2U/dq2 (p/4) >0 quindi si ha equilibrio stabile.
2.
Poichè per l'asta deve essere Mz = 0 si ricava:
pa 21/2/2 + FA 21/2a = 0
FA = p/2
3.
FOx - 21/2/2 FA = 0
FOx = 21/2p/4
p + 21/2/2FA - FOy = 0
FOy = (4 - 21/2)/4
per l'equilibrio della lamina è
-(2p1/2/a4)a + (p/2)(21/2/2) = 0
-q - (p/2)(21/2/2) + FBy + FCy = 0
FBy + FCy = q/2 + p21/2/8
