FACEV - Faculdade de Ciências Econômicas de Vitória

Introdução à Estatística Econômica - 2º ano

Prof. Paulo Cézar Ribeiro da Silva

.Medidas de Dispersão ou Variabilidade

Dispersão ou Variabilidade:

É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central ( média ou mediana ) tomado como ponto de comparação.

A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores - não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto.

Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:

X = { 70, 70, 70, 70, 70 }

Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 }

Z = { 5, 15, 50, 120, 160 }

Observamos então que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética = 350/5 = 70

Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, já que todos os valores são iguais à média. O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa.

Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula e que o conjunto Y apresenta uma dispersão menor que o conjunto Z.

MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA

Amplitude total : É a única medida de dispersão que não tem na média o ponto de referência.

Quando os dados não estão agrupados a amplitude total é adiferença entr o maior e o menor valor observado: AT = X máximo - X mínimo.

Exemplo: Para os valores  40, 45, 48, 62 e 70  a amplitude total será:  AT = 70 - 40 = 30

Quando os dados estão agrupados sem intervalos de classe ainda temos : AT = X máximo - X mínimo.

Exemplo:

Com intervalos de classe a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. Então AT = L máximo - l mínimo

Exemplo:

A amplitude total tem o incoveniente e só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários. Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia, no controle de qualidade ou como uma medida de cálculo rápido sem muita exatidão.

 Desvio quartil

Também chamado de amplitude semi-interquatílica e é baseada nos quartis.

Símbolo: Dq    e     a     Fórmula: Dq = (Q3 - Q1) / 2

Observações:

1 - O desvio quartil apresenta como vantagem o fato de ser uma medida fácil de calcular e de interpretar. Além do mais, não é afetado pelos valores extremos, grandes ou pequenos, sendo recomendado, por conseguinte, quando entre os dados figurem valores extremos que não se consideram representativos.

2- O desvio quartil deverá ser usado preferencialmente quando a medida de tendência central for a mediana.

3- Trata-se de uma medida insensível ã distribuição dos itens menores que Q1, entre Q1 e Q3 e maiores que Q3.

Exemplo: Para os valores  40, 45, 48, 62 e 70  o desvio quartil será:

Q1 = (45+40)/2 = 42,5     Q3 = (70+62)/2 = 66     Dq = (66 - 42,5) / 2 = 11,75

Desvio médio absoluto

Para dados brutos

É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: média ou mediana. Símbolo = Dm

Fórmula : para a Média = E | Xi -  |  / n     

Fórmula : para a Mediana = E | Xi - Md |  / n

As barras verticais indicam que são tomados os valores absolutos, prescindindo do sinal dos desvios.

Exemplo: Calcular o desvio médio do conjunto de números   { - 4 , - 3 , - 2 , 3 , 5 }

 = - 0, 2   e   Md = - 2

Xi	Xi -	| Xi -  |		Xi - Md	| Xi - Md |
- 4	(- 4) - (-0,2) = -3,8	3,8		(- 4) - (-2) = - 2	2
- 3	(- 3) - (-0,2) = -2,8	2,8		(- 3) - (-2) = - 1	1
- 2	(- 2) - (-0,2) = -1,8	1,8		(- 2) - (-2) = 0	0
3	3 - (-0,2) = 3,2	3,2		3 - (-2) = 5	5
5	5 - (-0,2) = 5,2	5,2		5 - (-2) = 7	7
	E =	16,8		E =	15

Pela Média : Dm = 16,8 / 5 = 3,36     Pela Mediana : Dm = 15 / 5 = 3

Desvio médio para Dados Tabulados

Se os valores vierem dispostos em uma tabela de frequências, agrupados ou não em classes, serão usadas as seguintes fórmulas:

Cálculo pela média: Dm = (E |Xi - |. fi ) / E fi

Cálculo pela mediana: Dm = (E |Xi - Md |. fi ) / E fi

Exemplo de cálculo pela média:

Xi	f i	Xi . f i		Xi -	| Xi -  |		| Xi -  | . f i
3	2	6	4,7	- 1,7	1,7		3,4
4	2	8	4,7	- 0,7	0,7		1,4
5	3	15	4,7	0,3	0,3		0,9
6	3	18	4,7	1,3	1,3		3,9
E =	10	47			E =		9,6

Dm = 9,6 / 10 = 0,96

Para o cáculo do Desvio médio pela mediana segue-se o mesmo raciocínio.

Dm = 7 / 10 = 0,70

Obs: Apesar de o desvio médio expressar aceitavelmente a dispersão de uma amostra, não é tão frequentemente empregado como o desvio-padrão. O desvio médio despreza o fato de alguns desvios serem negativos e outros positivos, pois essa medida os trata como se fossem todos positivos. Todavia será preferido o uso do desvio médio em lugar do desvio-padrão, quando esse for indevidamente influenciado pelos desvios extremos.