1. del: Arbitrageprissætning af aktiver under sikkerhed

I første del af disse noter opstilles en model for prissætning af aktiver, hvis betalinger kendes med sikkerhed. Med udgangspunkt i karakterisering af en arbitrageligevægt indføres diskonteringsfaktorer og renter på en præcis måde. Forskellige resultater om sammenhæng mellem diskonteringsfaktorer og renter gives, og begreberne anvendes til at analysere værdien af særlige, velkendte betalingsstrømme. I 2. del generaliseres analysen til at omfatte aktiver, hvis betalinger ikke kendes med sikkerhed, og det viser sig, at den formelle fremstilling fra 1. del let kan overføres til den mere generelle problemstilling.

1. Arbitrageligevægt over tid

I dette kapitel defineres en arbitrageligevægt. Ifølge Ross er folkloren, at en papegøje, der kan sige "udbud og efterspørgsel" kan blive økonom, og derfor må en papegøje, der siger "arbitrage, arbitrage", kunne blive finansieringsanalytiker. I kapitlet karakteriseres en arbitrageligevægt over tid ved eksistensen af implicitte diskonteringsfaktorer, som analyseres videre i kap. 2.

1.1. Definition af arbitrageligevægt

Vi betragter en økonomi uden usikkerhed over T+1 tidspunkter, der er indekseret ved t Î {0,1,2,...,T}. Tidspunkterne er ikke nødvendigvis ækvidistante i faktisk tid. På tidspunkt 0 kan økonomiens investorer handle J finansielle aktiver indekseret ved j Î {1,2,...,J}. Et finansielt aktiv j er givet ved en afbildning v_j: T ®  R, hvor T = {1,2,...T}, og hvor v_j(t) er betalingen, der opnås på tidspunkt t, hvis man ejer en enhed af aktiv j. Et sådant aktiv kan fx være en statsobligation.

Lad V: T ® R^J være vektorafbildningen, der til hvert tidspunkt tilordner betalingerne fra de J aktiver. Vi kan repræsentere V ved en TxJ matrix, kaldet betalingsmatricen, hvor betalinger på T fremtidige tidspunkter fra et af J finansielle aktiver udgør en søjle, således at den j'te søjle (v_j(1),v_j(2),...,v_j(T))' , som vi tillader os også at benævne v_j, er betalingerne på det j'te aktiv på hvert af tidspunkterne. Det burde ikke give anledning til misforståelser, at denne matrix også betegnes V. En række i V er betalingerne fra de J aktiver på et af tidspunkterne.

I dette har vi antaget, at betalingerne sker i et betalingsmiddel eller i en numerairevare. Der er den forskel på de to antagelser, at forbrugerne ikke normalt kan antages at have en direkte nytte af at besidde og forbruge et betalingsmiddel, hvorfor dette måske ikke har en pris forskellig fra nul. Er numerairevaren fx korn eller kvæg kan en positiv pris måske med større ret forudsættes. Dette problem forfølges ikke i det videre, hvor det blot antages, at investorerne ønsker så store betalinger som muligt.

I visse sammenhænge er det interessant at betragte aktiver, hvis udbytte er givet i form af bundter af varer. Sådanne aktiver, der i litteraturen kaldes reale aktiver, vil vi se bort fra, idet de indebærer den komplikation, at betalingen udtrykt i økonomiens betalingsmiddel eller den valgte numerairevare afhænger af alle varepriserne. Det giver interessante - omend i en præcis forstand sjældne - problemer for eksistens af ligevægt, jf. Hart (1977).

En portefølje er en beholdning af aktiver. I vores sammenhæng vil vi formalisere dette ved at definere en portefølje som en vektor x Î R^J, hvor den j'te koordinat angiver, hvor mange enheder af det j'te aktiv, der indgår i porteføljen. Vi udelukker ikke, at x kan have negative elementer, hvor et negativt element dækker over en såkaldt kort position (eller en baisse position). En kort position skal fortolkes som en forpligtelse til at levere det pågældende aktiv eller de betalinger, der kommer fra sådant et aktiv. I visse sammenhænge betegnes dette at etablere en kort position som at udstede eller skrive aktivet. I det følgende antages det, at der ikke er grænser for, hvor store korte positioner, der kan tages.

