Esame di MECCANICA RAZIONALE

14 Giugno 1994

In un Riferimento cartesiano Oxyz con lasse z verticale orientato verso l’alto, si considerino due particelle materiali P e Q di eguale massa m: P č mobile lungo la bisettrice dell’angolo xOz, Q lungo l’asse y. Le due particelle si attraggono reciprocamente con una forza di tipo elastico di costante k². Supponendo che la terna di riferimento ruoti uniformemente con velocitą angolare w attorno all’asse delle z e trascurando gli attriti:

1. ponendo k²=2mw², trovare la configurazione di equilibrio relativo delle due particelle e studiarne la stabilitą;

2. ponendo k²=3mw²/2 , studiare il moto relativo delle due particelle supponendo che esse inizialmente si trovino entrambe in O a velocitą nulla.

Soluzione

U = -mgz(P) -mgz(Q) -k²/2 PQ² + (mw²/2) (y²(P)+x²(Q))

U(u,y) = -(2^½/2)mgu - k²/2(u² + y²) + mw²/2 y² + (mw²/4)u²

dU/du = -(2^½/2)mg - k²u+ (mw²/2)u

dU/dy = - k² y + mw² y

d²U/du² = - k² + mw²/2

d²U/dy² = - k² + mw²

d²U/dudy = 0

H(u,y) =( - k² + mw²/2)( - k² + mw² )

1. Posto k²=2mw² si ha 

dU/du = -(2^½/2)mg - (3mw²/2)u

dU/dy = - mw² y

d²U/du² = - 3mw²/2

d²U/dy² = - mw²

d²U/dudy = 0

H(u,y) = 3m²w⁴/2

dU/du = 0 x = -(2^½g/3w²)

dU/dy = 0 y = 0

Tale configurazione č di equilibrio stabile

  2. Posto k² = 3mw²/2 le equazioni del moto sono:

mü = dU/du

m’ = dU/dy

da cui:

ü = -2^½g/2 - w²u

’ = -w²y/2

u=A₁ cos (wt + g₁) - 2^½g/2w² y=A₂cos(2^½wt/2 + g₂)

le condizioni iniziali impongono

g₁=0 A₁=2^½g/2w² A₂=0

le equazioni delle due particelle sono pertanto:

u = 2^½g/2w² (coswt-1)

y=0

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