FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

MÉDIA HARMÔNICA

É o inverso da média aritmética dos inversos.

.

Média Harmônica Simples:.(para dados não agrupados)

..ou

Exemplo - Calcular a média harmônica simples dos seguintes conjuntos de números:

a) { 10, 60, 360 }. Resp:.. 3/(1/10+1/60+1/360) = 25,12

b) { 2, 2, 2, 2 } . Resp:... . 4/(1/2+1/2+1/2+1/2) = 2....

.

Média Harmônica Ponderada : (para dados agrupados em tabelas de frequências)

..

Exemplo - Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo:

Propriedades da média harmônica

A média harmônica é menor que a média geométrica para valores da variável diferentes de zero.

h < g.. e por extensão de raciocínio podemos escrever :..h < g <

OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.

A igualdade g = h.= ....só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.

OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação:

g = (.+ h ) /.2

Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados:

z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 }

Média aritmética = 51,3 / 5 = 10,2600

Média geométrica = 10,2587

Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,2574

Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica

.

MÉDIA QUADRÁTICA

É a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados

Média Quadrática Simples: (para dados não agrupados)

Exemplo - Calcular a média quadrática simples do seguinte conjunto de números:

a = { 2 , 3 , 4 , 5 } ....Resp: 3,67

.

Média Quadrática Ponderada: Quando os valores da variável estiverem dispostos em uma tabela de frequências, a média quadrática será determinada pela seguinte expressão:

Exemplo - Calcular a média quadrática dos valores da tabela abaixo:

classes	....fi....	....xi....	...	.... fi
2 |--------- 4	5	3	9	45
4 |--------- 6	10	5	25	250
6 |--------- 8	12	7	49	588
8 |--------- 10	10	9	81	810
10 |-------- 12	5	11	121	605
total	42			2298

OBS:

• Sempre que os valores de X forem positivos e pelo menos um dado diferente é válida a seguinte relação: q > > g > h

• A igualdade entre as médias acima se verifica quando os valores da variável forem iguais (constantes)

• A média quadrática é largamente utilizada em Estatística, principalmente quando se pretende calcular a média de desvios ( x - .) , em vez de a média dos valores originais. Neste caso, a média quadrática é denominada desvio-padrão, que é uma importante medida de dispersão.