Den formelle notation fortsættes ved at lade p Î R^J være en vektor af priser (kurser) på de J aktiver. Vi antager, at alle investorer er pristagere, og at de både kan købe og sælge til de givne priser uden transaktionsomkostninger. Den følgende definition er så central, at det definerede begreb ikke blot understreges - definitionen får også et nummer:

Med andre ord foreligger der en arbitragemulighed, hvis man uden at ofre noget på eet tidspunkt kan få noget på et eller flere andre tidspunkter.

Hvis V fremgår af sammenhængen, vil vi tillade os at sige, at priserne p arbitragefrie, når vi mener, at (V,p) er arbitragefrit.

Fortolkningen er, at priserne er arbitragefrie, hvis alle porteføljer, som giver ikke negative betalinger på alle tidspunkter og ikke giver 0 uniformt, har en positiv pris - og at porteføljer, der uniformt giver betalingen 0, har en ikke-negativ pris.

Bemærk, at hvis p'x ³ 0 for alle x, hvor Vx = 0, så medfører dette under forudsætningen om mulighed for at gå kort, at p'x = 0.

Definer for givet (V,p) den udvidede betalingsmatrix W som (T+1)xJ-matricen med -p' som første række og de øvrige T rækker udfyldt med de T rækker i V. Matricen W giver betalingerne på de J aktiver på alle T+1 tidspunkter, dvs. inkl. tidspunkt 0, hvor aktiv j erhverves til kursen p_j.

Det er en nødvendig betingelse for generel ligevægt, at priserne er arbitragefrie, såfremt der er blot en investor med monotone præferencer - det er nemlig en nødvendig betingelse for eksistens af en løsning til denne investors valgproblem.

1.2. Karakterisering af arbitrageligevægt

Den følgende sætning, der karakteriserer aktivpriser i arbitrageligevægt, er grundlæggende i finansieringsteori. Den følger her af et separationsargument:

"Hvis": Lad der være d >> 0, så p' = d'V. Postmultiplicer p' = d'V med w og få p'w = d'Vw. Denne lighed kan også skrives på formen (1 d')Ww = 0. Men da (1 d') >> 0, så kan det ikke gælde, at Ww > 0. Dvs. (V,p) er arbitragefri.

"Kun hvis": At der ikke eksisterer arbitragemuligheder, er ækvivalent med, at mængden Y := { y | $w: y = Ww } ikke har punkter fælles med R₊^T+1 := {y | y > 0} ud over {0}, dvs. Y Ç R₊^T+1 = {0}.

Efter Minkowskys separationssætning, jf. fx Nikaido (1968, teorem 3.5) findes da et d* ¹ 0, så at for alle y i Y og z i R₊^T+1, z ¹ 0, er d*'z > 0 ³ d*'y. Ved at lade z gennemløbe (1,0,...,0), (0,1,0,...,0) til (0,0,...,1) ses, at d* >> 0. Da Y er et lineært underrum, og dermed at også -y er i Y, må 0 = d*'y for alle y i Y.

d*' = (d*₀,d*₁,...,d*_T) er en (T+1) vektor. Definer T-vektoren d' := (d*₁/d*₀,d*₂/d*₀,...,d*_T/d*₀)' >> 0. Lad w være en vilkårlig portefølje, hvorfor y := Ww er i Y. Skrevet ud er y₀ = -p'w og (y₁,...,y_T)' = Vw. Da 0 = d*'y, gælder p'w = d'Vw for vilkårlige w, dvs. p'= d'V. QED.

Vektoren d i sætningen siges at være en vektor af diskonteringsfaktorer. Diskonteringsfaktorerne giver således en prissætning af betalingsstrømme konsistent med øvrige priser og fraværet af arbitragemuligheder. Denne prissætning er, som det ses, en lineær funktion af betalingsstrømmen.

