FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

MEDIANA

A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

Símbolo da mediana: Md

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A mediana em dados não-agrupados

Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9.

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Método prático para o cálculo da Mediana

Se a série dada tiver número ímpar de termos:

O valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula :

Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana

A mediana será o 5º elemento = 2

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Se a série dada tiver número par de termos:

O valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula :....

Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente.

Exemplo: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2

[( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2

5º termo = 2

6º termo = 3

A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.

Notas:

• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série.
• Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.
• Em um série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.
• A mediana, depende da posição e não dos valores dos elemntos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média ( que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:

Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10

Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10

isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

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A mediana em dados agrupados

a) Sem intervalos de classe

Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das requências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.

Exemplo conforme tabela abaixo:

Quando o somatório das frequências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula :.

Como o somatório das frequências = 35 a fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3..

..

Quando o somatório das frequências for par o valor mediano será o termo de ordem dado fela fórmula :.

Exemplo - Calcule Mediana da tabela abaixo:

Aplicando fórmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º termo + 5º termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

b) Com intervalos de classe

Devemos seguir os seguintes passos: 1º) Determinamos as frequências acumuladas ; 2º) Calculamos ; 3º) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à . Tal classe será a classe mediana ;

4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:..... l* + [(- FAA ) x h*] / f*

l* = é o limite inferior da classe mediana.

FAA = é a frequência acumulada da classe anteior à classe mediana.

f* = é a frequência simples da classe mediana.

h* = é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Exemplo:

= 40 / 2 =.20........... logo.a classe mediana será 58 |---------- 62

l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54

OBS: Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição.

Emprego da Mediana

• Quando desejamos obter o ponto que divide a dsitribuição em duas partes iguais.
• Quando há valores extremos que afetam de amneira acentuada a média aritmética.
• Quando a variável em estudo é salário.