In un Riferimento cartesiano Oxyz con lasse z verticale orientato verso l’alto, si considerino due particelle materiali P e Q di eguale massa m: P è vincolato a stare su una guida circolare di centro O e raggio r posta nel piano xy; il punto Q è vincolato a stare su una guida rettilinea posta nel piano xz di equazione z=2r. Tra i due punti si esercita una forza di tipo elastico di costante elastica k2. Supposti i vincoli lisci:
1. trovare la configurazione di equilibrio relativo del sistema e studiarne la stabilità;
2. determinare le reazioni vincolari in P e Q nelle configurazioni di equilibrio;
3. scrivere le equazioni differenziali del moto.
1.
U = -mgr senq - k2/2(PQ)2 = -mgr senq - k2/2(x2-4r2senq)
dU/dx = - k2x = 0 per x = 0
dU/dq = - mgr cosq + k2r2cosq = 0 per q = ±p/2
d2U/dx2 = - k2
d2U/dq2 = (mg - k2r)r senq
d2U/dxdq = 0
H(x,q) = k2( mg - 2k2r)r senq
Primo caso se mg # 2k2r esistono le due configurazioni di equilibrio (0 ; ±p/2)
H(0 ; p/2) = (2k2r - mg)k2r se 2k2r > mg, essendo d2U/dx2 = <0 l'equilibrio è stabile ; se 2k2r < mg è instabile.
H(0 ;-p/2) = -(2k2r - mg)k2r se 2k2r > mg essendo d2U/dx2 = <0 l'equilibrio è instabile ; se 2k2r < mg è stabile.
Secondo caso se mg = 2k2r il potenziale è U = - k2x2 ed esistono infinite posizioni di eqilibrio
2.
Le reazioni in P e Q sono date rispettivamente da :
P : F(P) = -mg + k2 (P-Q)
Q: F(Q) = -mg + k2 (Q-P)
in (0 ; p/2) F(P) = mg - k2r F(Q) = mg + k2 r
in (0 ; -p/2) F(P) = mg -3k2r F(Q) = mg + 3k2 r
3.
T= 1/2 r2q'2 + 1/2 mx'2
d/dt dT/dx' - dT/dx = 0 mx'' = -k2x
d/dt dT/dq' - dT/dq = 0 mrq'' =- (mg - 2k2r) r cosq