1. Diskonteringsfaktorerne er entydigt givne, hvis V har fuld søjlerang. Een måde at opfylde dette på er, at de J = T aktiver er T forskellige nulkuponobligationer (NKO'er) dvs. aktiver, hvis betaling er 1 kr. på et bestemt tidspunkt og 0 kr. på alle andre tidspunkter, således at V (evt. ved en permutering af søjlerne) er identitetsmatricen, I. Lad P(t) være prisen på en NKO med forfald på tidspunkt t. Iflg. sætning 1 er P(t) = d(t) i arbitrageligevægt, hvorfor diskonteringsfaktorer og NKO-priser ofte betragtes som samme begreb.

2. For et givet V er span(V) mængden af lineære kombinationer af søjler i V. En ønsket formue y Î R^T på de forskellige tidspunkter kan opnås ved handel af de J aktiver, såfremt y Πspan(V), idet der da per definition eksisterer en portefølje x Î R^J, så at y = Vx.

Hvis V har T lineært uafhængige søjler, siges markederne givet ved de J aktiver at være fuldstændige, og V at udspænde alle markeder, fordi det er muligt at overføre formue frit mellem perioderne via markederne.

3. Betragt en betalingsmatrix V med T lineært uafhængige søjler, hvor J - T aktiver smides væk som overflødige, sådan at V er en TxT matrix af fuld rang. Hvis man ønsker at disponere over formuen y Î R^T, en T-vektor, hvor t-te element giver formuen på tidspunkt t, købes blot porteføljen x af de T aktiver, hvor x = V^-1y.

4. Den inverse V^-1 har i dette tilfælde en enkel fortolkning, idet den t-te søjle i V^-1 er den portefølje af de J = T aktiver, der genererer samme betaling, som den t-te NKO. Såfremt NKO'erne ikke kan handles direkte, så kan de altså skabes syntetisk vha. porteføljerne givet ved V^-1.

5. I tilfældet med J = T lineært uafhængige søjler i V, findes diskonteringsfaktorerne ved at postmultiplicere sammenhængen i (1) med V^-1, dvs. d' = p'V^-1.

I intet af det foregående er det nødvendigt at antage, at tidspunkterne er jævnt fordelt over perioden fra 0 til T. Vi kunne med blot lidt mere kringlet notation fx have valgt tidspunkter 0 = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_T = T. Det gøres i kap. 2.

Eksempel 1 (Syntetiske nulkuponobligationer): Betragt betalingsmatricen

som giver 4 aktivers betalinger (At disse kan ses som hhv. et 4 årigt 10% stående lån, et tilsvarende 3 årigt lån, et 4 årigt 10% annuitetslån og et 4 årigt 10% serielån forklares i kap. 5).

Den inverterede betalingsmatrix kan beregnes til

Antag, at man observerer kurserne

Hermed kan diskonteringsfaktorerne beregnes, jf. pkt. 5, som

Jf. pkt. 4 angiver 3. søjle i V^-1 den portefølje, der giver betalingen 1 kr. i år 3 og 0 kr. i alle andre år. Dette ses ved, at

Bemærk, at prisen på denne portefølje er d(3).D

Yderligere læsning

Ingersoll (1987) diskuterer forskellige definitioner af arbitrageligevægt. En parallel til den her viste gennemgang findes i Dothan (1990), Huang og Litzenberger (1990), Duffie (1992) eller Jensen og Nielsen (1995).

Opgaver

1.      Lad v være en ønsket betalingsstrøm og notationen i øvrigt som ovenfor. Fortolk det lineære programmeringsproblem min p'x sub Vx ³ v, og opskriv og fortolk det duale problem.

2.      Parret (V,p), hvor V er en TxJ betalingsmatrix og p er en J-prisvektor, er svagt arbitragefrit, hvis der ikke findes x Î R^J med Vx ³ 0 og p'x < 0. Find et eksempel med (V,p) som er svagt arbitragefrit uden at være arbitragefrit efter definition 2.