Si consideri, mobile nel piano verticale Oxy, un sistema materiale costituito dall'asta OA di massam m e lunghezza a, il cui estremo O è incernierato nell'origine, e dalla particella P di massa M che può scorrere sull'asse x orizzontale. Fra l'estremo A dell'asta ed il punto P agisce una forza elastica di costante k2=mg/a. Supposti i vincoli lisci:
1. trovare la configurazione di equilibrio relativo del sistema e studiarne la stabilità;
2. scrivere le equazioni differenziali del moto.
1.
U = -mg a/2 cosq - (mg/2a) (a2+x2-2ax senq)
dU/dx = - mg/a x + mg sinq = 0 per x = a sinq
dU/dq = - mg a/2 sinq + mg x cosq = 0 per 2 x cosq - x = 0
d2U/dx2 = - mg/a
d2U/dq2 = - mg a/2 cosq - mg x sinq
d2U/dxdq = mg cosq
H(x,q) = (- mg/a)(- mg a/2 cosq - mg x sinq) - (mg cosq )(mg cosq )
si hanno le quattro posizioni di equilibrio:
A1(0,0) ; A2 (0,p) ; A3(31/2a/2,p/3) ; A4 (-31/2a/2,-p/3)
H(A1) < 0 equilibrio instabile
H(A2) <0 equilibrio instabile .
H(A3,A4) > 0 equilibrio stabile
2.
Equazioni di Lagrange:
L= 1/6 ma2 q'2 + 1/2 Mx'2 + mg a/2 cosq - (mg/2a) (x2-2ax senq)
Mx''+ (mg/a)x - mg sinq = 0
1/2 a2q'' + (1/2)ga sinq - gx cosq
